Weingartenabbildung

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Die Weingartenabbildung (nach dem deutschen Mathematiker Julius Weingarten), auch Formoperator genannt, ist eine Funktion aus der Theorie der Flächen im dreidimensionalen euklidischen Raum (\mathbb{R}^3), einem Teilgebiet der klassischen Differentialgeometrie.

Vorbereitung[Bearbeiten]

Eine reguläre Fläche sei durch die Parameterdarstellung

\begin{align}
X\colon \R^2 \supset A & \to \R^3 \\
(u,v) & \mapsto X(u,v)
\end{align}

gegeben. Dabei sei X mindestens zweimal stetig differenzierbar und in jedem Punkt (u,v) habe die Ableitung DX_{(u,v)}, eine lineare Abbildung von \R^2 nach \R^3, vollen Rang. Das Bild dieser linearen Abbildung ist dann ein zweidimensionaler Unterraum des \R^3, der Tangentialraum der Fläche im Punkt p = X(u,v). Dabei denkt man sich die Bildvektoren im Punkt p = X(u,v) angeheftet. Der Tangentialraum wird von den beiden Vektoren

X_1(u,v) = X_u(u,v) = \tfrac{\partial X}{\partial u}(u,v) = DX_{(u,v)}(e_1) und
X_2(u,v) = X_v(u,v) = \tfrac{\partial X}{\partial v}(u,v) = DX_{(u,v)}(e_2)

aufgespannt. (Hierbei bezeichnen e_1 und e_2 die Einheitsvektoren der Standardbasis des \R^2.)

Die Einheitsnormale N(u,v) im Punkt p = X(u,v) der Fläche kann mit Hilfe des Vektorprodukts berechnet werden:

N(u,v) = \frac{X_u(u,v)\times X_v(u,v)}{|X_u(u,v)\times X_v(u,v)|}

Somit ist N eine differenzierbare Abbildung vom Parameterbereich A \subset \R^2 in den Vektorraum \R^3. Den Bildvektor N(u,v) denkt man sich angeheftet an den Punkt p=X(u,v). Die Ableitung DN_{(u,v)} im Punkt (u,v) ist eine lineare Abbildung von \R^2 nach \R^3. Aus der Bedingung, dass N(u,v) ein Einheitsvektor ist, folgt, dass für jedes Parameterpaar (u,v) das Bild der Abbildung DN_{(u,v)} im Tangentialraum der Fläche im Punkt p=X(u,v) liegt und somit im Bild der Abbildung DX_{(u,v)}. Da DX_{(u,v)} injektiv ist, existiert die Umkehrabbildung (DX_{(u,v)})^{-1} als Abbildung auf dem Tangentialraum im Punkt X(u,v).

Definition[Bearbeiten]

Man kann nun die Weingartenabbildung als lineare Abbildung im Parameterbereich (klassische Sichtweise) oder auf dem Tangentialraum (moderne Sichtweise) definieren.

Im Parameterbereich[Bearbeiten]

Die Abbildung DN_{(u,v)} bildet den \R^2 auf den Tangentialraum der Fläche im Punkt X_{(u,v)} ab. Die Abbildung (DX_{(u,v)})^{-1} bildet diesen Tangentialraum wieder auf den \R^2 ab. Die durch Verkettung und Vorzeichenwechsel daraus entstehende lineare Abbildung

L_{(u,v)} = -(DX_{(u,v)})^{-1} \circ DN_{(u,v)}

von \R^2 nach \R^2 heißt Weingartenabbildung an der Stelle (u,v).

Auf der Fläche[Bearbeiten]

Die Abbildung (DX_{(u,v)})^{-1} bildet einen Vektor des Tangentialraums der Fläche im Punkt p = X(u,v) in den \R^2 ab. Die Abbildung DN_{(u,v)} bildet den Bildvektor wieder in den Tangentialraum ab. Die durch Verkettung und Vorzeichenwechsel daraus entstehende lineare Abbildung

L_{X(u,v)} = -DN_{(u,v)}\circ (DX_{(u,v)})^{-1}

bildet den Tangentialraum im Punkt p = X(u,v) auf sich ab und heißt Weingartenabbildung am Punkt p = X(u,v). Es gilt also

L_{X(u,v)} X_i(u,v) = - N_i(u,v) für i = 1, 2.

Koordinatendarstellung[Bearbeiten]

Die beiden Versionen der Weingartenabbildung sind auf völlig verschiedenen Vektorräumen definiert. Wählt man jedoch im Parameterbereich die Standardbasis und im Tangentialraum die Basis X_u(u,v), X_v(u,v), so stimmen die zugehörigen Abbildungsmatrizen

\begin{pmatrix} h^1{_1}(u,v) & h^1{_2}(u,v) \\ h^2{_1}(u,v) & h^2{_2}(u,v) \end{pmatrix}

überein. Sie sind durch die Gleichungen

L_{X(u,v)} (X_u(u,v)) = - N_u(u,v)  =h^1{_1}(u,v) X_u(u,v) + h^2{_1}(u,v) X_v(u,v)
L_{X(u,v)} (X_v(u,v)) = - N_v(u,v)  =h^1{_2}(u,v) X_u(u,v) + h^2{_2}(u,v) X_v(u,v)

charakterisiert. In Einsteinscher Summenkonvention, mit X_1 = X_u, X_2 = X_v, N_1 = N_u = DN_{(u,v)} (e_1), N_2 = N_v = DN_{(u,v)} (e_2) und unter Weglassung des Arguments:

L (X_j) = - N_j =  h^i{}_j X_i

Zusammenhang mit der zweiten Fundamentalform[Bearbeiten]

Für jedes Parameterpaar (u,v) ist die erste Fundamentalform g_{(u,v)} ein Skalarprodukt im \R^2 und die zweite Fundamentalform h_{(u,v)} eine symmetrische Bilinearform. Diese sind durch die Weingartenabbildung wie folgt verbunden: Für Vektoren w_1, w_2 \in \R^2 gilt

h(w_1, w_2) = g(w_1, L w_2).

Für die zugehörigen Matrixdarstellungen gilt in Einsteinscher Summenkonvention

h_{ik} =  g_{ij}h^j{_k}

und

h^i{}_k = g^{ij}h_{jk}.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Die Hauptkrümmungen sind Eigenwerte der Weingartenabbildung
  • Die Weingartenabbildung L ist selbstadjungiert bezüglich der ersten Fundamentalform g, das heißt, für alle w_1, w_2 \in \R^2 gilt
    
g(w_1, L w_2) = g(L w_1, w_2)\,.
    In jedem Punkt der Fläche existiert deshalb eine Basis aus Eigenvektoren von L, die orthonormal bezüglich g ist.
  • Die Richtungen der Eigenvektoren heißen Hauptkrümmungsrichtungen.
  • Die Eigenwerte der Weingartenabbildung geben die Hauptkrümmungen der Fläche an.
  • Für einen Vektor w\in T_{(u,v)}\R^2 beschreibt Lw die Änderung der Flächennormalen in dieser Richtung an diesem Punkt.
  • Die Weingartenabbildung ist die Ableitung der Gauß-Abbildung.

Beispiel[Bearbeiten]

Dem Beispiel aus den Artikeln erste Fundamentalform und zweite Fundamentalform folgend, wird wieder die Oberfläche einer Kugel vom Radius r>0 betrachtet. Diese Fläche wird wieder durch

X(u,v) = \begin{pmatrix}r \sin u \cos v\\r \sin u \sin v\\r \cos u\end{pmatrix} parametrisiert.

Die Matrixdarstellung der ersten Fundamentalform besteht aus den Komponenten g_{uu}=r^2, g_{uv}=g_{vu}=0, sowie g_{vv}=r^2 \sin^2 u.

Die Matrixdarstellung der zweiten Fundamentalform besteht aus den Komponenten h_{uu}=-r, h_{uv}=h_{vu}=0, sowie h_{vv}=-r \sin^2 u.

Beide sind durch die Gleichung h_{ik}=g_{ij}h^j{_k} miteinander verbunden. Diese liefert durch Ausschreiben der Einsteinschen Summenkonvention folgende vier Gleichungen:

h_{uu}= g_{uu}h^u{_u} + g_{uv}h^v{_u}
h_{uv}= g_{uu}h^u{_v} + g_{uv}h^v{_v}
h_{vu}= g_{vu}h^u{_u} + g_{vv}h^v{_u}
h_{vv}= g_{vu}h^u{_v} + g_{vv}h^v{_v}

Durch Einsetzen der Komponenten der Matrixdarstellungen erhält man die Komponenten der Weingartenabbildung:

h^u{_u}=h^v{_v}=-\frac{1}{r}
h^u{_v}=h^v{_u}=0

Alternativ hätte auch die explizite Formel h^i{}_k = g^{ij}h_{jk} genutzt werden können. Dazu hätte allerdings die Matrix der ersten Fundamentalform invertiert werden müssen, um die g^{ij} zu erhalten.

Literatur[Bearbeiten]