Weyl-Gleichung

Die Weyl-Gleichung der Teilchenphysik, benannt nach Hermann Weyl, ist die Diracgleichung für masselose Teilchen mit Spin -1/2. Sie wird bei der Beschreibung der schwachen Wechselwirkung verwendet.

Herleitung

Die Darstellung der Lorentzgruppe auf Dirac-Spinoren ist reduzibel. In einer geeigneten Darstellung der Dirac-Matrizen, der Weyl-Darstellung, transformieren die ersten beiden und die letzten beiden Komponenten der 4er-Spinoren getrennt, weshalb sie auch als Bispinoren bezeichnet werden:

$\Psi ={\begin{pmatrix}\Psi _{L}\\\Psi _{R}\end{pmatrix}}$

Die 2er-Spinoren $\Psi _{L}$ und $\Psi _{R}$ sind die links- und rechtshändigen Weyl-Spinoren.

Sie werden in der Diracgleichung für ein freies Spin-1/2-Teilchen durch die Masse $m$ gekoppelt:

$\left(\mathrm {i} \gamma ^{n}\partial _{n}-m\right)\Psi ={\begin{pmatrix}-m&\mathrm {i} \left(\partial _{0}+{\vec {\sigma }}{\vec {\nabla }}\right)\\\mathrm {i} \left(\partial _{0}-{\vec {\sigma }}{\vec {\nabla }}\right)&-m\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\Psi _{L}\\\Psi _{R}\end{pmatrix}}=0$

Hierbei sind $\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}$ die Pauli-Matrizen.

Verschwindet die Masse $\left(m=0\right),$ so zerfällt die Diracgleichung in je eine Weyl-Gleichung für den links- und den rechtshändigen Spinor:

$\mathrm {i} \left(\partial _{0}-{\vec {\sigma }}{\vec {\nabla }}\right)\Psi _{L}=0$

$\mathrm {i} \left(\partial _{0}+{\vec {\sigma }}{\vec {\nabla }}\right)\Psi _{R}=0$

Chirale Kopplung

Zur Beschreibung der schwachen Wechselwirkung ist wichtig, dass die links- und rechtshändigen Spinoren unterschiedlich, aber lorentzinvariant, an Vektorfelder koppeln können (chirale Kopplung). Die Kopplung entsteht, indem die Ableitungen durch kovariante Ableitungen ersetzt werden:

$D_{n}=\partial _{n}-\mathrm {i} \,e\,T_{a}\,A_{n}^{a}$

Dabei bezeichnet

• $e$ ist die Kopplungskonstante
• $T_{a}$ Matrizen, die die Lie-Algebra der Eichgruppe darstellen
• $A_{n}^{a}$ die Komponenten der Vektorfelder.

Bei den rechtshändigen Spinoren verschwinden die Matrizen $\left(T_{a}=0\right),$ sie haben keine schwache Wechselwirkung.