Zerlegungssatz von Lebesgue

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Der Zerlegungssatz von Lebesgue (auch Lebesgue-Zerlegung) zeigt die Zerlegbarkeit eines \sigma-endlichen Maßes in einen absolutstetigen und singulären Anteil bezüglich eines anderen \sigma-endlichen Maßes an.

Seien \mu und \nu zwei \sigma-endliche Maße auf demselben Messraum (\Omega, \mathcal{F}). Dann gibt es zwei Maße \psi und \varphi auf (\Omega, \mathcal{F}) mit \psi \ll \mu, \varphi \perp \mu so dass die Zerlegung

 \nu = \psi + \varphi

eindeutig bestimmt ist. Dabei bedeutet \psi \ll \mu, dass \psi absolutstetig gegen \mu ist, und \varphi \perp \mu bedeutet, dass \varphi und \mu singulär zueinander sind.

Die beiden Maße \psi und \varphi können mit Hilfe des Satzes von Radon-Nikodym berechnet werden, denn nach diesem existiert eine (\mu+\nu)-fast überall eindeutig bestimmte Funktion \pi mit \textstyle \mu = \int \pi d(\mu + \nu). Mit der Menge N = \{\omega \in \Omega: \pi(\omega) = 0\} werden nun die Maße \psi, \varphi: \mathcal{F} \rightarrow [0,\infty] durch

\psi(A):= \nu(A\cap (\Omega \setminus N))
\varphi(A):= \nu(A \cap N)

eindeutig definiert.

Der Zerlegungssatz von Lebesgue findet Anwendung im Darstellungssatz in der Stochastik.

Literatur[Bearbeiten]

  • Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. Springer, Berlin u. a. 2009, ISBN 978-3-540-89729-3.
  • Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2., korrigierte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2008, ISBN 978-3-540-76317-8.

Siehe auch[Bearbeiten]

Absolutsteigkeit, Singularität