Zustandsgleichung von Birch-Murnaghan

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Die Zustandsgleichung nach Birch-Murnaghan beschreibt die Beziehung zwischen dem Volumen V eines Festkörpers und des auf ihn wirkenden äußeren hydrostatischen Drucks p. Diese Zustandsgleichung ist von zwei Parametern abhängig, dem Kompressionsmodul bei einem Druck von 0 GPa K_0, und der ersten Ableitung des Kompressionsmoduls nach dem Druck bei einem Druck von 0 GPa, K_0'. Diese sind wie folgt definiert:

 K_0 = V \left.\frac{\partial p}{\partial V}\right|_{p = 0\,\mathrm{GPa}}
 K_0' = \left.\frac{\partial K}{\partial p}\right|_{p = 0\,\mathrm{GPa}}

Murnaghan ging davon aus, dass der Kompressionsmodul eines Festkörpers K_0 linear mit dem auf ihn wirkenden Druck zunimmt. Eine weitere wichtige Annahme ist, dass die Größe K_0' druckunabhängig ist.

 K(p)= K_0 + pK_0'

Nach Integration erhält man die Zustandsgleichung nach Murnaghan

 p = \frac{K_0}{K_0'}\left[\left(\frac{V_0}{V}\right)^{K_0'} - 1\right]

bzw.

 \frac{V}{V_0} = \left[\frac{K_0'}{K_0}p+1\right]^{-\frac{1}{K_0'}}

wobei V_0 das Volumen des Festkörpers bei einem Druck von 0 GPa ist.

Einen anderen Weg, das Verhalten von kondensierter Materie unter Druck zu beschreiben, wurde von Francis Birch eingeschlagen. Er ging davon aus, dass nach den Maxwell-Relationen ein Zusammenhang zwischen dem Druck p und der freien Energie F besteht:

 p = \left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)_T

Birch stellte die freie Energie eines Festkörpers als Reihenentwicklung dar:

 F =  \sum_{n=1}^{\infty} a_n\epsilon^n

Hier sind a_n druckabhängige Koeffizienten, \epsilon^n ist die sog. Eulersche Dehnung.

 \epsilon = \frac{1}{2}\left[1 - \left(\frac{V}{V_0}\right)^{-\frac{2}{3}}\right]

Nach einer Reihenentwicklung, deren Darstellung in diesem Rahmen zu weit führen würde, erhält man dann die Zustandsgleichung nach Birch:

 p = \frac{3}{2} K_0 \left[\left(\frac{V}{V_0}\right)^{-\frac{7}{3}} - \left(\frac{V}{V_0}\right)^{-\frac{5}{3}}\right]\left[1 + \frac{3}{4}\left(K_0' - 4\right)\left[\left(\frac{V}{V_0}\right)^{-\frac{2}{3}}-1\right]\right]

Es hat sich mittlerweile eingebürgert, diese Gleichung als Zustandsgleichung nach Birch-Murnaghan zu bezeichnen, auch wenn der Ansatz von Birch mit dem Ansatz von Murnaghan nichts gemein hat.

Literatur[Bearbeiten]

  • F. Birch: Finite elastic strains of cubic crystals, Phys. Rev. 71, 809 (1947)
  • B. Buras and L. Gerward: Application of X-ray energy dispersive diffraction for characterisation of materials under high pressure, Prog. Cryst. Growth and Characterisation 18, 93 (1989)