„Rademacherfunktionen“ – Versionsunterschied
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Die '''Rademacherfunktionen''', benannt nach [[Hans Rademacher]], sind für jede [[Natürliche Zahl|natürliche Zahl]] <math>n</math> auf dem (halboffenen) [[Intervall (Mathematik)#Bezeichnungs- und Schreibweisen|Einheitsintervall]] [0,1) definierte Funktionen, die nur die Werte -1 und 1 annehmen. |
Die '''Rademacherfunktionen''', benannt nach [[Hans Rademacher]], sind für jede [[Natürliche Zahl|natürliche Zahl]] <math>n</math> auf dem (halboffenen) [[Intervall (Mathematik)#Bezeichnungs- und Schreibweisen|Einheitsintervall]] [0,1) definierte Funktionen, die nur die Werte -1 und 1 annehmen. |
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definieren. Diese Definition ist äquivalent zur ersten Definition für alle Zahlen <math>t</math>, die nicht von der Form <math>k/2^n\,</math> sind. Wenn <math>t</math> diese Form hat, so ist <math>\sin\left( 2^n \pi t \right)=0</math> und daher verschwindet auch das [[Signum (Mathematik)|Vorzeichen]] (sgn). Der Unterschied betrifft jedoch für jedes <math>n</math> nur endlich viele <math>t</math> und spielt daher z.B. in Funktionenräumen wie <math>L^2([0,1])</math> keine Rolle (da hier die Funktionen auf [[Nullmenge]]n beliebig verändert werden können). |
definieren. Diese Definition ist äquivalent zur ersten Definition für alle Zahlen <math>t</math>, die nicht von der Form <math>k/2^n\,</math> sind. Wenn <math>t</math> diese Form hat, so ist <math>\sin\left( 2^n \pi t \right)=0</math> und daher verschwindet auch das [[Signum (Mathematik)|Vorzeichen]] (sgn). Der Unterschied betrifft jedoch für jedes <math>n</math> nur endlich viele <math>t</math> und spielt daher z.B. in Funktionenräumen wie <math>L^2([0,1])</math> keine Rolle (da hier die Funktionen auf [[Nullmenge]]n beliebig verändert werden können). |
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In der Literatur werden gelegentlich die Rademacherfunktionenen auch ausserhalb des Basisintervall periodisch fortgesetzt und die Definition der Rademacherfunktionen erfolgt mit Bezug zu den [[Walsh-Funktion#Walsh-Kaczmarz-Funktionen|Walsh-Kaczmarz-Funktionen]] „Walsh-Sinus“ <math>\operatorname{sir}</math> und „Walsh-Cosinus“ <math>\operatorname{cor}</math> als:<ref>{{Literatur |Autor = Eugen Gauß | Titel = Walsh-Funktionen für Ingenieure und Naturwissenschaftler | Verlag = Teubner | Jahr = 1994 | ISBN = 3-519-02099-8 | Kommentar = Kapitel 3.1}}</ref> |
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:<math> \operatorname{sir}(x) := (-1)^{\lfloor 2x \rfloor} = \operatorname{sign}(\sin (2\pi x))</math> |
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:<math> \operatorname{cor}(x) := (-1)^{\lfloor 2x + \frac{1}{2}\rfloor} = \operatorname{sign}(\cos (2\pi x))</math> |
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Die <math>n</math>-te Rademacherfunktionen sind dann in diesem Zusammenhang als Paar definiert als: |
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:<math>\operatorname{sir}(2^n x)</math> |
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:<math>\operatorname{cor}(2^n x)</math> |
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Mit obiger Festlegung lassen sich leichter Bezüge, ähnlich wie bei den trigonometrischen Funktionen, bilden wie beispielsweise: |
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:<math>\operatorname{sir}(x) \operatorname{cor}(x) = \operatorname{sir}(2x)</math> |
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|Autor = Hans Rademacher |
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|Titel = Einige Sätze über Reihen von allgemeinen Orthogonalfunktionen |
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|Titel = Statistical independence in probability, analysis and number theory |
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|Autor = [[Donald Knuth]] |
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|Verlag = Addison Wesley, Reading (MA) | Jahr = 2011 | Kommentar = insb. S. 287/288 }} |
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== Weblinks == |
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Version vom 5. November 2011, 20:52 Uhr
Die Rademacherfunktionen, benannt nach Hans Rademacher, sind für jede natürliche Zahl auf dem (halboffenen) Einheitsintervall [0,1) definierte Funktionen, die nur die Werte -1 und 1 annehmen.
Definition
Die -te Rademacherfunktion ist so definiert:
- , falls gilt (mit einem k mit ).
Alternativ kann man die -te Rademacherfunktion durch
definieren. Diese Definition ist äquivalent zur ersten Definition für alle Zahlen , die nicht von der Form sind. Wenn diese Form hat, so ist und daher verschwindet auch das Vorzeichen (sgn). Der Unterschied betrifft jedoch für jedes nur endlich viele und spielt daher z.B. in Funktionenräumen wie keine Rolle (da hier die Funktionen auf Nullmengen beliebig verändert werden können).
In der Literatur werden gelegentlich die Rademacherfunktionenen auch ausserhalb des Basisintervall periodisch fortgesetzt und die Definition der Rademacherfunktionen erfolgt mit Bezug zu den Walsh-Kaczmarz-Funktionen „Walsh-Sinus“ und „Walsh-Cosinus“ als:[1]
Die -te Rademacherfunktionen sind dann in diesem Zusammenhang als Paar definiert als:
Mit obiger Festlegung lassen sich leichter Bezüge, ähnlich wie bei den trigonometrischen Funktionen, bilden wie beispielsweise:
Beispiele
Für die Funktion gilt also:
und für die Funktion :
Allgemein ordnet die -te Rademacher-Funktion einer Zahl im Einheitsintervall eine –1 zu, wenn die -te Ziffer in der Binärdarstellung von eine 1 ist, und eine 1, falls diese Ziffer 0 ist.[2] Zum Beispiel gilt
- r1(0,375) = r1(0,0112) = 1
und
- r2(0,375) = r2(0,0112) = –1.
Rademachersystem
Die Rademacherfunktionen bilden ein Orthonormalsystem des Raum der quadratintegrierbaren Funktionen . Das heißt es gilt
- ,
wobei das Kronecker-Delta ist. Dieses Orthonormalsystem trägt den Namen Rademachersystem, es ist jedoch keine Orthonormalbasis von .
Normale Zahlen
Die Zahl heißt einfach normal zur Basis 2 (siehe auch normale Zahl), wenn die beiden Ziffern 0 und 1 in ihrer Binärdarstellung gleich häufig vorkommen. Die Tatsache, dass fast alle Zahlen einfach normal sind, kann man mit Hilfe der Rademacherfunktionen so beschreiben:
Es gilt für fast alle t in [0,1)
Interpretiert man die Binärdarstellung jeder der Zahlen im Einheitsintervall als unendliche Folge von Münzwürfen (Bernoulli-Prozess mit ), so ist das gerade die Aussage des starken Gesetzes der großen Zahlen.
Chintschin-Ungleichung
Eine einfache Version dieser Ungleichung, die nach Alexander Jakowlewitsch Chintschin benannt ist und in der die Rademacherfunktionen vorkommen, lautet wie folgt.[3]
Ist eine Folge reeller Zahlen, so gilt für jede natürliche Zahl
Siehe auch
Einzelnachweise
- ↑ Eugen Gauß: Walsh-Funktionen für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Teubner, 1994, ISBN 3-519-02099-8 (Kapitel 3.1).
- ↑ Diese Beschreibung ist allerdings mehrdeutig für Zahlen der Form (die auch dyadische Rationalzahlen genannt werden). Diese Zahlen haben zwei Binärdarstellungen (Bsp.: 1/2 = 0,12 = 0,0111…2).
- ↑ Siehe die Diplomarbeit von Peter Karlhuber-Vöckl, S. 9.
Literatur
- Hans Rademacher: Einige Sätze über Reihen von allgemeinen Orthogonalfunktionen. Mathematische Annalen '''87''', 112–138, 1922 (Online).
- Mark Kac: Statistical independence in probability, analysis and number theory. Carus Mathematical Monographs '''12'''), Mathematical Association of America, 1959 (Kapitel 1 und 2: Anwendung auf Münzwurf).
- Donald Knuth: The Art of Computer Programming, Volume 4A: Combinatorial Algorithms. Addison Wesley, Reading (MA), 2011 (insb. S. 287/288).
Weblinks
- Eric W. Weisstein: Square Wave. In: MathWorld (englisch).