Normale Zahl

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Als normale Zahl wird in der Mathematik eine reelle Zahl bezeichnet, unter deren Nachkommaziffern für jedes alle möglichen -stelligen Ziffernblöcke mit gleichen asymptotischen relativen Häufigkeiten auftreten.

Eine Zahl heißt also normal, wenn in ihrer Ziffernfolge jeder Ziffernblock vorkommt und Ziffernblöcke gleicher Länge gleich häufig auftreten.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sequenzen über einem Alphabet[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein endliches Alphabet und bezeichne die Menge aller Folgen (= unendlichen Sequenzen) über diesem Alphabet. Sei eine solche Folge. Für jedes Zeichen sei mit die Anzahl bezeichnet, wie oft in den ersten Gliedern der Folge auftritt. Die Folge heißt einfach normal genau dann, wenn für jedes folgende Grenzwertbeziehung erfüllt ist:

Sei ein Wort (= endliche Sequenz) über diesem Alphabet, also aus , und sei die Anzahl, wie oft das Wort als Teilwort in den ersten Zeichen der Folge auftritt. (Beispiel: Für gilt .) Die Folge heißt normal genau dann, wenn für alle endlichen folgende Grenzwertbeziehung gilt:

wobei die Länge des Worts bezeichnet und die Anzahl der Zeichen im Alphabet .

Mit anderen Worten ist die Folge genau dann normal, wenn alle Wörter gleicher Länge mit der gleichen asymptotischen Häufigkeit auftreten. In einer normalen Binärfolge (= Folge über dem Alphabet ) kommen die Ziffern und im Grenzwert mit der Häufigkeit vor, außerdem die Paarungen , , und mit der Häufigkeit , die Dreierblocks , , , , , und mit der Häufigkeit usw.

Betrachten wir nun als Zeichenfolge eine Ziffernfolge einer beliebigen reellen Zahl in der Darstellung in einem Stellenwertsystem (als Zahlensystem) mit einer ganzzahligen Basis (-adische Darstellung). Die Zeichen sind hier die Ziffern dieser Darstellung von bis , das Alphabet ist also . Die Position des Dezimaltrenners (Komma) spielt keine Rolle.

Zu jedem -stelligen Ziffernblock dieser Darstellung (d. h. aus Ziffern zur Basis und mit Länge ) bezeichnet die Anzahl, mit welcher der Ziffernblock unter den ersten Nachkommastellen von auftritt.

Einfach normale Zahl[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Zahl heißt einfach normal zur Basis , wenn jede Ziffernfolge in der -adischen Darstellung eine einfach normale Folge über dem Alphabet ist. (Wenn das der Fall ist, ist die Wahl für die Ziffernfolge eindeutig; allgemein ist diese Ziffernfolge nicht eindeutig, siehe 0,999...) Das ist genau dann der Fall, wenn für alle Ziffern dieser Darstellung gilt:

Beispielsweise ist die Zahl (periodischer Block von in Basis ) einfach normal in Basis , da die Ziffern und gleich häufig vorkommen.

Normale Zahl[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Zahl heißt normal zur Basis genau dann, wenn die Ziffernfolge in der -adischen Darstellung eine normale Folge über dem Alphabet ist. Das ist genau dann der Fall, wenn für jede endliche Sequenz von Ziffern dieser Darstellung gilt:

(Die Sequenz bezeichnet man auch als -stelligen Ziffernblock)

Es lässt sich zeigen, dass eine Zahl genau dann normal zur Basis ist, wenn die Folge

gleichverteilt modulo 1 ist.

Absolut normale Zahl[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Zahl heißt absolut normal, wenn sie zu jeder Basis normal ist.

Es gilt folgende Äquivalenz: die Zahl ist genau dann normal zur Basis , wenn sie einfach normal zu jeder der Basen ist.[1]

Anzahl normaler Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Begriff normale Zahl wurde 1909 von Émile Borel eingeführt. Er bewies auch gleich mit Hilfe des Borel-Cantelli-Lemmas, dass fast alle (im Lebesgue-Sinn) reellen Zahlen normal bzw. sogar absolut normal sind.

Die Menge der nicht-normalen Zahlen ist allerdings überabzählbar, wie sich leicht anhand einer dem Cantorschen Diskontinuum entsprechenden Konstruktion zeigen lässt.

Konstruktion normaler Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wacław Sierpiński lieferte im Jahr 1917 die erste Konstruktion einer normalen Zahl. Verónica Becher und Santiago Figueira gaben 2002 einen Algorithmus zur Berechnung der von Sierpiński konstruierten Zahl an. Die Chaitinsche Konstante ist ein Beispiel einer nicht berechenbaren normalen Zahl.

David Gawen Champernowne gab im Jahr 1933 die erste explizite Konstruktion einer normalen Zahl an, die als Champernowne-Zahl bekannt ist. Im Dezimalsystem lauten die ersten Stellen:

Sie ist Folge A033307 in OEIS und wird gebildet durch Aneinanderreihen der natürlichen Zahlen zur Basis . Die Champernowne-Zahl ist nicht normal bezüglich einiger anderer Basen.

Die Copeland-Erdős-Zahl, benannt nach Arthur Herbert Copeland und Paul Erdős, ist ein weiteres Beispiel einer zur Basis normalen Zahl, Folge A33308 in OEIS. Die ersten Dezimalstellen lauten:

Sie wird durch Aneinanderreihen aller Primzahlen zur Basis gebildet.

Wolfgang Schmidt untersuchte 1960, unter welchen Bedingungen an und Zahlen, die zur Basis normal sind, auch zur Basis normal sind, und zeigte: Wenn eine rationale Zahl ist (äquivalent: wenn es positive natürliche Zahlen und mit gibt), dann ist jede zur Basis normale Zahl auch zur Basis normal. Die Umkehrung gilt ebenfalls, und sogar: Wenn irrational ist, dann hat die Menge der Zahlen, die zur Basis normal und zur Basis nicht normal sind, die Mächtigkeit des Kontinuums.[2]

Nicht normale Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine rationale Zahl kann zu keiner Basis normal sein, da ihre Darstellung stets periodisch wird. Es gibt aber auch Konstruktionen irrationaler Zahlen, die zu keiner Basis normal sind (man nennt solche Zahlen absolut abnormal).

Kreiszahl π[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es ist von vielen irrationalen Zahlen nicht bekannt, ob sie zu irgendeiner Basis normal sind oder nicht, unter ihnen sind die Kreiszahl , die Eulersche Konstante , der natürliche Logarithmus der Zahl 2 oder . Die meisten als normal erkannte Zahlen wurden mit dieser Eigenschaft als Ziel konstruiert.

Die Mathematiker David H. Bailey und Richard E. Crandall stellten 2001 die bis heute nicht bewiesene Vermutung auf, dass jede irrationale algebraische Zahl normal ist.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Siehe Seiten 5 und 12 in der unter „Literaturangaben“ genannten Diplomarbeit von Christoph Aistleitner.
  2. Wolfgang M. Schmidt: On normal numbers. Pacific Journal of Mathematics 10, 1960, S. 661–672 (online, ZMath-Review).

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Ivan Niven: Irrational Numbers. Carus Math. Monographs, John Wiley and Sons Inc., 1956.
  • Lauwerens Kuipers, Harald Niederreiter: Uniform distribution of sequences. Wiley-Interscience Publ., 1974.
  • David H. Bailey, Richard E. Crandall: On the Random Character of Fundamental Constant Expansions, in: Experimental Mathematics 10 (2001), S. 175–190 (Online; PDF-Datei; 279 kB)
  • Émile Borel: Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques, in: Rend. Circ. Mat. Palermo 27 (1909), S. 247–271
  • David G. Champernowne: The Construction of Decimals Normal in the Scale of Ten, in: Journal of the London Mathematical Society, 8 (1933), S. 254–260
  • Waclaw Sierpinski: Démonstration élémentaire d'un théorème de M. Borel sur les nombres absolutment normaux et détermination effective d'un tel nombre, in: Bull. Soc. Math. France, 45 (1917), S. 125–144
  • Verónica Becher, Santiago Figueira: An example of a computable absolutely normal number, in: Theoretical Computer Science, 270 (2002), S. 947–958 (www-2.dc.uba.ar/profesores/becher/becherTCS2002.pdf)
  • Christoph Aistleitner: Normale Zahlen, Diplomarbeit, Technische Universität Wien, 2006, Online (PDF-Datei; 795 kB)

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]