Normale Zahl

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Als normale Zahl wird in der Mathematik eine reelle Zahl bezeichnet, unter deren Nachkommaziffern für jedes alle möglichen -stelligen Ziffernblöcke mit gleichen asymptotischen relativen Häufigkeiten auftreten.

Eine Zahl heißt also normal, wenn in ihrer Ziffernfolge jeder Ziffernblock vorkommt und Ziffernblöcke gleicher Länge gleich häufig auftreten.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sequenzen über einem Alphabet[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei Σ ein endliches Alphabet von b = |Σ| Zeichen ('Ziffern'), und Σ die Menge aller Folgen (unendlichen Sequenzen) über diesem Alphabet. Sei S ∈ Σ eine solche Folge. Für jedes Zeichen (Ziffer) a aus Σ sei mit NS(a, n) die Anzahl bezeichnet, wie oft a in den ersten n Gliedern der Folge S auftritt. Die Folge S heißt „einfach normal“ genau dann, wenn für jedes a folgende Grenzwertbeziehung erfüllt ist:

Sei w eine endliche Sequenz über diesem Alphabet (Wort/String bzw. Ziffernblock), also aus , und sei NS(w, n) die Anzahl, wie oft der String w als Teilstring in den ersten n Zeichen (Ziffern) der Folge S auftritt (mit S = 01010101..., ist beispielsweise NS(010, 8) = 3). S heißt „normal“ genau dann, wenn für alle endlichen w ∈ Σ folgende Grenzwertbeziehung gilt:

wobei | w | die Länge des Strings (Ziffernblocks) w bezeichnet.

In anderen Worten, die Zeichenfolge S ist normal genau dann, wenn alle Strings gleicher Länge k = |w| mit der gleichen asymptotischen Häufigkeit auftreten. Am Beispiel einer normalen Binärfolge (Folge über dem Alphabet {0,1}) bedeutet dies, dass im Grenzwert die Ziffern 0 und 1 mit der Häufigkeit 1/2; die Paarungen 00, 01, 10 und 11 mit der Häufigkeit 1/4; die Dreierblocks 000, 001, 010, 011, 100, 101 und 111 mit der Häufigkeit 1/8 vorkommen usw.

Betrachten wir nun als Zeichenfolge die Ziffernfolge Sx, b einer beliebigen reellen Zahl in der Darstellung in einem Positionssystem (als Zahlensystem) mit einer ganzzahligen Basis (b-adische Darstellung). Die Zeichen sind Ziffern dieser Darstellung von 0 bis b-1, das Alphabet ist also Σb = {0, 1, ... b-1}. Die Position des Dezimaltrenners (Komma) spielt keine Rolle.

Zu jedem -stelligen Ziffernblock dieser Darstellung (d. h. aus Ziffern zur Basis und mit Länge |w| = k) bezeichnet die Anzahl, mit welcher der Ziffernblock unter den ersten Nachkommastellen von auftritt.

Einfach normale Zahl[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Zahl heißt „einfach normal“ zur Basis , wenn die Ziffernfolge Sx, b in der b-adischen Darstellung eine einfach normale Folge über dem Alphabet Σb ist. Das ist genau dann der Fall, wenn für alle Ziffern dieser Darstellung gilt:

Beispielsweise ist die Zahl (periodischer Block von 01 in Basis 2) einfach normal in Basis 2, da die Ziffern 0 und 1 gleich häufig vorkommen.

Normale Zahl[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Zahl heißt „normal“ zur Basis genau dann, wenn die Ziffernfolge Sx, b in der b-adischen Darstellung eine normale Folge über dem Alphabet Σb ist. Das ist genau dann der Fall, wenn für jede Sequenz w von Ziffern dieser Darstellung gilt:

(Die Sequenz w bezeichnet man auch als k-stelligen Ziffernblock)

Es lässt sich zeigen, dass eine Zahl genau dann normal zur Basis ist, wenn die Folge

gleichverteilt modulo 1 ist.

Absolut normale Zahl[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Zahl heißt „absolut normal“, wenn sie zu jeder Basis normal ist.

Es gilt folgende Äquivalenz: die Zahl ist genau dann normal zur Basis , wenn sie einfach normal zu jeder der Basen ist.[1]

Anzahl normaler Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Begriff „normale Zahl“ wurde 1909 von Émile Borel eingeführt. Er bewies auch gleich mit Hilfe des Lemmas von Borel-Cantelli, dass fast alle (im Lebesgue-Sinn) reellen Zahlen normal bzw. sogar absolut normal sind.

Die Menge der nicht-normalen Zahlen ist allerdings überabzählbar, wie sich leicht anhand einer dem Cantor'schen Diskontinuum entsprechenden Konstruktion zeigen lässt.

Konstruktion normaler Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Waclaw Sierpinski lieferte im Jahr 1917 die erste Konstruktion einer normalen Zahl. Verónica Becher and Santiago Figueira gaben 2002 einen Algorithmus zur Berechnung der von Sierpinski konstruierten Zahl an. Die Chaitinsche Konstante ist ein Beispiel einer nicht berechenbaren normalen Zahl.

David Gawen Champernowne gab im Jahr 1933 die erste explizite Konstruktion einer normalen Zahl an, die als Champernowne-Zahl bekannt ist. Im Dezimalsystem lauten die ersten Stellen:

Sie ist Folge A033307 in OEIS und wird gebildet durch "Aneinanderreihen" der natürlichen Zahlen zur Basis 10. Die Champernowne-Zahl ist nicht normal bezüglich einiger anderer Basen.

Die Copeland-Erdős-Zahl, benannt nach Arthur Herbert Copeland und Paul Erdős, ist ein weiteres Beispiel einer zur Basis 10 normalen Zahl, Folge A33308 in OEIS. Die ersten Dezimalstellen lauten:

Sie wird durch Aneinanderreihen aller Primzahlen zur Basis 10 gebildet.

Wolfgang Schmidt untersuchte 1960, unter welchen Bedingungen an und Zahlen, die zur Basis normal sind, auch zur Basis normal sind, und zeigte: Wenn eine rationale Zahl ist (äquivalent: wenn es positive natürliche Zahlen und mit gibt), dann ist jede zur Basis normale Zahl auch zur Basis normal. Die Umkehrung gilt ebenfalls, und sogar: Wenn irrational ist, dann hat die Menge der Zahlen, die zur Basis normal und zur Basis nicht normal sind, die Mächtigkeit des Kontinuums.[2]

Nicht normale Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine rationale Zahl kann zu keiner Basis normal sein, da ihre Darstellung stets periodisch wird. Es gibt aber auch Konstruktionen irrationaler Zahlen, die zu keiner Basis normal sind (man nennt solche Zahlen „absolut abnormal“).

Kreiszahl π[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es ist nicht bekannt, ob irrationale Zahlen wie die Kreiszahl , die Eulersche Konstante , der natürliche Logarithmus der Zahl 2 oder zu irgendeiner Basis normal sind oder nicht.

Die Mathematiker David H. Bailey und Richard E. Crandall stellten 2001 die bis heute nicht bewiesene Vermutung auf, dass jede irrationale algebraische Zahl normal sei.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Siehe Seiten 5 und 12 in der unter „Literaturangaben“ genannten Diplomarbeit von Christoph Aistleitner.
  2. Wolfgang M. Schmidt: On normal numbers. Pacific Journal of Mathematics 10, 1960, S. 661–672 (online, ZMath-Review).

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Ivan Niven: Irrational Numbers. Carus Math. Monographs, John Wiley and Sons Inc., 1956.
  • Lauwerens Kuipers, Harald Niederreiter: Uniform distribution of sequences. Wiley-Interscience Publ., 1974.
  • David H. Bailey, Richard E. Crandall: On the Random Character of Fundamental Constant Expansions, in: Experimental Mathematics 10 (2001), S. 175–190 (Online; PDF-Datei; 279 kB)
  • Émile Borel: Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques, in: Rend. Circ. Mat. Palermo 27 (1909), S. 247–271
  • David G. Champernowne: The Construction of Decimals Normal in the Scale of Ten, in: Journal of the London Mathematical Society, 8 (1933), S. 254–260
  • Waclaw Sierpinski: Démonstration élémentaire d'un théorème de M. Borel sur les nombres absolutment normaux et détermination effective d'un tel nombre, in: Bull. Soc. Math. France, 45 (1917), S. 125–144
  • Verónica Becher, Santiago Figueira: An example of a computable absolutely normal number, in: Theoretical Computer Science, 270 (2002), S. 947–958 (www-2.dc.uba.ar/profesores/becher/becherTCS2002.pdf)
  • Christoph Aistleitner: Normale Zahlen, Diplomarbeit, Technische Universität Wien, 2006, Online (PDF-Datei; 795 kB)