(71,21,6)-Blockplan
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Der (71,21,6)-Blockplan ist ein spezieller symmetrischer Blockplan. Um ihn konstruieren zu können, musste dieses kombinatorische Problem gelöst werden: eine leere 71 × 71 - Matrix wurde so mit Einsen gefüllt, dass jede Zeile der Matrix genau 21 Einsen enthält und je zwei beliebige Zeilen genau 6 Einsen in der gleichen Spalte besitzen (nicht mehr und nicht weniger). Das klingt relativ einfach, ist aber nicht trivial zu lösen. Es gibt nur gewisse Kombinationen von Parametern (wie hier v = 71, k = 21, λ = 6), für die eine solche Konstruktion überhaupt machbar ist. In dieser Übersicht sind die kleinsten solcher (v,k,λ) aufgeführt.
Eigenschaften
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Dieser symmetrische Blockplan hat die Parameter v = 71, k = 21, λ = 6 und damit folgende Eigenschaften:
- Er besteht aus 71 Blöcken und 71 Punkten.
- Jeder Block enthält genau 21 Punkte.
- Je 2 Blöcke schneiden sich in genau 6 Punkten.
- Jeder Punkt liegt auf genau 21 Blöcken.
- Je 2 Punkte sind durch genau 6 Blöcke verbunden.
Existenz und Charakterisierung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Es existieren mindestens zwei nichtisomorphe 2-(71,21,6) - Blockpläne[1][2]. Diese Lösungen sind:
- Lösung 1 (dual zur Lösung 2) mit der Signatur 21·1, 42·3, 7·6, 1·7. Sie enthält 3332 Ovale der Ordnung 3.
- Lösung 2 (dual zur Lösung 1) mit der Signatur 28·9, 21·10, 14·12, 7·22, 1·63. Sie enthält 3374 Ovale der Ordnung 3.
Liste der Blöcke
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Hier sind alle Blöcke dieses Blockplans aufgelistet; zum Verständnis dieser Liste siehe diese Veranschaulichung
- Lösung 1
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- Lösung 2
1 2 16 17 18 20 24 25 27 32 34 38 41 45 46 54 57 63 64 68 70 1 3 17 18 19 21 25 26 28 33 35 39 42 46 47 51 55 58 64 69 71 1 4 18 19 20 22 26 27 29 34 36 40 43 47 48 52 56 58 59 65 70 1 5 16 19 20 21 23 27 28 30 35 37 41 48 49 53 57 59 60 66 71 1 6 17 20 21 22 24 28 29 31 36 38 42 49 50 51 54 60 61 65 67 1 7 16 18 21 22 23 25 29 30 32 39 43 44 50 52 55 61 62 66 68 1 8 16 17 19 22 23 24 26 31 33 37 40 44 45 53 56 62 63 67 69 1 2 12 14 15 16 33 36 42 43 47 49 51 53 57 58 62 63 65 66 68 1 3 9 13 15 17 30 34 37 43 48 50 51 52 54 59 63 64 66 67 69 1 4 9 10 14 18 31 35 37 38 44 49 52 53 55 58 60 64 67 68 70 1 5 10 11 15 19 32 36 38 39 45 50 53 54 56 58 59 61 68 69 71 1 6 9 11 12 20 30 33 39 40 44 46 54 55 57 59 60 62 65 69 70 1 7 10 12 13 21 31 34 40 41 45 47 51 55 56 60 61 63 66 70 71 1 8 11 13 14 22 32 35 41 42 46 48 52 56 57 61 62 64 65 67 71 1 2 5 7 8 12 14 15 16 26 28 29 34 35 38 40 46 50 55 59 67 1 2 3 6 8 9 13 15 17 23 27 29 35 36 39 41 44 47 56 60 68 1 2 3 4 7 9 10 14 18 23 24 28 30 36 40 42 45 48 57 61 69 1 3 4 5 8 10 11 15 19 24 25 29 30 31 41 43 46 49 51 62 70 1 2 4 5 6 9 11 12 20 23 25 26 31 32 37 42 47 50 52 63 71 1 3 5 6 7 10 12 13 21 24 26 27 32 33 38 43 44 48 53 64 65 1 4 6 7 8 11 13 14 22 25 27 28 33 34 37 39 45 49 54 58 66 2 11 12 13 18 22 24 27 29 30 31 34 35 44 50 51 53 57 58 69 71 3 12 13 14 16 19 23 25 28 31 32 35 36 44 45 51 52 54 59 65 70 4 13 14 15 17 20 24 26 29 30 32 33 36 45 46 52 53 55 60 66 71 5 9 14 15 18 21 23 25 27 30 31 33 34 46 47 53 54 56 61 65 67 6 9 10 15 19 22 24 26 28 31 32 34 35 47 48 54 55 57 62 66 68 7 9 10 11 16 20 25 27 29 32 33 35 36 48 49 51 55 56 63 67 69 8 10 11 12 17 21 23 26 28 30 33 34 36 49 50 52 56 57 64 68 70 2 10 13 15 20 21 24 25 28 30 35 37 38 39 40 52 56 58 62 63 65 3 9 11 14 21 22 25 26 29 31 36 38 39 40 41 53 57 59 63 64 66 4 10 12 15 16 22 23 26 27 30 32 39 40 41 42 51 54 58 60 64 67 5 9 11 13 16 17 24 27 28 31 33 40 41 42 43 52 55 58 59 61 68 6 10 12 14 17 18 25 28 29 32 34 37 41 42 43 53 56 59 60 62 69 7 11 13 15 18 19 23 26 29 33 35 37 38 42 43 54 57 60 61 63 70 8 9 12 14 19 20 23 24 27 34 36 37 38 39 43 51 55 61 62 64 71 2 10 11 14 17 19 25 26 27 37 40 44 46 48 50 51 60 61 65 66 68 3 11 12 15 18 20 26 27 28 38 41 44 45 47 49 52 61 62 66 67 69 4 9 12 13 19 21 27 28 29 39 42 45 46 48 50 53 62 63 67 68 70 5 10 13 14 20 22 23 28 29 40 43 44 46 47 49 54 63 64 68 69 71 6 11 14 15 16 21 23 24 29 37 41 45 47 48 50 55 58 64 65 69 70 7 9 12 15 17 22 23 24 25 38 42 44 46 48 49 56 58 59 66 70 71 8 9 10 13 16 18 24 25 26 39 43 45 47 49 50 57 59 60 65 67 71 2 6 7 10 13 18 19 20 23 31 33 36 41 46 50 58 59 62 64 66 67 3 7 8 11 14 19 20 21 24 30 32 34 42 44 47 58 59 60 63 67 68 2 4 8 12 15 20 21 22 25 31 33 35 43 45 48 59 60 61 64 68 69 2 3 5 9 13 16 21 22 26 32 34 36 37 46 49 58 60 61 62 69 70 3 4 6 10 14 16 17 22 27 30 33 35 38 47 50 59 61 62 63 70 71 4 5 7 11 15 16 17 18 28 31 34 36 39 44 48 60 62 63 64 65 71 5 6 8 9 12 17 18 19 29 30 32 35 40 45 49 58 61 63 64 65 66 2 3 5 10 11 17 20 22 23 34 35 39 42 43 45 53 55 65 66 67 70 3 4 6 11 12 16 18 21 24 35 36 37 40 43 46 54 56 66 67 68 71 4 5 7 12 13 17 19 22 25 30 36 37 38 41 47 55 57 65 67 68 69 5 6 8 13 14 16 18 20 26 30 31 38 39 42 48 51 56 66 68 69 70 2 6 7 14 15 17 19 21 27 31 32 39 40 43 49 52 57 67 69 70 71 3 7 8 9 15 18 20 22 28 32 33 37 40 41 50 51 53 65 68 70 71 2 4 8 9 10 16 19 21 29 33 34 38 41 42 44 52 54 65 66 69 71 2 4 8 11 13 17 18 21 23 32 38 40 47 48 49 51 53 54 55 59 62 2 3 5 12 14 18 19 22 24 33 39 41 48 49 50 52 54 55 56 60 63 3 4 6 13 15 16 19 20 25 34 40 42 44 49 50 53 55 56 57 61 64 4 5 7 9 14 17 20 21 26 35 41 43 44 45 50 51 54 56 57 58 62 5 6 8 10 15 18 21 22 27 36 37 42 44 45 46 51 52 55 57 59 63 2 6 7 9 11 16 19 22 28 30 38 43 45 46 47 51 52 53 56 60 64 3 7 8 10 12 16 17 20 29 31 37 39 46 47 48 52 53 54 57 58 61 5 7 8 24 25 27 35 36 40 42 47 50 52 53 54 60 62 64 66 69 70 2 6 8 25 26 28 30 36 41 43 44 48 53 54 55 58 61 63 67 70 71 2 3 7 26 27 29 30 31 37 42 45 49 54 55 56 59 62 64 65 68 71 3 4 8 23 27 28 31 32 38 43 46 50 55 56 57 58 60 63 65 66 69 2 4 5 24 28 29 32 33 37 39 44 47 51 56 57 59 61 64 66 67 70 3 5 6 23 25 29 33 34 38 40 45 48 51 52 57 58 60 62 67 68 71 4 6 7 23 24 26 34 35 39 41 46 49 51 52 53 59 61 63 65 68 69 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Oval
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Ein Oval des Blockplans ist eine Menge seiner Punkte, von welcher keine drei auf einem Block liegen. Hier ist ein Beispiel eines Ovals maximaler Ordnung für jede Lösung dieses Blockplans:
- Lösung 1
1 2 26
- Lösung 2
1 2 19
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Thomas Beth, Dieter Jungnickel, Hanfried Lenz: Design Theory. 1. Auflage. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1985, ISBN 3-411-01675-2.
- Albrecht Beutelspacher: Einführung in die endliche Geometrie. Band 1: Blockpläne. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1982, ISBN 3-411-01632-9.
Einzelnachweise
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- ↑ Zvonimir Janko, Tran van Trung: Construction of two Symmetric Block Designs for (71,21,6). In: Discrete Mathematics. Bd. 55, Nr. 3, 1985, S. 327–328, doi:10.1016/S0012-365X(85)80011-X.
- ↑ Rudolf Mathon, Alexander Rosa: 2-(ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz (Hrsg.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd Edition. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton FL u. a. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1, S. 25–57.