Solenoid (Mathematik)

Ein Smale-Williams-Solenoid

In der Mathematik sind Solenoide gewisse Kontinua, die unter anderem als Attraktoren in der Theorie der dynamischen Systeme vorkommen.

Definition

Ein Solenoid ist eine topologische Gruppe, die der projektive Limes einer Folge stetiger Homomorphismen

$f_{ij}\colon S_{i}\to S_{j}$

ist, wobei alle $S_{i}$ topologische Gruppen homöomorph zur Kreisgruppe sind.

Wenn man die Kreisgruppe als $\left\{z\in \mathbb {C} \colon |z|=1\right\}$ realisiert, dann sind also alle $f_{ij}$ von der Form

$f_{ij}(z)=z^{n_{ij}}$

für ein $n_{ij}\in \mathbb {Z}$. Anschaulich gesprochen wickelt $f_{ij}$ den Kreis $\mid n_{ij}\mid$-mal um sich selbst, je nach Vorzeichen von $n_{ij}$ in positiver oder negativer Richtung.

Eigenschaften

Solenoide sind kompakt, zusammenhängend und eindimensional. Sie sind unzerlegbare Kontinua und nicht lokal zusammenhängend oder lokal wegzusammenhängend. Sie lassen sich in den dreidimensionalen euklidischen Raum einbetten und sind damit metrisierbar.

Beispiele

Erster Schritt in der Konstruktion eines Smale-Williams-Solenoids: ein Volltorus $T_{2}$ wird innerhalb des Volltorus $T_{1}$ zweimal herumgewickelt.

Die ersten sechs Schritte in der Konstruktion eines Smale-Williams-Solenoids.

• Die folgenden topologischen Gruppen sind alle isomorph zueinander und sind ein Solenoid:

1. der projektive Limes $\varprojlim _{n\in \mathbb {N} }S^{1}$, wobei $\mathbb {N}$ durch die Teilbarkeitsrelation teilgeordnet ist und für $m\mid n$ die Abbildung von der $m$-ten auf die $n$-te Kopie von $S^{1}$ durch $z\to z^{\frac {n}{m}}$ gegeben ist;
2. der projektive Limes $\varprojlim _{n\in \mathbb {N} }\mathbb {R} /{\frac {1}{n}}\mathbb {Z}$, wobei $\mathbb {N}$ durch die Teilbarkeitsrelation teilgeordnet ist und für $m\mid n$ die Abbildung von $\mathbb {R} /{\frac {1}{n}}\mathbb {Z}$ auf $\mathbb {R} /{\frac {1}{m}}\mathbb {Z}$ von der Identitätsabbildung induziert wird;
3. das Pontrjagin-Dual $\mathbb {Q} ^{\vee }$, d. h. die Menge der Gruppenhomomorphismen $\mathbb {Q} \to S^{1}$ mit der kompakt-offenen Topologie, wobei $\mathbb {Q}$ die diskrete Topologie trägt;
4. die Adeleklassengruppe ${\mathbb {A} }/\mathbb {Q}$, wobei ${\mathbb {A} }$ der Adelring und $\mathbb {Q} \subset {\mathbb {A} }$ diagonal eingebettet ist.

• Das Smale-Willians-Solenoid zu einer Folge natürlicher Zahlen $n_{i}$ wird wie folgt konstruiert: starte mit einem Volltorus $T_{1}$, dann wird ein Volltorus $T_{2}$ innerhalb von $T_{1}$ $n_{1}$-mal herumgewickelt (das Bild rechts zeigt den Fall $n_{1}=2$), anschließend wird ein Volltorus $T_{3}$ innerhalb von $T_{2}$ $n_{2}$-mal herumgewickelt, und so fort. Dabei sollen die Durchmesser des Querschnitts der Volltori gegen Null konvergieren. Die Schnittmenge $\Lambda =\bigcap T_{i}$ ist dann homöomorph zum durch die Folge $f_{i,i+1}(z)=z^{n_{i}}$ definierten Solenoid.

Literatur

• Leopold Vietoris: Über den höheren Zusammenhang kompakter Räume und eine Klasse von zusammenhangstreuen Abbildungen. Math. Ann. 97 (1927), 454–472.
• David van Dantzig: Über topologisch homogene Kontinua. Fund. Math. 15 (1930), 102–125.

Weblinks

• Solenoid (Encyclopedia of Mathematics)