Filtrierter Kolimes

Im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie ist ein filtrierter Kolimes (auch direkter Limes oder induktiver Limes) ein spezieller Kolimes. Er kann in gewissen Fällen als Verallgemeinerung der Vereinigung betrachtet werden.

Elementare Definition (für teilgeordnete Indexmengen)

Die Indexmenge $(I,\leq )$ sei eine feste gerichtete Menge.

Ein induktives System $(X_{i},f_{ij})$ besteht aus Objekten (beispielsweise Mengen, Gruppen oder topologischen Räumen) $X_{i}$ für die Indizes $i\in I$ sowie Übergangsabbildungen

$f_{ij}\colon X_{i}\to X_{j}$ für $i\leq j$,

die mit der jeweiligen Struktur verträglich sind (d. h. Mengenabbildungen, Gruppenhomomorphismen, stetige Abbildungen topologischer Räume) und folgende Bedingungen erfüllen

1. $f_{ii}=\operatorname {id} _{X_{i}}$ für alle $i$ die identische Abbildung auf $X_{i}$ und
2. $f_{ik}=f_{jk}\circ f_{ij}$ für alle $i\leq j\leq k$.

Der induktive Limes eines induktiven Systems $(X_{i},f_{ij})$ ist ein Objekt $\mathrm {colim} _{n}X_{n}$ zusammen mit Abbildungen

$u_{i}\colon X_{i}\to \mathrm {colim} _{n}\,X_{n}$,

die mit den $f_{ij}$ kompatibel sind, d. h.

$u_{i}=u_{j}\circ f_{ij}$ für $i\leq j$

mit der folgenden universellen Eigenschaft:

Kompatible Systeme von Abbildungen der $X_{i}$ in ein beliebiges Testobjekt $T$ entsprechen Abbildungen von $\mathrm {colim} _{n}X_{n}$ nach $T$.

Das bedeutet: Wann immer Abbildungen $t_{i}\colon X_{i}\to T$ gegeben sind, für die

$t_{i}=t_{j}\circ f_{ij}$ für $i\leq j$

gilt, gibt es eine eindeutige Abbildung

$c\colon \mathrm {colim} _{n}\,X_{n}\to T$,

von der die Abbildungen $t_{i}$ „herkommen“, d. h.

$t_{i}=c\circ u_{i}$.

Der induktive Limes eines induktiven Systems (X_i, f_i,j) von Mengen kann explizit konstruiert werden als eine Menge von Äquivalenzklassen

$\coprod _{i}X_{i}/\sim$

in der disjunkten Vereinigung $\coprod _{i}X_{i}$. Hierbei sollen Elemente $x\in X_{i}$ und $y\in X_{j}$ äquivalent sein, wenn ein $k\in I$ existiert, für das $f_{ik}(x)=f_{jk}(y)\in X_{k}$ gilt.