Gerichtete Menge

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Gerichtete Mengen bezeichnen in der Mathematik eine Verallgemeinerung der nichtleeren, linear geordneten Mengen. Sie werden in der Topologie verwendet, um Netze, und in der Kategorientheorie, um Limites und Kolimites zu definieren.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine nichtleere Menge X heißt gerichtet, falls auf ihr eine Relation  \triangleleft (genannt Richtung) erklärt ist, die die folgenden Forderungen erfüllt:[1]

(R1) \forall x \in X\colon x \triangleleft x „Reflexivität“
  (R2) \forall x,y,z \in X\colon (x \triangleleft y) \and (y \triangleleft z) \Rightarrow (x \triangleleft z) „Transitivität“
  (R3) \forall x,y \in X\ \exists z \in X\colon (x \triangleleft z) \and (y \triangleleft z) „Existenz einer oberen Schranke“

Auf einer Menge kann es durchaus sinnvoll sein, verschiedene Richtungen zu definieren (siehe Beispiele). Um die gemeinte Richtung hervorzuheben, nennt man auch das geordnete Paar \left(X,\triangleleft \right) gerichtete Menge. Sprechweise für x \triangleleft y ist „x vor y“ oder auch „y nach x“. Unter y \triangleright x versteht man x \triangleleft y.

Äquivalent könnte man eine gerichtete Menge auch als Quasiordnung, bei der jede endliche Teilmenge eine obere Schranke hat, definieren.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  •  X \subseteq \mathbb{R}^n; \, \rho \in \mathbb{R}^n\ \mathrm{fest}; \, 
     \forall x,y \in X: (x \triangleleft y) :\Leftrightarrow \left\| x - \rho \right\| \le \left\| y - \rho \right\| \quad
(Sprechweise: „\mathit{X} ist auf \mathit{\rho} gerichtet“, „\mathit{\rho} ist Richtungszentrum von \mathit{X}“.) Man kann durch diese Richtung den Grenzwert einer Funktion f\colon X \to \mathbb{R}^n für x \to \rho als (Netz-)Konvergenz des zugehörigen Netzes auffassen.
  •  X = \N; \, \forall n,m \in X: (n \triangleleft m) :\Leftrightarrow n \mid m
In der Bedeutung „n teilt m“. Die Forderung (R3) wird erfüllt durch das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV). Die gerichtete Menge (\N,\mid) kommt zum Einsatz bei kategoriellen Limites, bspw. den proendlichen Zahlen.
  •  X = \mathbb{N}; \, \forall n,m \in X: (n \triangleleft m) :\Leftrightarrow n \leq m
  •  X = \mathbb{R}; \, \forall x,y \in X: (x \triangleleft y) :\Leftrightarrow x \leq y
Mit Hilfe dieser gerichteten Menge lassen sich Grenzwerte von Funktionen respektive Folgen für x \to \infty bzw. n \to \infty, ähnlich dem ersten Beispiel, als (Netz)Konvergenzen ihrer zugehörigen Netze auffassen.
  •  X = \mathbb{N}^2; \, \forall (n,m),(p,q) \in X: ((n,m) \triangleleft (p,q)) :\Leftrightarrow (n \leq p) \and (m \leq q)
Mit dieser Richtung auf \mathbb{N}^2 lässt sich Konvergenz von Doppelfolgen, wiederum als Netzkonvergenz, definieren.
Die Forderung (R3) wird erfüllt durch die Vereinigungsmenge.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 15. Auflage. Teubner, Stuttgart u. a. 2003, ISBN 3-519-62233-5.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Heuser, S. 249/250.