Gerichtete Menge

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Gerichtete Mengen bezeichnen in der Mathematik eine Verallgemeinerung der nichtleeren, linear geordneten Mengen. Sie werden in der Topologie verwendet, um Netze zu definieren.

Definition[Bearbeiten]

Eine nichtleere Menge X heißt gerichtet, falls auf ihr eine Relation  \triangleleft (genannt Richtung) erklärt ist, die folgenden Axiomen genügt:[1]


\begin{array}{lll}
  (R1)& \forall x \in X\colon x \triangleleft x & (\text{Reflexivität}) \\
  (R2)& \forall x,y,z \in X\colon (x \triangleleft y) \and (y \triangleleft z) \Rightarrow (x \triangleleft z) & (\text{Transitivität}) \\
  (R3)& \forall x,y \in X\ \exists z \in X\colon (x \triangleleft z) \and (y \triangleleft z) & (\text{Existenz einer oberen Schranke}) \\
\end{array}

Auf einer Menge kann es durchaus sinnvoll sein, verschiedene Richtungen zu definieren (siehe Beispiele). Um die gemeinte Richtung hervorzuheben, nennt man auch das geordnete Paar \left(X,\triangleleft \right) gerichtete Menge. Sprechweise für x \triangleleft y ist „x vor y“ oder auch „y nach x“. Unter y \triangleright x versteht man x \triangleleft y.

Äquivalent könnte man eine gerichtete Menge auch als Quasiordnung, bei der jede endliche Teilmenge eine obere Schranke hat, definieren.

Beispiele[Bearbeiten]

  •  X \subseteq \mathbb{R}^n; \, \rho \in \mathbb{R}^n\ \mathrm{fest}; \, 
     \forall x,y \in X: (x \triangleleft y) :\Leftrightarrow \left\| x - \rho \right\| \le \left\| y - \rho \right\| \quad
(Sprechweise: „\mathit{X} ist auf \mathit{\rho} gerichtet“, „\mathit{\rho} ist Richtungszentrum von \mathit{X}“.) Man kann durch diese Richtung den Grenzwert einer Funktion f\colon X \to \mathbb{R}^n für x \to \rho als (Netz-)Konvergenz des zugehörigen Netzes auffassen.
  •  X = \mathbb{N}; \, \forall n,m \in X: (n \triangleleft m) :\Leftrightarrow n \leq m
  •  X = \mathbb{R}; \, \forall x,y \in X: (x \triangleleft y) :\Leftrightarrow x \leq y
Mit Hilfe dieser gerichteten Mengen lassen sich Grenzwerte von Funktionen respektive Folgen für x \to \infty bzw. n \to \infty, ähnlich dem ersten Beispiel, als (Netz)Konvergenzen ihrer zugehörigen Netze auffassen.
  •  X = \mathbb{N}^2; \, \forall (n,m),(p,q) \in X: ((n,m) \triangleleft (p,q)) :\Leftrightarrow (n \leq p) \and (m \leq q)
Mit dieser Richtung auf \mathbb{N}^2 lässt sich Konvergenz von Doppelfolgen, wiederum als Netzkonvergenz, definieren.
  •  M eine beliebige Menge und  X = \mathcal{P}(M); \, \forall A, B \in X: (A \triangleleft B) :\Leftrightarrow A \subseteq B

Literatur[Bearbeiten]

Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 15. Auflage. Teubner, Stuttgart u. a. 2003, ISBN 3-519-62233-5.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Heuser, S. 249/250.