Abelsche Identität

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Dieser Artikel behandelt die abelsche Identität für die Wronski-Determinante. Für die abelsche Identität als Umformung einer Summe von Produkten jeweils zweier Faktoren siehe abelsche partielle Summation.

Die abelsche Identität ist ein Ausdruck für die Wronski-Determinante zweier linear unabhängiger homogener Lösungen einer linearen gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung. Die Beziehung wurde 1827 von dem norwegischen Mathematiker Niels Henrik Abel hergeleitet.

Aussage[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben sei die lineare gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung

.

Für die Wronski-Determinante von zwei Lösungen der Differentialgleichung gilt dann

.

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nach Definition ist , worin ein Fundamentalsystem für die Differentialgleichung

mit

ist. Gemäß der liouvilleschen Formel gilt

Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die abelsche Identität erlaubt es, die Wronski-Determinante bei bekanntem Wert an der Stelle für alle anderen zu berechnen. Insbesondere ist die Wronski-Determinante konstant, wenn gilt. Aufgrund der Beziehung, die die Wronski-Determinante zwischen zwei linear unabhängigen Lösungen herstellt, erlaubt sie unter Umständen, die eine aus der anderen zu berechnen.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • W. Boyce und R. Di Prima: Elementary differential equations and boundary value problems. Wiley, New York 1969

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]