Achilles und die Schildkröte

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Als Paradoxon von Achilles und der Schildkröte wird einer von mehreren bekannten Trugschlüssen bezeichnet, die dem antiken griechischen Philosophen Zenon von Elea zugeschrieben werden (weitere siehe dort). Darin wird versucht zu belegen, dass ein schneller Läufer wie Achilles bei einem Wettrennen eine Schildkröte niemals einholen könne, wenn er ihr einen Vorsprung gewähre. Der Gang des Arguments ist folgender:

Bevor Achilles die Schildkröte überholen kann, muss er zuerst ihren Vorsprung einholen. In der Zeit, die er dafür benötigt, hat die Schildkröte aber einen neuen, wenn auch kleineren Vorsprung gewonnen, den Achilles ebenfalls erst einholen muss. Ist ihm auch das gelungen, hat die Schildkröte wiederum einen – noch kleineren – Weg-Vorsprung gewonnen und so weiter. Der Vorsprung, den die Schildkröte hat, werde zwar immer kleiner, bleibe aber dennoch immer ein Vorsprung, sodass sich der schnellere Läufer der Schildkröte zwar immer weiter nähere, sie aber niemals einholen und somit auch nicht überholen könne.

Tatsächlich wird ein Schnellerer einen Langsameren aber immer einholen, sofern er dafür nur genügend Zeit hat. Die zum Einholen benötigte Zeit ist proportional zum Vorsprung und umgekehrt proportional zur Differenz der Geschwindigkeiten der beiden Läufer[Anm. 1] und bei gleichbleibendem Verhältnis dieser beiden Geschwindigkeiten umgekehrt proportional zu jeder derselben.[Anm. 2]

Zenons Trugschluss beruht auf zwei Fehlern:[1]

  1. Er berücksichtigt nicht, dass eine unendliche Reihe eine endliche Summe haben kann.[Anm. 3]
  2. Der Weg, den Achilles von seinem Ausgangspunkt bis zum Zusammentreffen mit der Schildkröte zurückgelegt, kann beliebig oft – formal unendlich oft – in Vorsprünge der Schildkröte unterteilt werden. Aus der Tatsache, dass diese Teilungshandlung beliebig oft vorgenommen werden kann, folgt aber nicht, dass die zu durchlaufende Strecke unendlich wäre,[Anm. 4] oder dass unendlich viel Zeit erforderlich wäre, sie zurückzulegen.

Es gibt unterschiedliche Ansichten darüber, was Zenon mit seinen „Paradoxien“ zeigen wollte. Häufig wird vermutet, dass sie die Eleatische These (siehe Parmenides von Elea) stützen sollten, der zufolge es in der Wirklichkeit keine Vielheit, sondern nur ein einziges unveränderliches und unzerstörbares Ganzes gebe, und dass die Alltagswahrnehmung von Vielfalt und Bewegung bloßer Schein sei. Sicher ist jedoch, dass diese antike Überlegung zur Begriffsbildung der Unendlichkeit beigetragen hat und auch heute noch als Lehrbeispiel verwendet wird.

Das Paradoxon ist nicht direkt überliefert, sondern findet sich in AristotelesPhysik[2][3] und Simplikios’ Kommentar[4] dazu.

Verwandte Paradoxa, die Zenon zugeschrieben werden, sind das Teilungsparadoxon und das Pfeil-Paradoxon. Inhaltlich nicht verwandt mit dem Zenonischen Paradox ist ein von Lewis Carroll in seinem kurzen Dialog What the Tortoise Said to Achilles[5] (Was die Schildkröte zu Achilles sagte) vorgestelltes Argument, mit dem er den Unterschied zwischen objekt- und metasprachlicher Implikation thematisiert und das gelegentlich als Carroll-Paradox bezeichnet wird.[6]

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Anmerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Sei die Zeit, die vom Beginn des Rennens bis zu dem Zeitpunkt verstreicht, zu dem Achilles die Schildkröte einholt, der Weg, den Achilles während der Zeit zurücklegt. der Weg, den die Schildkröte während der Zeit zurücklegt, der Vorsprung der Schildkröte zu Beginn des Rennens, die Geschwindigkeit Achilles', die Geschwindigkeit der Schildkröte. Dann lässt sich t wie folgt berechnen:
    , also ; mit folgt nach Division: .
    Letzteres zeigt die im Text behauptete Proportionalität der Zeit zum Vorsprung der Schildkröte und die umgekehrte Proportionalität von zur Geschwindigkeitsdifferenz .
  2. (Mit ) sei weiter das Verhältnis der Geschwindigkeiten, sodass , (mit ) auch . Wegen ist , und der Ausdruck für lässt sich weiter umformen: ; für konstantes Verhältnis der beiden Geschwindigkeiten zeigen die letzten beiden Brüche die im Text behauptete umgekehrte Proprotionalität der Zeit zu bzw. . Die umgekehrte Proportionalität von zu bedeutet, dass Achilles die Schildkröte eher trifft, wenn jene schneller läuft. Das könnte zunächst verwundern; vorausgesetzt ist hier aber, dass in diesem Fall auch Achilles um den gleichen Faktor schneller läuft wie die Schildkröte (da als konstant vorausgesetzt wird).
  3. Es ist – heute – möglich, auch mit Zenons Ansatz die Zeit auszurechnen, nach der Achilles die Schildkröte einholt. - Sei wie oben der Vorsprung der Schildkröte zu Beginn des Rennens, die Zeit, die Achilles benötigt, um zurückzulegen. Ferner sei die Schildkröte -mal langsamer als Achilles. Dann holt Achilles die Schildkröte nach der Zeit ein weiteres Mal ein, nach der Zeit ein drittes Mal usw. Mit ist die Summe aller von Zenon betrachteten Zeiten, die Achilles zurücklegt:
    .
    Es ist möglich, aber nicht zwingend erforderlich, wie oben als Quotienten zweier Geschwindigkeiten aufzufassen. Dann ist mit weiter:
    die konvergente geometrischen Reihe ergibt also das gleiche Ergebnis für wie die Rechnung in Anmerkung 1 ohne Zerlegung von nach Zenons Ansatz. Die Reihe erfüllt wegen ein Konvergenzkriterium, sodass Grenzwertrechnung ihr genau eine (exakte, als "Grenzwert" bezeichnete) Zahl zuordnet, die sie im Unendlichen erreicht. Eine solche Mathematik war Zenon augenscheinlich nicht bekannt.
  4. Mit Zenons Ansatz lässt sich auch der Weg ausrechnen, den Achilles im Zeitraum (von seinem Startpunkt bis zum Einholen der Schildkröte) zurücklegt. - In der Rechnung in Anmerkung 3 ist nur bzw. durch bzw. zu ersetzen:
    .
    Werden Geschwindigkeiten eingeführt, so ist ohne Zerlegung in Teilwege unter Benutzung obiger Darstellung von :
    ;
    Ausklammern von im Nenner und Kürzen liefert das gleiche Ergebnis wie die konvergente Reihe.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Max Black: Achilles and the Tortoise, in: Analysis 11 (1950), 91–101.
  • Simon Blackburn: Practical Tortoise Raising, in: Mind 104 (1995), 696–711.
  • S. Brown: What the Tortoise taught us, in: Mind 63 (1954), 170–179.
  • Florian Cajori: The Purpose of Zeno’s Arguments on Motion, in: Isis 3/1 (1920), 7–20.
  • L. Carroll (C.L. Dogson): What the Tortoise said to Achilles, in: Mind 104 (1995), 278–280.
  • M. Clark: Paradoxes, from A to Z, Routledge, London 2000.
  • Pascal Engel: Dummett, Achilles and the tortoise, in: L. Hahn / R. Auxier (Hgg.): The philosophy of Michael Dummett (Library of Living philosophers), La Salle, Ill.: Open Court 2005.
  • Adolf Grünbaum: Modern Science and Zeno’s Paradoxes, Middletown: Wesleyan University Press 1967.
  • Andrew Harrison: Zeno’s Paper Chase, in: Mind 76/304 (1967), 568–575.
  • J. M. Hinton / C. B. Martin: Achilles and the Tortoise, in: Analysis 14/3 (1954), 56–68.
  • C. V. Jones: Zeno’s paradoxes and the first foundations of mathematics (Spanish), in: Mathesis 3/1 1987.
  • S. Makin: Art. Zeno of Elea, in: Routledge Encyclopedia of Philosophy 9, 843–853. London, 1998.
  • R. Morris: Achilles in the Quantum Universe, Redwood Books, Trowbridge, Wiltshire 1997.
  • Jorge Luis Borges: Zwei Essays in Kabbala und Tango, S. Fischer Verlag, 1991.
  • Aloys Müller: Das Problem des Wettlaufs zwischen Achill und der Schildkröte, in: Archiv für Philosophie 2 (1948), 106–111.
  • Stanislaus Quan: The Solution of Zeno’s First Paradox, in: Mind 77/306 (1968), 206–221.
  • W. D. Ross: Aristotle’s Physics, Oxford: Clarendon 1936, xi-xii Bibliographie älterer Literatur zu den Paradoxien der Bewegung, 70–85u.ö.Kommentar zu den Abschnitten bei Aristoteles.
  • Bertrand Russell: Our Knowledge of the External World, Open Court, London-Chicago 1914, Kap. 5 und 6.
  • Richard Mark Sainsbury: Paradoxien, Stuttgart: Reclam 2001 (=Reclams Universal-Bibliothek 18135), ISBN 3-15-018135-6.
  • Wesley C. Salmon (Hrsg.): Zeno’s paradoxes, Hacket Indianapolis 1970, Nachdruck 2001, ISBN 0-87220-560-6.
  • Wesley C. Salmon: Space, Time and Motion, Enrico, California and Belmont, California, Dickenson Publishing Co., Inc. 1975, Kap. 2
  • T. Smiley: A Tale of Two Tortoises, in: Mind 104 (1995), 725–736.
  • Roy Sorensen: A Brief History of the Paradox, Oxford University Press 2003.
  • L. E. Thomas: Achilles and the Tortoise, in: Analysis 12/4 (1952), 92–94.
  • J. F. Thomson: What Achilles should have said to the Tortoise, in: Ratio 3 (1960), 95–105.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Nach Peter Janich: „Achilles und die Schildkröte“, in: Jürgen Mittelstraß (Hrsg.): Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie, Band 1, Metzler Stuttgart 1995, Nachdruck 2004, Seite 41, ISBN 3-476-02012-6
  2. VI,9,239b14-240a18 in der Formulierung, dass „auch das langsamste Tier im Laufe nicht eingeholt werden könne vom schnellsten, da der Verfolger immer erst dahin kommen müsse, von wo das fliehende Tier fortgelaufen ist, so daß das langsamere immer einen Vorsprung behalte“.
  3. Altgriechischer Originaltext in Aristoteles: Physik. (siehe im Bildschirmausschnitt §4). Archiviert vom Original am 16. Mai 2008; abgerufen am 16. Oktober 2013.
  4. Simplicius: On Aristotle’s Physics 1014,10, vgl.: Readings in Ancient Greek Philosophy From Thales to Aristotle, hg. S. M. Chohen / P. Curd / C. D. C. Reeve, Indianapolis/Cambridge: Hackett 1995, 58f
  5. Mind 1(1895), S. 278–280.
  6. hierzu siehe zum Beispiel Pascal Engel: Dummett, Achilles and the tortoise, In: L. Hahn / R. Auxier (Hgg.): The philosophy of Michael Dummett (Library of Living philosophers), La Salle, Ill.: Open Court 2005.