Apriori-Algorithmus

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Der Apriori-Algorithmus ist ein Verfahren zur Assoziationsanalyse, einem Bereich des Data-Mining. Er dient der Auffindung von sinnvollen und nützlichen Zusammenhängen in transaktionsbasierten Datenbasen, die in Form von sogenannten Assoziationsregeln dargestellt werden. Eine häufige Anwendung des Apriori-Algorithmus ist die Warenkorbanalyse. Items sind hierbei angebotene Produkte und ein Einkauf stellt eine Transaktion dar, welche die gekauften Items enthält. Der Algorithmus bestimmt nun Korrelationen der Form:

Wenn Shampoo und Rasierwasser gekauft wurden, wurde in 90 % der Fälle auch Rasierschaum gekauft.

Eine passende Datenbasis besteht aus einer Tabelle von Transaktionen (Zeilen) in denen beliebige binäre Items (Spalten) zusammengefasst werden. Der Apriori-Algorithmus findet Zusammenhänge zwischen Mengen von Items, die in einem großen Teil der Transaktionen vorkommen. Die ausgegebenen Assoziationsregeln haben die Form , dabei sind und Mengen von Items und die Regel besagt, dass wenn in einem großen Teil der Transaktionen die Itemmenge vorkommt, dann ist auch die Itemmenge häufig enthalten.

Voraussetzungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Apriori-Algorithmus wird bei Datenbasen einer bestimmten Form angewendet. Die Form der Datenbasis muss wie folgt vorliegen:

  • ist eine Menge von möglichen Items
  • ist die Datenbasis, bestehend aus Transaktionen
  • eine Transaktion fasst eine Menge von Items zusammen

Typischerweise wird eine Menge von mehr als 500.000 Transaktionen auf einer sehr großen Item-Basis analysiert. Die Darstellung der Datenbasis erfolgt in einer de-normalisierten Datenbanktabelle, welche für jedes mögliche Item eine Spalte besitzt. Die enthaltenen Zeilen stellen jeweils eine Transaktion dar, wobei in der Transaktion enthaltene Items mit einer 1, nicht enthaltene mit einer 0 gekennzeichnet werden. Eine Transaktion lässt sich somit auch als Vektor mit Dimensionen betrachten.

Eine Assoziationsregel ist von der Form

wobei gilt

, und

Bewertung von Regeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Assoziationsregeln werden mit zwei probabilistischen Messwerten bewertet: Support und Konfidenz. Der Apriori-Algorithmus erwartet als Eingabe unter anderem die Werte und , welche den minimalen Support und die minimale Konfidenz einer Regel darstellen, damit sie berücksichtigt werden.

Support[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Support einer Itemmenge ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Itemmenge in einer Transaktion vorkommt.

Sei Itemmenge.

Der Support einer Assoziationsregel , mit und , ist definiert als

Der Support einer Regel gibt also die relative Häufigkeit an, mit der die Regel in der Datenbasis vorkommt. Meist ist ein hoher Support wünschenswert, um Aussagen über Mehrheiten zu finden.

Konfidenz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine Assoziationsregel, mit und .

Die Konfidenz einer Regel entspricht der Wahrscheinlichkeit der Konklusion unter Bedingung der Prämisse:

also

Die Konfidenz misst also die relative Häufigkeit des Vorkommens der Konklusion unter Bedingung der Prämisse. Auch für die Konfidenz ist ein hoher Wert wünschenswert. Oder einfacher ausgedrückt: Die Konfidenz misst für welchen Anteil der Transaktionen, in denen vorkommt, auch vorkommt. Zur Berechnung der Konfidenz wird die Anzahl aller regelerfüllenden Transaktionen (also der Support) durch die Anzahl der Transaktionen, die enthalten, geteilt.

Der Algorithmus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Apriori-Algorithmus erhält als Eingaben

  • Die Datenbasis
  • Den Minimal-Support
  • Die minimale Konfidenz

und gibt eine Menge von Assoziationsregeln aus, die sowohl als auch erfüllen.

Der Algorithmus arbeitet in zwei Schritten welche beide einen gemeinsamen Schritt Apriori-Gen verwenden:

  1. Findung häufiger Mengen
  2. Erzeugung von Assoziationsregeln

Finden häufiger Itemmengen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Suche nach häufigen Itemmengen startet mit 1-elementigen Mengen und wird iterativ mit n-elementigen Mengen fortgeführt, bis keine Itemmengen mit genügendem Support mehr gefunden werden. Dabei wird in jeder Iteration eine Menge von Kandidatenmengen mittels Apriori-Gen erzeugt und jede Menge auf die -Eigenschaft hin überprüft. Können keine neuen Mengen mehr gefunden werden, stoppt der Algorithmus und gibt die gefundenen Mengen aus.

  1. Berechne alle 1-elementigen Itemmengen mit Support > : .
  2. Für .
    1. Berechne Menge von Kandidaten aus mittels Apriori-Gen.
    2. Berechne den tatsächlichen Support von allen Mengen aus .
    3. Nimm die Mengen mit genügend Support in auf.
    4. Ist , brich ab.
  3. Gib zurück.

Die zurückgegebene Menge enthält alle häufigen Itemmengen.

Apriori-Gen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Sub-Routine Apriori-Gen wird sowohl bei der Berechnung häufiger Mengen, als auch bei der Generierung von Assoziationsregeln verwendet. Anstatt für alle möglichen Itemmengen den Support direkt zu berechnen, wird durch Apriori-Gen auf Basis von bereits gefundenen häufigen Mengen eine Menge von Kandidaten zur weiteren Überprüfung generiert.

Die Routine erhält als Eingabe eine Menge von häufigen -Itemmengen () und gibt eine Menge von -Itemmengen () als mögliche Kandidaten zurück. Sie basiert auf dem Prinzip, dass alle Teilmengen einer häufigen Itemmenge häufig sind, alle Obermengen einer nicht-häufigen Itemmenge aber auch nicht-häufig. Unnötige Support-Berechnungen werden so vermieden.

  1. Generiere -Itemmengen durch Verschmelzung von je zwei -Itemmengen, die je Items gemein haben und füge sie hinzu. Dieser Schritt garantiert, dass immer nur jeweils ein Element zur neuen Menge hinzukommt.
  2. Überprüfe für jede Menge in , ob alle -Teilmengen in enthalten sind. Falls nicht, entferne aus .

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Eingabe zu Apriori-Gen sei:

Schritt 1 der Apriori-Gen-Routine berechnet nun die folgende Kandidaten-Menge:

Schritt 2 entfernt die Mengen und wieder aus , da und nicht in enthalten sind. Beide Mengen sind also nicht häufig und Ihre Obermengen müssen nicht berücksichtigt werden.

Das Ergebnis von Apriori-Gen ist also

Generierung von Assoziationsregeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nur Itemmengen die bereits in sich häufig sind, müssen für diesen Schritt des Algorithmus berücksichtigt werden. Solche Itemmengen wurden von Schritt 1 des Apriori-Algorithmus berechnet. Die von Schritt 1 verwendete Routine Apriori-Gen wird bei der Generierung von Assoziationsregeln erneut verwendet.

Für jede gefundene häufige Itemmenge wird versucht, Assoziationsregeln zu erzeugen. Dabei wird mit möglichst kurzen (1-elementigen) Konklusionen begonnen, welche iterativ vergrößert werden. Der folgende Pseudocode wird für jede gefundene Itemmenge ausgeführt:

  1. Für jede Itemmenge Z: berechne Assoziationsregeln der Form mit und mit .
  2. Erzeuge mit Itemmengen bestehend aus je einer gefundenen Konklusion.
    1. Erzeuge durch Apriori-Gen.
    2. Für jede Konklusion überprüfe von . Falls nicht erfüllt ist, entferne aus .
    3. Wenn , brich ab.
  3. Gib zurück.

Die erzeugten Regeln erfüllen alle und .

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Rakesh Agrawal, Tomasz Imieliński, Arun Swami: Mining Association Rules between Sets of Items in Large Databases. In: Peter Buneman; Sushil Jajodia (Hrsg.): Proceedings of the 1993 ACM SIGMOD international conference on Management of data (= SIGMOD Record. Bd. 22, Nr. 2, Juni 1993). ACM, New York NY 1993, ISBN 0-89791-592-5, S. 207–216, doi:10.1145/170035.170072
  • Rakesh Agrawal, Ramakrishnan Srikant: Fast Algorithms for Mining Association Rules. In: Jorge Bocca, Matthias Jarke, Carlo Zaniolo (Hrsg.): Very large data bases. Proceedings of the 20th International Conference on Very Large Data Bases. Morgan Kaufmann Publishers Inc., Hove u. a. 1994, ISBN 1-55860-153-8, S. 487–499, online (PDF; 282 KB).
  • Jean-Marc Adamo: Data Mining for Association Rules and Sequential Patterns. Sequential and Parallel Algorithms. Springer, New York NY u. a. 2001, ISBN 0-387-95048-6 (englisch).
  • Christoph Beierle, Gabriele Kern-Isberner: Methoden wissensbasierter Systeme: Grundlagen, Algorithmen, Anwendungen., 4.Aufl. Vieweg+Teubner Verlag, 2008, S.147ff. ISBN 3834805041

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]