Arnolds Katzenabbildung

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Arnolds Katzenabbildung (auch Anosovs Katzenabbildung) ist in der Theorie der dynamischen Systeme das einfachste Beispiel eines Anosov-Diffeomorphismus und damit ein explizit berechenbares chaotisches System. Sie ist benannt nach Wladimir Igorewitsch Arnold, der die Eigenschaften der Transformation anhand der Darstellung einer Katze demonstrierte.

Das Bild zeigt, wie die Abbildung mit der Matrix das Einheitsquadrat verformt und wie die Stücke modulo 1 neu arrangiert werden. Die gestrichelten Linien geben die Richtungen maximaler Streckung und Stauchung an, sie entsprechen den Eigenvektoren der Matrix.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Arnolds Katzenabbildung ist die Selbstabbildung des Torus definiert durch

oder in Matrixnotation

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Diskretisierung für n = 150. Nach 300 Iterationen erhält man wieder die Identitätsabbildung.
  • Die Abbildung ist ein Anosov-Diffeomorphismus: die Matrix hat zwei Eigenwerte und , die Eigenvektoren liefern eine Zerlegung
in jedem Punkt , wobei und nach der kanonischen Identifizierung
den Eigenvektoren zu und entsprechen. Die Projektionen der zu den Eigenvektoren parallelen Geraden auf den Torus sind die stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten der Abbildung.
.
Die periodischen Punkte liegen dicht. Ein Punkt ist genau dann präperiodisch, wenn er rationale Koordinaten hat.
.
  • Die Diskretisierung
ist periodisch mit Periode .

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Vladimir I. Arnold, André Avez: Ergodic problems of classical mechanics. Translated from the French by A. Avez. W. A. Benjamin, Inc., New York – Amsterdam 1968.
  • Freeman Dyson, Harold Falk: Period of a discrete cat mapping. Amer. Math. Monthly 99 (1992), 603–614.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]