Rationale Zahl

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Eine rationale Zahl ist eine reelle Zahl, die als Verhältnis (lateinisch ratio) zweier ganzer Zahlen dargestellt werden kann. Um die Menge aller rationalen Zahlen zu bezeichnen, wird das Formelzeichen verwendet (von „Quotient“, siehe Buchstabe mit Doppelstrich). Sie umfasst alle Zahlen, die sich als Bruch (engl. fraction) darstellen lassen, der sowohl im Zähler als auch im Nenner ganze Zahlen enthält. Die genaue mathematische Definition beruht auf Äquivalenzklassen von Paaren ganzer Zahlen.

Die rationalen Zahlen werden auch Bruchzahlen genannt, insbesondere in der Schulmathematik. Die Begriffe gewöhnlicher Bruch, Stammbruch, gekürzter Bruch, gemischter Bruch, Dezimalbruch, Binärbruch … werden dagegen für besondere Schreibweisen oder Formen von rationalen Zahlen verwendet.

Definition

Die Menge der rationalen Zahlen besteht aus der Menge der negativen rationalen Zahlen, der Zahl Null und der Menge der positiven rationalen Zahlen. Die Definition der rationalen Zahlen basiert auf der Darstellung rationaler Zahlen durch Brüche, also Paare ganzer Zahlen. Sie ist so aufgebaut, dass das Rechnen mit rationalen Zahlen wie gewohnt mit Hilfe ihrer Bruchdarstellungen durchgeführt werden kann, abstrahiert aber zugleich die rationale Zahl von ihren Bruchdarstellungen. Die rationalen Zahlen werden dabei nicht als vollkommen neue Dinge postuliert, sondern auf die ganzen Zahlen zurückgeführt.

Die Definition beginnt mit der Menge aller geordneten Paare ganzer Zahlen mit . Wichtig: Diese Paare sind nicht die rationalen Zahlen.

Man definiert Addition und Multiplikation auf dieser Menge wie folgt:

Das sind die bekannten Rechenregeln der Bruchrechnung. Die Zahlenpaare kann man damit als Brüche auffassen.

Ein Ziel der Definition rationaler Zahlen ist, dass zum Beispiel die Brüche und dieselbe „Zahl“ bezeichnen. Man betrachtet also Brüche, die untereinander äquivalent (von gleichem Wert) sind. Dies wird ausgedrückt durch eine Äquivalenzrelation, die man wie folgt definiert:

.

Wichtig ist, dass diese Relation tatsächlich eine Äquivalenzrelation ist, also die Gesamtmenge in Teilmengen (hier Äquivalenzklassen genannt) untereinander äquivalenter Elemente zerlegt; dies kann man beweisen.

Für die Äquivalenzklassen definiert man wieder Rechenregeln, die auf der Bruchrechnung basieren und dafür sorgen, dass das, was man unter einer rationalen Zahl versteht, von der konkreten Bruchdarstellung abstrahiert wird. Die Addition der Äquivalenzklassen und wird wie folgt definiert:

Aus wählt man ein beliebiges Element, also ein geordnetes Paar ganzer Zahlen (man wählt also ein einziges Element von und nicht etwa zwei). Ebenso wählt man aus das Element .

und addiert man nun gemäß der Bruchrechnung und erhält ein Paar . Dieses ist Element einer Äquivalenzklasse , welche das Ergebnis der Addition ist.

Wichtig ist, dass unabhängig von der konkreten Wahl von und stets ein Element ein und derselben Äquivalenzklasse , herauskommt; diese Eigenschaft der Addition, ihre Wohldefiniertheit, muss und kann bewiesen werden.

Analog wird die Multiplikation definiert.

Die Äquivalenzklassen fasst man als Elemente einer neuen Menge auf und nennt sie rationale Zahlen. Eine einzelne rationale Zahl ist also eine unendliche Menge von geordneten Paaren . Diese Menge wird sehr häufig als Bruch geschrieben, der die Äquivalenzklasse

aller zu äquivalenten Paare bezeichnet. Der waagrechte oder (von rechts oben nach links unten) schräge Trennstrich zwischen den zwei ganzen Zahlen heißt Bruchstrich. Die erstgenannte ganze Zahl ist der Zähler, die zweite der Nenner des Bruchs. Der Nenner ist stets von verschieden und kann wegen positiv gewählt werden. Die bevorzugte Darstellung der rationalen Zahl ist der (maximal) gekürzte Bruch

mit

,

wobei für den größten gemeinsamen Teiler von und steht.[1] Damit besteht die Äquivalenzklasse genau aus den Paaren von ganzem Zahlen

.[2]

Identifiziert man die ganze Zahl mit der rationalen Zahl , dann hat man eine Zahlbereichserweiterung der ganzen Zahlen, die auch als Bildung des Quotientenkörpers bezeichnet wird. Sind und zwei ganze Zahlen und , deren Summe und Produkt, so sind die Rechenregeln für Brüche gerade so gestaltet, dass und gilt. Außerdem ist vermöge dieser Identifikation ein Bruch in der Tat der Quotient von Zähler und Nenner. In diesem Sinn wird der Bruchstrich auch als ganz gewöhnliches Divisionszeichen anstelle von verwendet.

Ordnungsrelation

Man definiert

mit den bekannten auf der Anordnung der ganzen Zahlen beruhenden Vergleichszeichen und Funktionen und Diese Definition ist unabhängig von Kürzung oder Erweiterung der Brüche, da diese sich stets gleichsinnig auf beide Seiten des rechten -Zeichens auswirken. Mit ergibt sich sofort, dass in mit in kompatibel ist, so dass dasselbe Zeichen verwendet werden kann.

Sind zwei Paare äquivalent, dann ist weder

    noch    

Die Trichotomie der Ordnung besagt:

Es gilt genau eine der folgenden Beziehungen:

Damit sind die rationalen Zahlen eine total geordnete Menge.

→ Auf dieser Ordnungsrelation basiert die Konstruktion der reellen Zahlen mittels Dedekindscher Schnitte.

Eigenschaften

Die rationalen Zahlen enthalten eine Teilmenge, die zu den ganzen Zahlen isomorph ist (wähle zu die Bruchdarstellung ). Dies wird oft vereinfachend so ausgedrückt, dass die ganzen Zahlen in den rationalen Zahlen enthalten seien.

Der Körper ist der kleinste Körper, der die natürlichen Zahlen enthält. ist nämlich der Quotientenkörper des Ringes der ganzen Zahlen , der der kleinste enthaltende Ring ist. Damit ist der kleinste Teilkörper eines jeden Oberkörpers, so auch des Körpers der reellen Zahlen – und also dessen Primkörper. Und als Primkörper ist starr, das heißt, sein einziger Automorphismus ist der triviale (die Identität).

Eine reelle Zahl ist genau dann rational, wenn sie algebraisch ersten Grades ist. Damit sind die rationalen Zahlen selbst eine Teilmenge der algebraischen Zahlen .

Zwischen (im Sinne der oben definierten Ordnungsrelation) zwei rationalen Zahlen und liegt stets eine weitere rationale Zahl, beispielsweise das arithmetische Mittel

dieser beiden Zahlen, und somit beliebig viele.

Die rationalen Zahlen liegen dicht auf der Zahlengerade, das heißt: Jede reelle Zahl (anschaulich: jeder Punkt auf der Zahlengerade) kann beliebig genau durch rationale Zahlen angenähert werden.

Trotz der Dichtheit von in kann es keine Funktion geben, die nur auf den rationalen Zahlen stetig (und auf allen irrationalen Zahlen unstetig) ist – umgekehrt geht das schon (für beide Aussagen s. den Artikel Thomaesche Funktion).

Die Menge der rationalen Zahlen ist gleichmächtig zur Menge der natürlichen Zahlen, also abzählbar. Mit anderen Worten: Es gibt eine bijektive Abbildung zwischen und , die jeder rationalen Zahl eine natürliche Zahl zuweist und umgekehrt. Cantors erstes Diagonalargument und der Stern-Brocot-Baum liefern solche bijektiven Abbildungen. (Die Existenz gleichmächtiger echter Teilmengen ist gleichbedeutend mit unendlicher Mächtigkeit.)

→ Als abzählbare Menge ist eine Lebesgue-Nullmenge.

Divisionsalgorithmen

Eine rationale Zahl in Gestalt des geordneten Paares Zähler/Nenner stellt eine nicht ausgeführte Division dar. Die rationale Zahl ist dadurch zwar exakt und ohne Genauigkeitsverlust beschrieben und in der reinen Mathematik ist man häufig damit zufrieden. Aber schon das Vergleichen zweier rationaler Zahlen fällt wesentlich leichter, wenn die Division zumindest teilweise als Division mit Rest ausgeführt ist, was ggf. zur gemischten Zahl führt.

Als vollständig ausgeführt betrachtet wird eine Division dann, wenn die rationale Zahl in einem Stellenwertsystem zu einer bestimmten Basis entwickelt ist. Hierfür sind unterschiedlichste Algorithmen entworfen worden, die sich grob in drei Gruppen einteilen lassen:

  • Schriftliche Division als Algorithmus für die manuelle Rechnung
  • Algorithmen für den Einsatz in Computern
  • Algorithmen für Ganzzahlen fester (und kleiner) Länge
  • Algorithmen für Ganzzahlen beliebiger Länge

Beispiele für die letzteren sind

Die letzteren beiden Verfahren bilden zuerst eine Art Kehrwert des Nenners, der dann mit dem Zähler multipliziert wird. Alle Verfahren eignen sich auch für kurze Divisionen und werden dort auch eingesetzt. Die SRT-Division wurde bspw. in der Divisionseinheit des Pentium-Prozessors von Intel zunächst fehlerhaft implementiert.

Dezimalbruchentwicklung

Jeder rationalen Zahl lässt sich eine Dezimalbruchentwicklung zuordnen. Rationale Zahlen besitzen eine periodische Dezimalbruchentwicklung, irrationale dagegen eine nichtperiodische (was auch für die -adischen Bruchentwicklungen zu anderen (von verschiedenen) Zahlenbasen (Grundzahlen) gilt). Dabei ist eine endliche (also abbrechende) Dezimalbruchentwicklung nur ein Spezialfall der periodischen Dezimalbruchentwicklung, indem sich nach der endlichen Ziffernfolge die Dezimalziffer 0 oder periodisch wiederholt. Die Periode (der sich wiederholende Teil) wird mit einem Überstrich kenntlich gemacht.

Beispiele sind:

In den eckigen Klammern sind die entsprechenden Entwicklungen im Binärsystem (Basis ) angegeben.

Die endlichen Dezimal- resp. Binärbruchentwicklungen sind genau diejenigen, die mindestens zwei wesentlich verschiedene Entwicklungen haben (s. a. Darstellung rationaler Zahlen). Sie gehören zu den Brüchen, deren gekürzter Nenner in einer Potenz der Basis aufgeht, so dass der zu teilerfremde Teiler sich zu ergibt. Zur Unterscheidung von den unten folgenden Fällen mit (und nicht abbrechender Entwicklung) sei der Periodenlänge einer solchen abbrechenden Entwicklung die zugewiesen.

Nach dem Satz von Euler gilt für einen Nenner und eine zu ihm teilerfremde Basis

mit der eulerschen Phi-Funktion . Die Periodenlänge von ist die Ordnung der Restklasse in der Einheitengruppe des Restklassenringes modulo . Nach dem Satz von Lagrange ist ein Teiler der Gruppenordnung und daher nicht größer als diese. Die Zahl

ist ganz, positiv und , und ihre zur Basis entwickelten Ziffern wiederholen sich ständig in der -adischen Darstellung von , also:

Das obige Beispiel 1/3 hat bei der Basis die Periodenlänge und die Ziffernfolge sowie bei der Basis die Periodenlänge und die Ziffernfolge .

Zu gegebenem Nenner tritt die Periodenlänge genau dann auf, wenn die Basis eine Primitivwurzel modulo ist. Primitivwurzeln gibt es nur, wenn die prime Restklassengruppe zyklisch ist, also wenn Sonst ist die Periodenlänge ein echter Teiler von Die untenstehende Tabelle gibt am Beispiel der Basen und einen Eindruck, dass und wie häufig (für wie viele Nenner) eine maximale Periodenlänge vorkommt (fett gesetzt). Bspw. haben die Dezimalbruchentwicklungen der Kehrwerte der Primzahlen die Periodenlänge . Bei den zusammengesetzten Zahlen ist das maximale ; bei ihnen ist der Wert für kursiv gesetzt. Die worst case Periodenlänge ist in , während die (zum Vergleich ebenfalls in der Tabelle angegebene) Länge der Zahl im -adischen Zahlsystem in liegt. Der Kehrwert 1/802787 der Primzahl 802787 benötigt im Dualsystem mindestens 802786 Bits und im Dezimalsystem mindestens 401393 Ziffern – zu viele, um sie hier anzuzeigen.

3 5 7 9 11 12 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 802787
2 4 6 6 10 4 12 8 16 18 12 22 20 18 28 30 20 24 36 802786
2 4 3 6 10 12 4 8 18 6 11 20 18 28 5 10 12 36 802786
2 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 20
4 6 5 3 16 18 11 20 28 30 12 18 401393
2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 13
2 6 6 5 2 4 16 9 6 22 18 14 3 10 36 802786
1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 9
1 6 1 2 6 16 18 6 22 3 28 15 2 3 401393
1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6

Siehe auch

Weblinks

 Wiktionary: rationale Zahl – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
 Commons: Rationale Zahlen – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise und Anmerkungen

  1. Die Division von Zähler und Nenner durch einen gemeinsamen Teiler nennt man Kürzen.
  2. Die Multiplikation von Zähler und Nenner mit derselben von 0 verschiedenen ganzen Zahl nennt man Erweitern.