Bairesche σ-Algebra

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Die bairesche σ-Algebra ist in der Maßtheorie die kleinste σ-Algebra eines topologischen Raumes, so dass die reellwertigen stetigen Funktionen messbar sind. Sie wird durch die Baire-Mengen erzeugt, diese sind Borel-Mengen, die keine pathologischen Eigenschaften besitzen. Die bairesche σ-Algebra ist somit eine Unter-σ-Algebra der borelschen σ-Algebra

Die bairesche σ-Algebra ist nach René Louis Baire benannt. In der Literatur existieren unterschiedliche Definition der Baire-Mengen, die zum Teil nicht äquivalent sind. Folglich gibt es auch unterschiedliche Definitionen der baireschen σ-Algebra und des Baire-Maßes. Wir folgen Wladimir Igorewitsch Bogatschow.[1]

Bairesche σ-Algebra

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Sei ein topologischer Raum und der Raum der reellwertigen, stetigen Funktionen über . Die bairesche σ-Algebra wird durch die Mengen

erzeugt, wobei .[1]

  • Die gleiche σ-Algebra wird durch die beschränkten, stetigen Funktionen erzeugt.
  • Die σ-Algebra wird durch die Mengen mit erzeugt.[2]

Vergleich zu anderen σ-Algebren

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  • In einem metrischen Raum gilt .
  • Sei eine überabzählbare Menge und (beachte, ist nicht metrisierbar). Dann ist , aber wobei die zylindrische σ-Algebra bezeichnet.[3]

Eine Menge in heißt Baire-Menge. Ein Maß heißt Baire-Maß.

  • Jede Baire-Menge ist durch eine abzählbare Familie von Funktionen bestimmt, das heißt sie haben die Form
und alle Mengen dieser Form sind Baire-Mengen und kann durch ersetzt werden.[4]
  • Vladimir I. Bogachev: Measure Theory: Volume 2. Hrsg.: Springer, Berlin, Heidelberg. 2007, doi:10.1007/978-3-540-34514-5 (Kapitel 6).
  • R. F. Wheeler: A survey of Baire measures and strict topologies. In: Exposition. Math. Band 77, 1983, S. 97–190.

Einzelnachweise

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  1. a b Vladimir I. Bogachev: Measure Theory: Volume 2. Hrsg.: Springer, Berlin, Heidelberg. 2007, S. 12, doi:10.1007/978-3-540-34514-5.
  2. Vakhania, N.N., Tarieladze, V.I., Chobanyan, S.A: Probability Distributions on Banach Spaces. Hrsg.: Springer. Dordrecht 1987 (Kapitel 1).
  3. Vladimir I. Bogachev: Gaussian Measures. Hrsg.: American Mathematical Society. 1998, ISBN 978-1-4704-1869-4, S. 374.
  4. Vladimir I. Bogachev: Measure Theory: Volume 2. Hrsg.: Springer, Berlin, Heidelberg. 2007, S. 13, doi:10.1007/978-3-540-34514-5.