Messbare Funktion

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Eine messbare Funktion ist ein Begriff aus der Maßtheorie, einem Teilbereich der Mathematik, der sich mit der Verallgemeinerung von Längen- und Volumenbegriffen beschäftigt. Von messbaren Funktionen wird verlangt, dass das Urbild gewisser Mengen wieder in einem bestimmten Mengensystem liegt. Messbare Funktionen spielen eine wichtige Rolle in der Stochastik und der Maßtheorie, da durch sie Zufallsvariablen und Bildmaße konstruiert werden können.

Definition[Bearbeiten]

Gegeben seien zwei Messräumme (X_1,\mathcal{A}_1) und (X_2,\mathcal{A}_2), das heißt je eine Grundmenge und eine σ-Algebra auf dieser Menge, sowie eine Funktion

 f\colon X_1 \to X_2 .

Die Funktion  f heißt nun eine messbare Funktion, wenn das Urbild jeder messbaren Menge  A \in \mathcal{A}_2 unter der Funktion  f eine messbare Menge in (X_1,\mathcal{A}_1) ist, also ein Element aus  \mathcal{A}_1 ist. Formalisiert lautet diese Bedingung:

 f^{-1}(A)\in \mathcal{A}_1 \quad \text{ für alle } A \in \mathcal{A}_2

Eine solche Funktion wird auch als \mathcal{A}_1-\mathcal{A}_2-messbar bezeichnet. Eine Funktion heißt Borel-messbar (Lebesgue-messbar), wenn sie bezüglich zweier Borelscher σ-Algebren (Lebesguescher σ-Algebren) messbar ist. Teilweise werden auch Mischformen (Lebesgue-Borel-messbar oder Borel-Lebesgue-messbar) verwendet. Zu beachten ist, dass kein Maß definiert sein muss, um eine messbare Funktion zu definieren.

Elementare Beispiele[Bearbeiten]

  • Jede konstante Funktion, also eine Funktion der Form  f(x_1)=c für alle  x_1 \in X_1 ist messbar. Ist nämlich  A \in \mathcal{A}_2 , so ist
 f^{-1}(A)= \begin{cases} X_1  & \text{ falls } c \in A \\ \emptyset & \text{ falls } c \notin A \end{cases}
Da die Grundmenge und die leere Menge in jeder beliebigen σ-Algebra enthalten sind, sind sie insbesondere in  \mathcal{A}_1 enthalten und die Funktion ist messbar.
  • Sind  (X_1,\mathcal{A}_1) und  (\{0,1\}, \mathcal{P}(\{0,1\})) Messräume. Dann ist für beliebiges  M \in \mathcal{A}_1 die charakteristische Funktion f = \chi_M eine  \mathcal{A}_1-\mathcal{P}(\{0,1\}) -messbare Funktion. Es gilt dann  f^{-1}(\{1\})=M und  f^{-1}(\{0\})=X_1 \setminus M sowie  f^{-1}(\emptyset)=\emptyset und  f^{-1}(\{0,1\})=X_1  . Diese Mengen sind aber nach Voraussetzung in der σ-Algebra enthalten.
  • Allgemeiner sind Indikatorfunktionen von messbaren Mengen und Linearkombinationen solcher Funktionen (sogenannte einfache Funktionen) Beispiele messbarer Funktionen von einem Maßraum in die reellen Zahlen, ausgestattet mit der Borel-σ-Algebra.
  • Ist  \mathcal{A}_1=\mathcal{P}(X_1) , so ist jede Funktion \mathcal{A}_1-\mathcal{A}_2-messbar, da jedes Urbild stets in der Potenzmenge liegt.

Einordnung[Bearbeiten]

Urbild einer messbaren Menge

Der Begriff der Messbarkeit wird durch die Definition der Integration von Henri Lebesgue motiviert: Für die Lebesgue-Integration einer Funktion f\colon \mathbb R \rightarrow \mathbb R bezüglich des Lebesgue-Maßes muss Mengen der Form f^{-1}([a,b]) ein Maß zugeordnet sein. Beispiele für Funktionen, für die dies nicht möglich ist, sind Indikatorfunktionen von Vitali-Mengen. Die Definition der Lebesgue-Integration für beliebige Maßräume führt dann zu obiger Definition der messbaren Funktion.

Der Begriff der messbaren Funktion hat Parallelen zur Definition der stetigen Funktion. Eine Funktion zwischen topologischen Räumen X_1 und X_2 ist stetig, wenn die Urbilder offener Mengen von X_2 wiederum offene Mengen von X_1 sind. Die von den offenen Mengen erzeugte σ-Algebra ist die borelsche σ-Algebra. Eine stetige Funktion ist also messbar bezüglich der Borel-σ-Algebren von X_1 und X_2, kurz borel-messbar. Eine gewisse Umkehrung dieser Aussage ist der Satz von Lusin.

Messbare Funktionen spielen als Zufallsvariablen eine wichtige Rolle in der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Messbare Funktionen und Erzeugendensysteme[Bearbeiten]

Oftmals ist eine σ-Algebra viel zu groß, um jede Menge aus ihr direkt angeben zu können oder das Urbild jeder Menge zu überprüfen. Die Überprüfung einer Funktion auf Messbarkeit wird aber dadurch erleichtert, dass man dies nur auf den Urbildern eines Erzeugers machen muss. Ist also  \mathcal{E}_2 ein Erzeuger von  \mathcal{A}_2 , sprich ist  \sigma (\mathcal{E}_2)=\mathcal A_2 , so ist die Funktion  f genau dann messbar, wenn

 f^{-1}(\mathcal E_2) \subseteq \mathcal A_1 ist.

Für eine Abbildung f von einem Messraum (X,\mathcal{A}) nach \mathbb{R} gilt somit, dass f genau dann messbar ist, wenn eines der Mengensysteme

  • \{f \leq a\}, a\in\mathbb{R},
  • \{f < a\}, a\in\mathbb{R},
  • \{f \geq a\}, a\in\mathbb{R},
  • \{f > a\}, a\in\mathbb{R}

in \mathcal{A} liegt (wenn als σ-Algebra auf \mathbb{R} die Borelsche σ-Algebra genommen wird). Dabei ist \{f \leq a\} etc. als Abkürzung für \{x\in X | f(x)\leq a\}=f^{-1}((-\infty,a]) zu verstehen. Es würde auch ausreichen, wenn das a nur alle rationalen Zahlen durchläuft.

Verkettungen messbarer Funktionen[Bearbeiten]

Sind (X_1,\mathcal{A}_1), \; (X_2,\mathcal{A}_2) und (X_3,\mathcal{A}_3) Messräume und ist  f \mathcal{A}_1-\mathcal{A}_2-messbar und  g \mathcal{A}_2-\mathcal{A}_3-messbar, so ist die Funktion  h(x)= g(f(x)) \mathcal{A}_1-\mathcal{A}_3-messbar.

Spezialfälle[Bearbeiten]

  • Ist der Zielbereich der Funktion ein normierter oder metrischer Raum, so stattet man diesen üblicherweise mit der von diesem erzeugten Borelschen σ-Algebra aus und erwähnt die Algebra nicht weiter, sondern spricht einfach von Messbarkeit.
  • Ist der Definitionsbereich der Funktion der \R^n, stattet man diesen üblicherweise mit der σ-Algebra der Lebesgue-messbaren Mengen aus.
  • Eine Funktion f\colon \R^n \to \R erfüllt beide obigen Bedingungen. Sie ist entsprechend messbar, wenn das Urbild von Borelmengen eine Lebesgue-messbare Menge ist.
  • Sei  (\Omega_2,\mathcal{A}_2) ein Messraum und  f\colon\Omega_1 \to \Omega_2 eine beliebige Funktion. Versieht man  \Omega_1 mit der Initial-σ-Algebra  \mathcal{I}(f) , so ist dies die kleinste σ-Algebra, so dass f \mathcal{I}(f)-\mathcal{A}_2-messbar ist

Lebesgue- und Borelmessbare Funktionen[Bearbeiten]

Eine (reelle) Lebesgue-Borel-messbare Funktion ist nicht unbedingt Borel-Borel-messbar. Auch ist eine Lebesgue-Borel-messbare Funktion nicht unbedingt Lebesgue-Lebesgue-messbar. Die Verkettung zweier Lebesgue-Borel-messbarer Funktionen ist also nicht zwangsläufig wiederum Lebesgue-Borel-messbar. [1][2]

Starke Messbarkeit[Bearbeiten]

Ist eine Funktion in einem metrischen Raum punktweiser Limes von Elementarfunktionen, d. h. messbaren Funktionen mit endlichem Bild, so heißt sie „stark messbar“.

  • Jede messbare Funktion mit separablem Bild ist stark messbar.
  • Jede stark messbare Funktion ist messbar.

Starke Messbarkeit und Messbarkeit unterscheiden sich nur voneinander, wenn der Zielraum nicht-separabel ist. Dies ist beispielsweise bei der Definition von verallgemeinerten Integralen wie dem Bochner-Integral der Fall.

Abgrenzung[Bearbeiten]

Eine Teilmenge eines Messraums heißt messbar, wenn sie Element der σ-Algebra des Messraums ist und ihr somit potentiell ein Maß zugeordnet werden kann. Des weiteren existiert noch die Messbarkeit nach Carathéodory von Mengen bezüglich eines äußeren Maßes. Hier wird nur ein äußeres Maß benötigt.

Literatur[Bearbeiten]

  •  Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.
  •  Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6.
  • Henri Lebesgue: Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives. Gauthier-Villars, Paris 1904.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Robert B. Ash, Catherine Doléans-Dade: Probability and measure theory. 2nd edition. Academic Press, San Diego CA u. a. 2000, ISBN 0-12-065202-1, S. 41.
  2. Vladimir I. Bogachev: Measure theory. Band 1. Springer, Berlin u a. 2007, ISBN 978-354-03451-3-8, S. 193.