Messbare Funktion

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Eine messbare Funktion ist ein Begriff aus der Maßtheorie, einem Teilbereich der Mathematik, der sich mit der Verallgemeinerung von Längen- und Volumenbegriffen beschäftigt. Von messbaren Funktionen wird verlangt, dass das Urbild gewisser Mengen wieder in einem bestimmten Mengensystem liegt. Messbare Funktionen spielen eine wichtige Rolle in der Stochastik und der Maßtheorie, da durch sie Zufallsvariablen und Bildmaße konstruiert werden können.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben seien zwei Messräume und , das heißt je eine Grundmenge und eine σ-Algebra auf dieser Menge, sowie eine Funktion

.

Die Funktion heißt nun eine messbare Funktion, wenn das Urbild jeder messbaren Menge unter der Funktion eine messbare Menge in ist, also ein Element aus ist. Formalisiert lautet diese Bedingung:

, für alle .

Eine solche Funktion wird auch als --messbar bezeichnet. Eine Funktion heißt Borel-messbar (Lebesgue-messbar), wenn sie bezüglich zweier Borelscher σ-Algebren (Lebesguescher σ-Algebren) messbar ist. Teilweise werden auch Mischformen (Lebesgue-Borel-messbar oder Borel-Lebesgue-messbar) verwendet. Zu beachten ist, dass kein Maß definiert sein muss, um eine messbare Funktion zu definieren.

Elementare Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Sind zwei Messräume und gegeben, und ist die triviale σ-Algebra, so ist jede Funktion --messbar, unabhängig von der Wahl der Funktion und der σ-Algebra . Dies liegt daran, dass immer und gilt. Diese Mengen sind aber immer in der σ-Algebra enthalten. Wählt man hingegen als σ-Algebra die Potenzmenge , so ist ebenfalls jede Funktion --messbar, unabhängig von der Wahl der Funktion und der σ-Algebra . Dies liegt daran, dass jedes Urbild immer in der Potenzmenge liegt, da diese per Definition jede Teilmenge der Obermenge enthält.
  • Jede konstante Funktion, also eine Funktion der Form für alle , ist messbar. Ist nämlich , so ist
Da die Grundmenge und die leere Menge in jeder beliebigen σ-Algebra enthalten sind, sind sie insbesondere in enthalten und die Funktion ist messbar.
  • Sind und Messräume. Dann ist für beliebiges die Indikatorfunktion eine --messbare Funktion. Es gilt dann und sowie und . Diese Mengen sind aber nach Voraussetzung in der σ-Algebra enthalten.

Einordnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Urbild einer messbaren Menge

Der Begriff der Messbarkeit wird durch die Definition der Integration von Henri Lebesgue motiviert: Für die Lebesgue-Integration einer Funktion bezüglich des Lebesgue-Maßes muss Mengen der Form ein Maß zugeordnet sein. Beispiele für Funktionen, für die dies nicht möglich ist, sind Indikatorfunktionen von Vitali-Mengen. Die Definition der Lebesgue-Integration für beliebige Maßräume führt dann zu obiger Definition der messbaren Funktion.

Der Begriff der messbaren Funktion hat Parallelen zur Definition der stetigen Funktion. Eine Funktion zwischen topologischen Räumen und ist stetig, wenn die Urbilder offener Mengen von wiederum offene Mengen von sind. Die von den offenen Mengen erzeugte σ-Algebra ist die borelsche σ-Algebra. Eine stetige Funktion ist also messbar bezüglich der Borel-σ-Algebren von und kurz borel-messbar. Eine gewisse Umkehrung dieser Aussage ist der Satz von Lusin.

Messbare Funktionen spielen als Zufallsvariablen eine wichtige Rolle in der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Messbare Funktionen und Erzeugendensysteme[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Oftmals ist eine σ-Algebra viel zu groß, um jede Menge aus ihr direkt angeben zu können oder das Urbild jeder Menge zu überprüfen. Die Überprüfung einer Funktion auf Messbarkeit wird aber dadurch erleichtert, dass man dies nur auf den Urbildern eines Erzeugers machen muss. Ist also ein Erzeuger von , sprich ist , so ist die Funktion genau dann messbar, wenn

für alle gilt.

Daraus folgt direkt, dass stetige Funktionen zwischen topologischen Räumen, die mit der Borelsche σ-Algebra versehen sind, immer messbar sind, da Urbilder offener Mengen immer offen sind. Da die Borelsche σ-Algebra aber von den offenen Mengen erzeugt wird und demnach die Urbilder des Erzeugers wieder im Erzeuger liegen, folgt die Messbarkeit.

Initial-σ-Algebra[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zu jeder Abbildung , wobei mit der σ-Algebra versehen ist, lässt sich eine kleinste σ-Algebra angeben, bezüglich derer die Funktion messbar ist. Diese σ-Algebra nennt man dann die Initial-σ-Algebra der Funktion und bezeichnet sie mit oder mit . Sie lässt sich auch für beliebige Familien von Funktionen definieren. Sie ist dann die kleinste σ-Algebra, bezüglich derer alle messbar sind, und wird dann mit oder bezeichnet. Für eine einzelne Funktion ist aufgrund der Operationsstabilität der Urbildes bereits die Initial-σ-Algebra.

Verkettungen messbarer Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sind , und Messräume und ist --messbar und --messbar, so ist die Funktion --messbar. Unter Umständen kann auch aus der Messbarkeit von verknüpften Funktionen auf die Messbarkeit ihrer Teilfunktionen geschlossen werden: Sind Funktionen von nach und ist die Initial-σ-Algebra, dann ist eine Funktion von nach genau dann messbar, wenn für alle --messbar ist.

Faktorisierungslemma[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Faktorisierungslemma ist ein maßtheoretischer Hilfssatz über die Messbarkeit von Funktionen, der bei einigen weitreichenden stochastischen Konstruktionen und Sätzen der mathematischen Statistik verwendet wird. Das Lemma wird beispielsweise bei der Konstruktion der faktorisierten bedingten Erwartung eingesetzt, die ein Schritt auf dem Weg zur regulären bedingten Verteilung ist. Das Lemma besagt, dass wenn eine Abbildung

gegeben ist, dann ist die Abbildung

genau dann -messbar, wenn eine Funktion existiert, so dass

messbar ist und

gilt. Dabei ist eine σ-Algebra auf und die von erzeugte σ-Algebra.

Messbarkeit reellwertiger Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Überprüfung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für eine Abbildung von einem Messraum nach gilt, dass genau dann messbar ist, wenn eines der Mengensysteme

  • ,
  • ,
  • ,

in liegt. Dabei ist etc. als Abkürzung für zu verstehen. Es würde auch ausreichen, wenn nur alle rationalen Zahlen durchläuft, denn die angegebenen Intervalle bilden immer ein Erzeugendensystem der Borelschen σ-Algebra.

Messbare Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die folgenden Funktionen sind beispielsweise messbar:

Ist außerdem eine Funktion gegeben, so ist sie genau dann messbar, wenn jede ihrer Komponentenfunktionen --messbar ist.

Sind messbare Funktionen von nach , so ist auch und messbar. Ist messbar von nach , so ist messbar. Vereinbart man die Konvention , so ist sogar messbar.

Ist eine Funktionenfolge --messbarer Funktionen gegeben, so ist auch das Infimum, das Supremum sowie der Limes inferior und der Limes superior dieser Folge wieder messbar.

Approximation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jede positive messbare Funktion lässt sich durch eine monoton wachsende Funktionenfolge von einfachen Funktionen (also Linearkombinationen von Indikatorfunktionen von messbaren Mengen) approximieren. Eine Funktionenfolge, die das leistet, ist beispielsweise

.

Diese Approximationseigenschaft wird bei der Konstruktion des Lebesgue-Integrals genutzt, welches zuerst nur für einfache Funktionen definiert wird und dann auf alle messbaren Funktionen fortgesetzt wird.

Lebesgue- und Borelmessbare Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine (reelle) Lebesgue-Borel-messbare Funktion ist nicht unbedingt Borel-Borel-messbar. Auch ist eine Lebesgue-Borel-messbare Funktion nicht unbedingt Lebesgue-Lebesgue-messbar. Die Verkettung zweier Lebesgue-Borel-messbarer Funktionen ist also nicht zwangsläufig wiederum Lebesgue-Borel-messbar. [1][2]

Starke Messbarkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eine Funktion in einem metrischen Raum punktweiser Limes von Elementarfunktionen, d. h. messbaren Funktionen mit endlichem Bild, so heißt sie „stark messbar“.

  • Jede messbare Funktion mit separablem Bild ist stark messbar.
  • Jede stark messbare Funktion ist messbar.

Starke Messbarkeit und Messbarkeit unterscheiden sich nur voneinander, wenn der Zielraum nicht-separabel ist. Dies ist beispielsweise bei der Definition von verallgemeinerten Integralen wie dem Bochner-Integral der Fall.

Abgrenzung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Teilmenge eines Messraums heißt messbar, wenn sie Element der σ-Algebra des Messraums ist und ihr somit potentiell ein Maß zugeordnet werden kann. Des Weiteren existiert noch die Messbarkeit nach Carathéodory von Mengen bezüglich eines äußeren Maßes. Hier wird nur ein äußeres Maß benötigt.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.
  • Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6.
  • Henri Lebesgue: Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives. Gauthier-Villars, Paris 1904.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Robert B. Ash, Catherine Doléans-Dade: Probability and measure theory. 2nd edition. Academic Press, San Diego CA u. a. 2000, ISBN 0-12-065202-1, S. 41.
  2. Vladimir I. Bogachev: Measure theory. Band 1. Springer, Berlin u a. 2007, ISBN 978-354-03451-3-8, S. 193.