σ-Algebra

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σ-Algebra (auch σ-Mengenalgebra, abgeschlossenes Mengensystem, Sigmakörper oder Borelscher Mengenkörper) ist ein Grundbegriff der Maßtheorie, wo σ-Algebren als Definitionsbereiche für Maße auftreten. Eine σ-Algebra ist eine mengentheoretische Struktur, die ein Mengensystem auf einer festen Grundmenge bezeichnet, das die Grundmenge enthält und abgeschlossen ist bezüglich der Komplementbildung und abzählbar unendliche Vereinigungen. In der Stochastik, welche auf der Maßtheorie aufbaut, spielen σ-Algebren als Ereignisräume eine wichtige Rolle als Systeme von Mengen, die als Ereignisse interpretiert werden.

Definition[Bearbeiten]

Als σ-Algebra bezeichnet man in der Mathematik ein Mengensystem \mathcal A mit \mathcal A \subseteq \mathcal P (\Omega) (\mathcal P bezeichnet die Potenzmenge), also eine Menge \mathcal A von Teilmengen der Grundmenge \Omega, das die folgenden Bedingungen erfüllt:

  1. \Omega \in \mathcal A   (Die Grundmenge \Omega ist in \mathcal A enthalten.)
  2. A \in \mathcal A \Rightarrow A^{\mathsf c} \in \mathcal A\quad   (Wenn \mathcal A eine Teilmenge A von \Omega enthält, dann auch deren Komplement A^{\mathsf c} = \Omega\setminus A.)
  3. \textstyle A_1,A_2, \dotsc \in \mathcal A  \Rightarrow \bigcup_{n\in\N} A_n \in \mathcal A.   (Wenn für jede natürliche Zahl n die Menge A_n in \mathcal A ist, so ist auch die abzählbare Vereinigung aller A_n in \mathcal A.)

Motivation[Bearbeiten]

Will man den intuitiven Volumenbegriff im  \R^3 oder anderen Räumen mathematisch präzisieren, so fordert man meist folgende Eigenschaften:

  1. Jede Menge  M \subset \R^3 hat ein Volumen  \operatorname{Vol}(M) \in [0,\infty] .
  2.  \operatorname{Vol} soll verschiebungsinvariant sein, denn die Position einer Menge hat intuitiv keinen Einfluss auf ihr Volumen. Für  M \subset \R^3 und  a \in \R^3 gilt also
     \operatorname{Vol} (M+a)= \operatorname{Vol}(M) . Ebenso soll das Volumen invariant unter Rotationen sein. Kongruente Mengen sollen also identische Volumina besitzen.
  3. Das Volumen ist normiert. So soll zum Beispiel der Einheitswürfel  [0,1]^3 das Volumen 1 besitzen.
  4. Die Vereinigung von abzählbar vielen disjunkten Mengen besitzt als Volumen genau die Summe der Volumina der einzelnen Mengen. Diese Eigenschaft heißt σ-Additivität und ist wichtig zur späteren Betrachtung von Grenzwerten.

Bei dieser impliziten Definition eines Volumenbegriffes stellt sich die Frage, ob solch eine Funktion überhaupt existiert. Diese Frage wird das Maßproblem genannt. Nach dem Satz von Vitali ist das Maßproblem aber unlösbar, es existiert also keine Abbildung mit den geforderten Eigenschaften.

Nun versucht man, durch eine sinnvolle Abschwächung der obigen Forderungen einen Volumenbegriff zu definieren, der einerseits noch unserem intuitiven Begriff weitestgehend entspricht, andererseits aber auch mathematisch wohldefiniert ist und eine fruchtbare Theorie des Maßes liefert. Hierzu schwächt man die erste der obigen Forderungen ab und akzeptiert, dass man nicht allen Mengen ein Volumen zuordnen kann. Man beschränkt sich dann auf ein Mengensystem von Mengen, die ein Volumen besitzen, das folgenden praktischen Überlegungen entspricht:

  • Die Grundmenge soll ein (nicht notwendigerweise endliches) Volumen besitzen und demnach im Mengensystem enthalten sein.
  • Besitzt die Menge  M ein Volumen, so will man auch das Volumen des Komplements wissen. Also soll zu jeder Menge auch ihr Komplement im Mengensystem sein.
  • Die vierte Bedingung in der oberen Aufzählung impliziert, dass wenn abzählbar viele Mengen ein Volumen besitzen, dann auch die Vereinigung dieser Mengen wieder ein Volumen besitzt und somit im Mengensystem enthalten ist.

Direkte Folgerungen daraus sind, dass auch die leere Menge und abzählbare Schnitte von Mengen mit Volumen wieder ein Volumen besitzen.

Diese Forderungen sind genau die definierenden Eigenschaften einer σ-Algebra. Somit sind σ-Algebren die Mengensysteme, auf denen man sinnvollerweise Volumenbegriffe und Maße definiert, um Widersprüche wie die durch den Satz von Vitali zu vermeiden.

Erläuterungen[Bearbeiten]

  • Aus den Bedingungen 1 und 2 folgt, dass \mathcal A immer das Komplement von \Omega, also die leere Menge enthält. Aufgrund der Eigenschaft 2 kann man in Eigenschaft 1 alternativ zu \Omega \in \mathcal A auch \emptyset \in \mathcal A fordern.
  • Wählt man in Bedingung 3 die Mengen A_m=\emptyset für alle m>n, so folgt, dass die endliche Vereinigungsmenge A_1\cup A_2\cup\dotsb\cup A_n in \mathcal A enthalten ist.
  • Ist A_n\in\mathcal A für jede natürliche Zahl n, so folgt aus den De Morganschen Gesetzen und den Bedingungen 2 und 3, dass auch die Schnittmenge in \mathcal A ist, weil
    \bigcap_{n\in\N} A_n = \biggl(\bigcup_{n\in\N} A_n^{\mathsf c}\biggr)^{\!\!\mathsf c}
  • Wählt man A_m=\Omega für alle m>n, so folgt, dass der Durchschnitt A_1\cap A_2\cap\dotsb\cap A_n von endlich vielen Mengen in \mathcal A enthalten ist. Eine σ-Algebra ist also abgeschlossen gegenüber endlichen und abzählbar unendlichen Durchschnitten.
  • Sind A und B aus \mathcal A, so ist auch A\setminus B = A\cap B^{\mathsf c} in \mathcal A. Also ist \mathcal A abgeschlossen gegen Mengendifferenz.
  • Ferner ist jede σ-Algebra insbesondere auch ein Dynkin-System.
  • Ist \mathcal{A} eine endliche σ-Algebra, so gibt es immer eine nichtnegative ganze Zahl n mit |\mathcal{A}| = 2^n, das heißt: Die Mächtigkeit |\mathcal{A}| von \mathcal{A} ist eine Zweier-Potenz.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Für jede beliebige Menge \Omega ist \{\emptyset,\Omega\} die kleinste und die Potenzmenge \mathcal P(\Omega) die größte mögliche σ-Algebra mit \Omega als Grundmenge.
  • Für jede beliebige Menge \Omega und Teilmenge A \subseteq \Omega ist \mathcal A = \{ \emptyset, A, A^{\mathsf c}, \Omega \} die kleinste σ-Algebra, die A enthält.
  • Für jeden topologischen Raum \Omega ist die borelsche σ-Algebra von \Omega die kleinste σ-Algebra, die alle offenen Teilmengen von \Omega enthält.
  • Die borelsche σ-Algebra der Menge \R der reellen Zahlen enthält unter anderem alle Intervalle. Außerdem ist sie eine separable σ-Algebra.
  • Die Vervollständigung der borelschen σ-Algebra bezüglich dem Lebesgue-Maß nennt man die Lebesgue-σ-Algebra
  • Über einer Grundmenge \Omega ist das Mengensystem \mathcal A = \{A\subset\Omega\mid A\ \mathrm{abz\ddot{a}hlbar\ oder}\ A^{\mathsf c}\ \mathrm{abz\ddot{a}hlbar}\} eine σ-Algebra.
  • Sind \Omega und \Omega' zwei beliebige Mengen, \mathcal A' eine σ-Algebra in  \Omega' und T\colon \Omega \rightarrow \Omega' eine Abbildung. Dann ist T^{-1}(\mathcal A') = \lbrace T^{-1}(A'): A' \in \mathcal A' \rbrace eine σ-Algebra in \Omega.

Bedeutung[Bearbeiten]

σ-Algebren bilden den Ausgangspunkt für die Definition des Maßraums und des Wahrscheinlichkeitsraums. Das Banach-Tarski-Paradoxon demonstriert, dass auf überabzählbaren Mengen die durch die Potenzmenge gebildete σ-Algebra als Grundlage für die Volumenbestimmung zu groß sein kann und die Betrachtung anderer σ-Algebren mathematisch notwendig ist. In der Theorie der stochastischen Prozesse, insbesondere in der stochastischen Finanzmathematik, wird die bis zu einem Zeitpunkt prinzipiell beobachtbare Information durch eine σ-Algebra beschrieben, was zum Begriff der Filtrierung, also einer zeitlich aufsteigenden Familie von σ-Algebren führt. Filtrierungen sind essentiell für die allgemeine Theorie der stochastischen Integration; Integranden (also finanzmathematische Handelsstrategien) dürfen zu einer Zeit t nur von den Informationen bis (ausschließlich) t abhängen; insbesondere dürfen sie nicht „in die Zukunft schauen“.

σ-Operator[Bearbeiten]

Für eine beliebige Teilmenge \mathcal{M} der Potenzmenge \mathcal P(\Omega) ist der \sigma-Operator definiert als

\sigma(\mathcal{M}) = \bigcap_{ \mathcal A \in\mathcal F(\mathcal{M})}\!\!\mathcal A,

wobei

\mathcal F(\mathcal{M}) = \{\mathcal A \subseteq\mathcal P(\Omega) \mid \mathcal{M}\subseteq\mathcal A, \mathcal A\ \sigma\text{-Algebra}\}.

Da die Schnittmenge einer Familie von σ-Algebren (über derselben Grundmenge \Omega) wieder eine σ-Algebra ist, ist \sigma(\mathcal{M}) somit die kleinste σ-Algebra, die \mathcal{M} umfasst.

Der \sigma-Operator erfüllt die fundamentalen Eigenschaften eines Hüllenoperators:

\sigma(\mathcal{M}) wird als die von \mathcal{M} erzeugte σ-Algebra bezeichnet, \mathcal{M} heißt Erzeuger dieser σ-Algebra. Die Benennung als erzeugte σ-Algebra ist jedoch nicht eindeutig, da auch die Initial-σ-Algebra als die (von den Funktionen  f_i ) erzeugte σ-Algebra bezeichnet wird.

In vielen Fällen lassen sich die Elemente von \sigma(\mathcal{M}) nicht explizit angegeben (siehe z. B. Borel-Hierarchie). Eine häufig angewendete Beweismethode für Aussagen, die für alle Elemente von \sigma(\mathcal{M}) gelten, ist das Prinzip der guten Mengen. Der Dynkinsche π-λ-Satz trifft Aussagen darüber, wann eine erzeugte σ-Algebra und ein erzeugtes Dynkin-System übereinstimmen.

Klassen von σ-Algebren[Bearbeiten]

Produkt-σ-Algebren[Bearbeiten]

Hauptartikel: Produkt-σ-Algebra

Produkt-σ-Algebren spielen dann eine Rolle, wenn Maße auf dem Produkt zweier Messräume definiert werden sollen. Da das Produkt von zwei σ-Algebren im Allgemeinen keine σ-Algebra ist, interessiert man sich für eine Erweiterung der Produkte der σ-Algebren auf den Produktraum. Diese Erweiterung ist dann die Produkt-σ-Algebra. Sie spielt eine wichtige Rolle bei der Definition von Produktmaßen, diese wiederum sind die Grundlage für den Satz von Fubini, die Modellierung mehrstufiger Experimente in der Stochastik und dienen als theoretische Grundlage der stochastischen Prozesse.

Initial-σ-Algebren und Final-σ-Algebra[Bearbeiten]

Hauptartikel: Initial-σ-Algebra und Final-σ-Algebra

Die Initial-σ-Algebra ist eine σ-Algebra, die mittels Abbildungen auf einer Grundmenge definiert wird, auf der per se keine σ-Algebra existiert. Sie ist dann sogar die kleinste σ-Algebra, bezüglich derer die in der Konstruktion verwendeten Funktionen messbar sind. Das Gegenstück ist die Final-σ-Algebra, sie ist die größte σ-Algebra, so dass eine vorgegebene Menge an Funktionen messbar ist. Diese Konstruktion bildet somit ein Analogon zur Initialtopologie und zur Finaltopologie in der Topologie. Produkt-σ-Algebren und Spur-σ-Algebren lassen sich beide als Spezialfall von Initial-σ-Algebren auffassen.

Spur-σ-Algebren[Bearbeiten]

Für E \subseteq \Omega wird das Mengensystem \mathcal A|_E = \{ A \cap E \,|\, A \in \mathcal A \} als Spur von \mathcal A in E bzw. Spur-σ-Algebra von \mathcal A über E bezeichnet. Man kann zeigen, dass die Spur von \mathcal A in E wieder eine σ-Algebra (aber mit der Grundmenge E) ist, was den Namen „Spur-σ-Algebra“ rechtfertigt. Analog lässt sich die Spur-σ-Algebra auch als Initial-σ-Algebra bezüglich der natürlichen Einbettung  i:E \mapsto \Omega, \, i(e)=e auffassen. Ist  \mathcal{E} ein Erzeuger von  \mathcal{A} , so gilt  \mathcal{A}|_E=\sigma(\mathcal{E}|_E) . Die Spur des Erzeugers erzeugt also die Spur-σ-Algebra.

Filtrierungen[Bearbeiten]

Hauptartikel: Filtrierung

Eine Filtrierung ist in der Stochastik eine Familie von verschachtelten σ-Algebren, die modelliert, welche Informationen zu welchem Zeitpunkt eines stochastischen Prozesses verfügbar sind.

Terminale σ-Algebren[Bearbeiten]

Hauptartikel: terminale σ-Algebra

Die terminale σ-Algebra ist eine spezielle σ-Algebra, die in der Wahrscheinlichkeitstheorie von Bedeutung ist. Für eine Folge von σ-Algebren sagt sie aus, welche Mengen in fast allen Folgeglieder (σ-Algebren) enthalten ist.

Separable σ-Algebren[Bearbeiten]

Hauptartikel: Separable σ-Algebra

Eine σ-Algebra, die einen abzählbaren Erzeuger besitzt, nennt man separabel. Beispiel hierfür wären alle σ-Algebren auf abzählbaren Grundräumen sowie die Borelsche σ-Algebra auf  \mathbb{R}^n .

Austauschbare σ-Algebren[Bearbeiten]

Hauptartikel: Austauschbare σ-Algebra

Austauschbare σ-Algebren werden von diskreten stochastischen Prozessen erzeugt und enthalten nur Mengen, die in dem Sinne austauschbar sind als dass sie invariant gegen Permutationen der Folgeglieder des stochastischen Prozesses sind.

P-triviale σ-Algebren[Bearbeiten]

Hauptartikel: P-triviale σ-Algebra

Eine P-triviale σ-Algebra ist in der Stochastik eine σ-Algebren, bei der jede Menge entweder die Wahrscheinlichkeit 0 oder 1 bezüglich eines gegebenen Wahrscheinlichkeitsmaßes hat. Beispielsweise ist die Terminale σ-Algebra eine P-triviale σ-Algebra. Die P-triviale σ-Algebra darf nicht mit der trivialen σ-Algebra  \mathcal A = \{\emptyset, \Omega\} verwechselt werden.

σ-Algebren in der mathematischen Statistik[Bearbeiten]

In der mathematischen Statistik kommen mehrere verschiedene σ-Algebren vor. Eine von ihnen ist die suffiziente σ-Algebra. Sie enthält alle Mengen, die bezüglich einer gegebenen Verteilungsklasse Informationen enthalten. Somit können alle Mengen, die nicht in der σ-Algebra enthalten sind weggelassen werden, ohne dass eine Informationsverlust eintritt. Eine Verschärfung ist die minimalsuffiziente σ-Algebra, sie ist die (bis auf Nullmengen) kleinste suffiziente σ-Algebra. Außerdem existiert noch die verwandte stark suffiziente σ-Algebra, die unter Umständen mit der suffizienten σ-Algebra übereinstimmt. Gegenstück zur suffizienten σ-Algebra ist die verteilungsfreie σ-Algebra, sie trägt keine Informationen, ist also maximal uninformativ.

Weitere Klassen von σ-Algebren[Bearbeiten]

Es existieren noch weitere Klassen von σ-Algebren, die vielfältige Anwendungen in der Mathematik finden. Ein Beispiel ist die σ-Algebra der invarianten Ereignisse, die in der Ergodentheorie verwendet wird.

Literatur[Bearbeiten]

Siehe auch[Bearbeiten]