Benutzer:Anjolo/Schwingende Saite

Die Schwingungsgleichung

Eine reale Saite schwingt mit nahezu unendlich vielen „harmonischen Oberschwingungen“, die in dem Bild bis zur siebenten Oberschwingung dargestellt sind. Ihre Frequenzen sind ganzzahlige Vielfache der Frequenz der Grundschwingung.
Die Amplituden der Oberschwingungen, das sind ihre Schwingungsweiten, bestimmen den Klang, die so genannte Klangfarbe, der Schwingung. Die Verteilung der Amplituden über die Oberschwingungen nennt man das Frequenz-Spektrum des Klanges.

Schon Pythagoras hatte erkannt, dass die Länge der Saite (bei gleicher Spannkraft $\Psi$), ihrer Frequenz, also der Tonhöhe, proportional ist: eine auf der Hälfte ihrer Länge gegriffene Saite schwingt mit doppelter Frequenz (Oktave). Aber erst die Entwicklung der Infinitesimalrechnung durch Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz ermöglichte die theoretische Durchdringung der schwingenden Saite. Von Marin Mersenne und Joseph Sauveur stammen die ersten Erklärungsversuche dazu. Brook Taylor war der erste, der die physikalischen Bedingungen richtig interpretierte und zur Darstellung der Grundschwingung gelangte. Dabei hatte er erhebliche Schwierigkeiten zu überwinden, da ihm unser heutiges Differentialkalkül, insbesondere die partiellen Diffenrentialgleichungen, noch nicht zur Verfügung standen. Zum Teil auf Taylors Arbeit aufbauend arbeiteten dann Johann Bernoulli, Jean-Baptiste le Rond d’Alembert, Leonard Euler und andere weiter an dem Problem. Was all die klugen Köpfe bis dahin nicht beachtet hatten, das bringt Daniel Bernoulli schließlich zur vollständigen Lösung des Problems, nämlich die Erkenntnis der Existenz der Oberschwingungen (zwei Oberschwingungen hatte zwar auch Mersenne schon beschrieben, der Gedanke wurde aber nicht weiter verfolgt).

Daniel Bernoulli beschreibt Beobachtungen und Experimente mit verschiedenen Musikinstrumenten, Trompeten, Flöten und Saiteninstrumenten, und folgert daraus: „... dass alle schwingenden Körper eine Unmenge von Tönen von sich geben... In der Tat stimmen alle Musiker darin überein, dass eine gezupfte Saite außer ihrem Grundton zugleich auch noch andere, sehr viel hellere Töne von sich gibt... Dies ist der offensichtliche Beweis dafür, dass sich in einer und derselben Saite eine Überlagerung mehrerer Arten Taylorscher Schwingungen zugleich einstellen kann“ . Dieser "völlig neue und nicht nur das Problem der schwingenden Saite klärende, sondern auch die ganze mathematische Physik revolutionierende Gedanke Daniel Bernoullis war der Aufbau der allgemeinen Lösung durch Superposition [Überlagerung] von Einzellösungen".

Euler hielt die Lösung von Bernoulli für unvollständig, da er nicht glaubte, dass sich jede Anfangssituation (die Art des Anreißens der Saite) zu einer Schwingung entwickeln könne, die durch die Summe geeigneter Sinus-Funktionen darstellbar sei. In der Tat wurde der Beweis dafür erst durch die Arbeiten von Joseph Fourier (Fourier-Analyse) zur Wärmelehre möglich.

Einer der Grundgedanken Brook Taylors war die (richtige) Annahme, dass die Krümmung $\kappa$ in einem Punkt der Saite an einer beliebigen Stelle $x$ der Beschleunigung dieses Punktes proportional sei:

$\kappa =c\cdot {\ddot {y}}(x,t).$

Dabei ist $y(x,t)$ die Funktion, welche die Lage der Saite am Ort $x$ und zum Zeitpunkt $t$ beschreibt und

${\ddot {y}}(x,t)={\frac {\partial ^{2}y(x,t)}{\partial t^{2}}}$

ihre zweite partielle Ableitung nach der Zeit (die Beschleunigung an der Stelle $x$ zum Zeitpunkt $t);$ $c$ ist ein noch unbestimmter Proportionalitätsfaktor.
Hätte Taylor die partiellen Differentialgleichungen gekannt, hätte er damit schon die Schwingungsgleichung der Saite aufstellen können.
Die Krümmung $\kappa$ ist nämlich gegeben durch

$\kappa ={\frac {y''}{\sqrt {1+y'^{2}}}}$

Hier sind $y'(x,t)={\frac {\partial y(x,t)}{\partial t}}$ und $y''(x,t)={\frac {\partial ^{2}y(x,t)}{\partial x^{2}}}$ die erste bzw. die zweite partielle Ableitung von $y(x,t)$ nach $x$.
Wenn die Saite nur sehr wenig aus ihrer Ruhelage ausgelenkt wird, kann man in guter Näherung $y'=0$ setzen und man erhält $\kappa =y''.$ Aus der obigen Proportionalitätsgleichung $\kappa =c\cdot {\ddot {y}}(x,t)$ wird damit:

$y''(x,t)=c\cdot {\ddot {y}}(x,t),$

oder, ausführlicher

${\frac {\partial ^{2}y(x,t)}{\partial x^{2}}}=c\cdot {\frac {\partial ^{2}y(x,t)}{\partial t^{2}}}.$

Das ist die partielle Differentialgleichung der schwingenden Saite. Die Gleichung beschreibt die ungedämpfte Schwingung, d. h. dass darin das Abklingen der Schwingung, also das allmähliche Leiserwerden des Tones, nicht berücksichtigt ist.

Aus der Theorie der partiellen Differentialgleichungen kennt man die Lösung:

$y(x,t)=A\cdot \sin \alpha (x+x_{0})\cdot \sin \beta (t+t_{0}).$		(Gl. 1)

Darin sind die unbekannten Größen $A,\alpha ,x_{0},\beta {\text{ und }}t_{0}$ noch zu bestimmen.

Bestimmung von $\alpha$ und $x_{0}$

Wir bezeichnen die Länge der frei schwingenden Saite mit $L.$ Die Saite ist bei $x=0$ und bei $x=L$ eingespannt, dort ist also für jede Zeit $t$ die Auslenkung $y=0:$

$y(0,t)=A\cdot \sin \alpha (0+x_{0})\cdot \sin \beta (t+t_{0})=0.$

Da $\sin \beta (t+t_{0})$ nicht konstant Null ist und $A=0$ unsinnig wäre (es würde die ruhende Saite darstellen) ist

$\sin \alpha (0+x_{0})=\sin \alpha x_{0}=0.$

$\alpha =0$ wäre genauso unsinnig wie $A=0$, also ist $x_{0}=0.$
Aus Gl. 1 wird also

$y(x,t)=A\cdot \sin \alpha x\cdot \sin \beta (t+t_{0}).$		(Gl. 2)

Was für $x=0$ gilt, gilt genauso für $x=L$:

$y(L,t)=A\cdot \sin \alpha L\cdot \sin \beta (t+t_{0})=0.$

Also ist $\sin \alpha L=0$ und $\alpha L=n\cdot \pi$ (mit beliebigem $n\in \mathbb {N}$), folglich $\alpha ={\frac {n\pi }{L}}.$ Aus Gl 2. wird dann

$y_{n}(x,t)=A_{n}\cdot \sin {\frac {n\pi }{L}}x\cdot \sin \beta (t+t_{0}).$		(Gl. 3)

Wenn wir davon ausgehen, dass die Saite zum Zeitpunkt $t=0$ ihre Ruhelage einnimmt, erhalten wir analog $t_{0}=0$ und aus Gl. 3 wird

$y_{n}(x,t)=A_{n}\cdot \sin {\frac {n\pi }{L}}x\cdot \sin \beta t.$		(Gl. 4)

$\beta$ ist offenbar eine Kreisfrequenz, wir setzen $\beta ={\frac {2n\pi }{T}}$ mit noch unbestimmtem $T.$
So erhalten wir

$y_{n}(x,t)=A_{n}\cdot \sin {\frac {n\pi }{L}}x\cdot \sin {\frac {2n\pi }{T}}t.$		(Gl. 5)

Die $y_{n}(x,t)$ sind für jedes $n$ eine Lösung der Gl. 1, also auch die Summe aller $y_{n}(x,t).$
D. h. dass

$y(x,t)=A_{1}\cdot \sin {\frac {\pi }{L}}x\cdot \sin {\frac {2\pi }{T}}t+A_{2}\cdot \sin {\frac {2\pi }{L}}x\cdot \sin {\frac {4\pi }{T}}t+A_{3}\cdot \sin {\frac {3\pi }{L}}x\cdot \sin {\frac {6\pi }{T}}t+\ldots$		(Gl. 6)

die vollständige Lösung der Gl. 1 mit noch unbestimmtem $T$ ist. Die $A_{n}$ sind die Amplituden der Oberschwingungen. Sie hängen von vielen Faktoren ab, z. B. vom Material der Saite (Stahl, Darm, Kunststoff), umsponnen oder nicht, von der Spannung der Saite, von der Art des Anreißens der Seite (Daumen oder Plektron), vom Ort des Anreißens (in der Mitte oder über dem Schalloch) und, ganz wichtig, von Form, Größe und Material des Klangkörpers, um nur einige zu nennen. Außerdem klingt der Ton bald ab, d. h. dass die $A_{n}$ immer kleiner und schließlich alle Null werden. Und zudem werden sie verschieden stark gedämpft, sie klingen also nicht alle in derselben Weise ab, der Ton kann unmittelbar nach dem Anreißen andres klingen als etwas später. Über die $A_{n}$ kann also nichts Allgemeines ausgesagt werden.

Bestimmung von $T$

Zu der Aussage über die Frequenz $T$ der Schwingung bzw. ihrer Schwingungsdauer $T={\frac {1}{f}}$ gelangt man durch den bekannten Zusammenhang zwischen der Frequenz $f$, der Wellenlänge $\lambda$ und der Ausbreitungsgeschwindigkeit $c$ einer Welle :

$\lambda ={\frac {c}{f}}.$

Aus der Elastizitätstheorie kennt man die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Welle in einer gespannten Saite (s. ganz oben):

$c={2 \over D}{\sqrt {\Psi \over \pi \rho }}.$

Für die Grundschwingung $y_{1}(x,t)=A_{1}\cdot \sin {\frac {\pi }{L}}x\cdot \sin {\frac {2\pi }{T}}t$ ist $\lambda =2L.$ Mit $f={\frac {1}{T}}$ erhalten wir:

$2L=T\cdot {2 \over D}{\sqrt {\Psi \over \pi \rho }},$

also

$T=LD{\sqrt {\pi \rho \over \Psi }}.$

Zur Erinnerung: $T$ ist die Schwingungsdauer der Grundschwingung, $L$ die Länge der Saite, $D$ ihr Durchmesser, $\rho$ ihre Dichte, also Masse pro Länge, und $\Psi$ die Spannkraft.

Das Abklingen einer in der Mitte angerissene Saite wird mit dem Abklingen der Grundschwingung verglichen.

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Abklingende Saitenschwingung.ogv

Quellen

• Manfred Zollner: Physik der Elektrogitarre (Forschungsdokumentation, PDF-Download möglich).

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