Zahlreiche mathematische Disziplinen werden heute auf der Mengenlehre aufgebaut, darunter Algebra, Analysis, Maßtheorie, Stochastik und Topologie.
Mengen sind das Alphabet des Matematikers und des Naturwissenschaftlers, der sich mit Mathematik befasst. Die Mengenlehre gehört zum Grundbestand des mathematischen Wissens.
In der modernen Mathematik werden die Zahlenbereiche rein mit den Methoden der Mengenlehre (mit der leeren Menge als einzigem Grundbaustein) schrittweise aufgebaut.
Beispiel: Venn-Diagramm der Menge der griechischen, lateinischen und kyrillischen Großbuchstaben und ihre Schnittmengen Beispiel: Venn-Diagramm der politischen Geografie von "England" Definition der Menge: "Mengen sind eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen."
Das ist die einfache Versionen, die sogenannte „naive Definition“ ihres "Erfinders" (eigentlich "Entdecker") Georg Cantor, der die Mengen erst um 1900 zur Basis der Mathematik gemacht hat. Canto hat die Mengenlehre begründet. Nahezu die ganze mathematik wurde durch den Mengenbegriff stark beeinflusst.
Durch den Mengenbegriff wurde eine weitgehende Vereinheitlichung und Präzisierung des mathematischen Denkens erreicht.
Mengen sind eigentlich schnell erklärt und gelernt (Schnittmenge , Vereinigungsmenge , Differenzmenge , Teilmenge ) , wenn da nicht die zahlreichen Fallen wären, die wegen der leeren Menge zu beachten sind. Und dann wird es immer verschachtelter: Mengen von Mengen, Mengen die leere Mengen enthalten. Völligg beiseite lassen wir hier die unendlichen Mengen und beschränken uns hier auf endliche Mengen . Weiterhin sind Potenzmengen und Mengenprodukt ( = Kartesisches Produkt ) zu lernen; beide können auch kombiniert werden - auch in unterschiedlicher Reihenfolge. Und dann wäre da noch die Mächtigkeit einer Menge und das Komplement .
Es gibt auch noch eine symmetrische Differenz, in Analogie zum exklusiven ODER in der Logik. Der Operator dafür ist ein Dreieck. Die symmetrische Differenz ist folgendermaßen definiert:
A
△
B
:=
(
A
∖
B
)
∪
(
B
∖
A
)
=
(
A
∪
B
)
∖
(
A
∩
B
)
{\displaystyle A\,\triangle \,B:=\left(A\setminus B\right)\cup \left(B\setminus A\right)=(A\cup B)\setminus (A\cap B)}
Bei Verwendung des ausschließenden Oder XOR oder
⊕
{\displaystyle \oplus }
A
△
B
:=
{
x
∣
(
x
∈
A
)
⊕
(
x
∈
B
)
}
{\displaystyle A\,\triangle \,B:=\{x\mid \left(x\in A\right)\oplus \left(x\in B\right)\}}
Die Vereinigungsmenge ist dann als inklusives ODER anzusehen (nicht-ausschließende Disjunktion ).
Weiterhin gibt es das Komplement , wobei zwischen relativem und absolutem Komplement unterschieden wird. Das relative Komplement ist das gleiche, wie die oben erwähnte Differenzmenge:
A
∖
B
{\displaystyle A\setminus B}
Das Komplement von A in U Das absolute Komplement erfordert einen "Rahmen". Ist ein Universum U definiert, so wird für jede Menge A ⊆ U das relative Komplement von A in U auch absolutes Komplement (oder einfach Komplement) von A genannt und als AC (manchmal auch als A′, oder auch als
∁
U
A
{\displaystyle \complement _{U}A}
∁
A
{\displaystyle \complement A}
A
C
=
U
∖
A
{\displaystyle A^{\rm {C}}=U\setminus A}
So wird auch der Begriff "Komplement" (Ergänzung) deutlicher. Die Menge A (im Bild) soll "ergänzt" werden, um den gesamten Rahmen zu füllen - das ist das Kompelement (die Ergänzung) der Menge A:
A
C
{\displaystyle A^{\rm {C}}}
Und wenn dann einiges kombiniert wird, dann wird es doch nicht mehr so banal und erfordert höchste Konzentration. Beispiel: gegeben sein zwei Mengen A = {1, 3, 7, 21} und B = {2, 4, 0, ∅}, diese werden in längeren geschachtelten Klammerausdrücken als Schnittmenge und Vereinigungsmenge verarbeitet, dann davon das Mengenprodukt gebildet, zwei mal hintereinander die Potenzmenge bilden und abschließend die Mächtigkeit ermittelt. Das Ergebnis ist am Anfang mit hoher Wahrscheinlichkeit falsch.
|
P
P
(
(
(
A
∩
B
)
∪
B
)
×
(
B
∪
A
)
∖
B
)
)
)
|
{\displaystyle |{\mathcal {P}}{\mathcal {P}}(((A\cap B)\cup B)\times (B\cup A)\setminus B)))|}
Ach ja: und statt nur sinnlos lange Rechnungen aufzustellen sollte man auch noch die Rechenregeln kennen, nach denen solche Ausdrücke vereinfacht oder umgestellt werden können:
C
∖
(
A
∩
B
)
=
(
C
∖
A
)
∪
(
C
∖
B
)
{\displaystyle C\setminus \left(A\cap B\right)=\left(C\setminus A\right)\cup \left(C\setminus B\right)}
C
∖
(
A
∪
B
)
=
(
C
∖
A
)
∩
(
C
∖
B
)
{\displaystyle C\setminus \left(A\cup B\right)=\left(C\setminus A\right)\cap \left(C\setminus B\right)}
C
∖
(
B
∖
A
)
=
(
A
∩
C
)
∪
(
C
∖
B
)
{\displaystyle C\setminus \left(B\setminus A\right)=(A\cap C)\cup (C\setminus B)}
(
B
∖
A
)
∩
C
=
(
B
∩
C
)
∖
A
=
B
∩
(
C
∖
A
)
{\displaystyle \left(B\setminus A\right)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A)}
(
B
∖
A
)
∪
C
=
(
B
∪
C
)
∖
(
A
∖
C
)
{\displaystyle \left(B\setminus A\right)\cup C=(B\cup C)\setminus \left(A\setminus C\right)}
die berühmten De Morgansche Regeln (De Morgan’sche Gesetze )
(
A
∪
B
)
C
=
A
C
∩
B
C
{\displaystyle \left(A\cup B\right)^{\rm {C}}=A^{\rm {C}}\cap B^{\rm {C}}}
(
A
∩
B
)
C
=
A
C
∪
B
C
{\displaystyle \left(A\cap B\right)^{\rm {C}}=A^{\rm {C}}\cup B^{\rm {C}}}
oder in der alternativen Schreibweise (Das Komplement AC wird manchmal auch geschriben als A′ oder auch als A oder
∁
A
{\displaystyle \complement A}
A
∩
B
¯
=
A
¯
∪
B
¯
{\displaystyle {\overline {A\cap B}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}}
A
∪
B
¯
=
A
¯
∩
B
¯
{\displaystyle {\overline {A\cup B}}={\overline {A}}\cap {\overline {B}}}
Komplementgesetze:
A ∪ AC = U
A ∩ AC = Ø
ØC = U
UC = Ø
Ist A ⊆ B, so ist BC ⊆ AC
Involution:
Beziehungen zwischen relativen und absoluten Komplementen:
A \ B = A ∩ BC
(A \ B)C = AC ∪ B Neben den De Morganschen Regeln gbit es zu allen Mengenbeziehungen (Schnittmenge, Vereinigungsmenge, Differenzmenge, symmetrische Differenz) jeweil ein Assoziativgesetz, Kommutativgesetz und ein Distributivgesetzt.
Gesetzte für Vereinigungsmengen und Schnittmengen: (Die Mengen‐Operationen Schnitt ∩ und Vereinigung ∪ sind kommutativ, assoziativ und zueinander distributiv: )
Assoziativgesetz:
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
Kommutativgesetz:
A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A
Distributivgesetz:
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
De Morgansche Gesetze:
C(A ∪ B) = CA ∩ CB
C(A ∩ B) = CA ∪ CB Gesetzte für Differenzmengen:
Assoziativgesetze:
(A \ B) \ C = A \ (B ∪ C)
A \ (B \ C) = (A \ B) ∪ (A ∩ C)
Distributivgesetze:
(A ∩ B) \ C = (A \ C) ∩ (B \ C)
(A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C)
A \ (B ∩ C)= (A \ B) ∪ (A \ C)
A \ (B ∪ C)= (A \ B) ∩ (A \ C)
Gesetzte für symmetrische Differenz:
Assoziativgesetz: (A
△
{\displaystyle \triangle }
△
{\displaystyle \triangle }
△
{\displaystyle \triangle }
△
{\displaystyle \triangle }
Kommutativgesetz: A
△
{\displaystyle \triangle }
△
{\displaystyle \triangle }
Distributivgesetz:
(A
△
{\displaystyle \triangle }
△
{\displaystyle \triangle }
A
△
{\displaystyle \triangle }
A
△
{\displaystyle \triangle }
Die Lösungen befinden sich weiter unten
Lösungen zu "Erstens"
A = {3, 4, 5}; Welche der folgenden Aussagen sind wahr? (mit W oder F beschriften)
100.
6
∈
A
{\displaystyle 6\in A}
101.
4
∉
A
{\displaystyle 4\notin A}
102.
3
∈
A
{\displaystyle 3\in A}
103.
0
∈
A
{\displaystyle {0}\in A}
104.
∅
∈
A
{\displaystyle \varnothing \in A}
105.
{
0
}
∈
{
{
3
,
4
,
5
}
}
{\displaystyle \{0\}\in \{\{3,4,5\}\}}
106.
{
0
}
∈
{
{
3
}
,
{
4
}
,
{
5
}
}
{\displaystyle \{0\}\in \{\{3\},\{4\},\{5\}\}}
107.
{
0
}
⊆
{
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
}
{\displaystyle \{0\}\subseteq \{0,1,2,3,4,5\}}
108.
{
3
,
4
,
5
}
⊆
{
3
,
4
,
5
}
{\displaystyle \{3,4,5\}\subseteq \{3,4,5\}}
109.
{
3
,
5
}
⊆
{
3
,
4
,
5
}
{\displaystyle \{3,5\}\subseteq \{3,4,5\}}
110.
{
}
⊆
{
3
,
4
,
5
}
{\displaystyle \{\}\subseteq \{3,4,5\}}
111.
{
0
}
⊂
{
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
}
{\displaystyle \{0\}\subset \{0,1,2,3,4,5\}}
112.
{
2
,
3
,
4
,
5
}
⊂
{
2
,
3
,
4
,
5
}
{\displaystyle \{2,3,4,5\}\subset \{2,3,4,5\}}
113.
{
2
,
3
,
3
,
4
}
⊂
{
2
,
3
,
4
}
{\displaystyle \{2,3,3,4\}\subset \{2,3,4\}}
114.
{
3
,
4
}
⊂
{
2
,
3
,
4
}
{\displaystyle \{3,4\}\subset \{2,3,4\}}
115.
∅
⊂
{
2
,
3
,
4
}
{\displaystyle \varnothing \subset \{2,3,4\}}
116.
∅
⊂
{
0
,
2
,
3
,
4
}
{\displaystyle \varnothing \subset \{0,2,3,4\}}
117.
{
1
,
2
}
⊆
{
0
,
1
,
2
}
{\displaystyle \{1,2\}\subseteq \{0,1,2\}}
118.
{
2
}
⊆
{
{
1
}
,
{
2
}
,
{
3
}
}
{\displaystyle \{2\}\subseteq \{\{1\},\{2\},\{3\}\}}
119.
{
2
,
3
,
4
}
=
{
2
,
3
,
4
}
{\displaystyle \{2,3,4\}=\{2,3,4\}}
120.
{
2
,
3
,
4
}
=
{
2
,
3
,
4
,
4
}
{\displaystyle \{2,3,4\}=\{2,3,4,4\}}
121.
{
3
,
2
,
3
,
4
}
=
{
2
,
2
,
3
,
4
,
4
}
{\displaystyle \{3,2,3,4\}=\{2,2,3,4,4\}}
122.
{
2
,
3
}
=
{
2
,
3
,
3
,
4
,
5
,
5
}
{\displaystyle \{2,3\}=\{2,3,3,4,5,5\}}
123.
{
2
,
3
}
=
{
2
,
5
,
3
,
3
,
5
,
4
}
{\displaystyle \{2,3\}=\{2,5,3,3,5,4\}}
124.
{
{
1
}
,
{
2
}
,
{
3
}
}
=
{
1
,
2
,
3
}
{\displaystyle \{\{1\},\{2\},\{3\}\}=\{1,2,3\}}
125.
{
{
0
,
1
,
2
}
,
{
0
}
}
=
{
{
0
,
1
,
2
}
}
{\displaystyle \{\{0,1,2\},\{0\}\}=\{\{0,1,2\}\}}
126.
{
3
,
4
,
{
5
,
6
}
}
,
{
3
}
}
⊈
{
5
,
6
}
}
{\displaystyle \{\ 3,4,\{5,6\}\},\{3\}\}\nsubseteq \{5,6\}\}}
bestimme die Mächtigkeit der folgenden Mengen ( Beispiel: A = {1, 3, 7, 21} ⇒
|
A
|
=
4
{\displaystyle |A|=4}
130.
|
{
P
e
t
e
r
,
U
w
e
,
M
o
n
i
k
a
}
|
{\displaystyle |\{Peter,Uwe,Monika\}|}
131.
|
{
C
y
a
n
,
M
a
g
e
n
t
a
,
G
e
l
b
,
S
c
h
w
a
r
z
}
|
{\displaystyle |\{Cyan,Magenta,Gelb,Schwarz\}|}
132.
|
{
{
7
,
11
,
13
,
17
}
}
|
{\displaystyle |\{\{7,11,13,17\}\}|}
133.
|
{
{
7
}
,
{
11
}
,
{
13
}
,
{
17
}
}
|
{\displaystyle |\{\{7\},\{11\},\{13\},\{17\}\}|}
134.
|
{
{
7
,
11
,
13
,
17
}
,
{
7
}
,
{
11
}
,
{
13
}
,
{
17
}
}
|
{\displaystyle |\{\{7,11,13,17\},\{7\},\{11\},\{13\},\{17\}\}|}
Die Potenzmenge von {x , y , z }, dargestellt als Hasse-Diagramm. bestimme die Potenzmengen der folgenden Mengen ( Beispiel:
P
(
{
1
,
2
,
3
}
)
=
{
∅
,
{
1
}
,
{
2
}
,
{
3
}
,
{
1
,
2
}
,
{
1
,
3
}
,
{
2
,
3
}
,
{
1
,
2
,
3
}
}
{\displaystyle {\mathcal {P}}(\{1,2,3\})=\{\emptyset ,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}}
140.
P
(
{
13
}
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(\{13\})}
141.
P
P
(
{
13
}
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}{\mathcal {P}}(\{13\})}
142.
P
(
{
5
,
13
}
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(\{5,13\})}
143.
P
(
∅
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(\emptyset )}
144.
P
(
{
a
}
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(\{a\})}
145.
P
(
{
0
,
5
,
13
}
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(\{0,5,13\})}
146.
P
(
{
a
,
b
}
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(\{a,b\})}
147.
P
(
{
a
,
b
,
c
}
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(\{a,b,c\})}
Viertens: Vereinigungsmenge, Schnittmenge, Differenmenge [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ] Entscheide, was jeweils für das Fragezeichen eingesetzt werden muss:
∈
{\displaystyle \in }
⊆
{\displaystyle \subseteq }
⊈
{\displaystyle \nsubseteq }
160.
{
1
}
?
{
{
1
,
2
}
,
5
}
{\displaystyle \{1\}?\{\{1,2\},5\}}
161.
{
5
}
?
{
{
1
,
2
}
,
5
}
{\displaystyle \{5\}?\{\{1,2\},5\}}
162.
{
{
1
}
}
?
{
{
1
,
2
}
,
5
}
{\displaystyle \{\{1\}\}?\{\{1,2\},5\}}
Ermittle die Menge:
163.
{
5
,
13
}
∪
{
13
,
7
}
{\displaystyle \{5,13\}\cup \{13,7\}}
164.
{
8
,
4
,
1
,
5
}
∪
{
0
,
2
,
3
}
{\displaystyle \{8,4,1,5\}\cup \{0,2,3\}}
165.
{
8
,
1
}
∪
{
1
,
8
}
{\displaystyle \{8,1\}\cup \{1,8\}}
166.
{
{
8
}
,
{
1
}
}
∪
{
{
8
}
,
{
0
}
}
{\displaystyle \{\{8\},\{1\}\}\cup \{\{8\},\{0\}\}}
167.
{
8
,
{
1
}
}
∪
{
{
8
}
,
0
}
{\displaystyle \{8,\{1\}\}\cup \{\{8\},0\}}
168.
{
8
,
2
}
∪
{
2
,
3
,
4
}
∪
{
0
,
1
,
2
}
{\displaystyle \{8,2\}\cup \{2,3,4\}\cup \{0,1,2\}}
169.
{
8
,
2
}
∪
(
{
2
,
3
,
4
}
∪
{
0
,
1
,
2
}
)
{\displaystyle \{8,2\}\cup (\{2,3,4\}\cup \{0,1,2\})}
170.
{
5
,
13
}
∩
{
13
,
7
}
{\displaystyle \{5,13\}\cap \{13,7\}}
171.
{
8
,
4
,
1
,
5
}
∩
{
0
,
2
,
3
}
{\displaystyle \{8,4,1,5\}\cap \{0,2,3\}}
172.
{
8
,
1
}
∩
{
1
,
8
}
{\displaystyle \{8,1\}\cap \{1,8\}}
173.
{
{
8
}
,
{
1
}
}
∩
{
{
8
}
,
{
0
}
}
{\displaystyle \{\{8\},\{1\}\}\cap \{\{8\},\{0\}\}}
174.
{
8
,
{
1
}
}
∩
{
{
8
}
,
0
}
{\displaystyle \{8,\{1\}\}\cap \{\{8\},0\}}
175.
{
8
,
2
}
∩
{
2
,
3
,
4
}
∩
{
0
,
1
,
2
}
{\displaystyle \{8,2\}\cap \{2,3,4\}\cap \{0,1,2\}}
176.
{
8
,
2
}
∩
(
{
2
,
3
,
4
}
∩
{
0
,
1
,
2
}
)
{\displaystyle \{8,2\}\cap (\{2,3,4\}\cap \{0,1,2\})}
177.
{
5
,
13
}
∖
{
13
,
7
}
{\displaystyle \{5,13\}\setminus \{13,7\}}
178.
{
8
,
4
,
1
,
5
}
∖
{
0
,
2
,
3
}
{\displaystyle \{8,4,1,5\}\setminus \{0,2,3\}}
179.
{
8
,
1
}
∖
{
1
,
8
}
{\displaystyle \{8,1\}\setminus \{1,8\}}
180.
{
{
8
}
,
{
1
}
}
∖
{
{
8
}
,
{
0
}
}
{\displaystyle \{\{8\},\{1\}\}\setminus \{\{8\},\{0\}\}}
181.
{
8
,
{
1
}
}
∖
{
{
8
}
,
0
}
{\displaystyle \{8,\{1\}\}\setminus \{\{8\},0\}}
182.
{
8
,
2
}
∖
{
2
,
3
,
4
}
∖
{
0
,
1
,
2
}
{\displaystyle \{8,2\}\setminus \{2,3,4\}\setminus \{0,1,2\}}
183.
{
8
,
2
}
∖
(
{
2
,
3
,
4
}
∖
{
0
,
1
,
2
}
)
{\displaystyle \{8,2\}\setminus (\{2,3,4\}\setminus \{0,1,2\})}
184.
A
∖
A
{\displaystyle A\setminus A}
185.
∅
∖
A
{\displaystyle \emptyset \setminus A}
186.
A
∖
∅
{\displaystyle A\setminus \emptyset }
Bestimme die Mengen:
190.
{
8
,
4
}
×
{
4
,
2
}
{\displaystyle \{8,4\}\times \{4,2\}}
191.
{
8
,
1
}
×
{
1
,
8
}
{\displaystyle \{8,1\}\times \{1,8\}}
192.
{
{
9
}
,
{
2
}
}
×
{
{
9
}
,
{
1
}
}
{\displaystyle \{\{9\},\{2\}\}\times \{\{9\},\{1\}\}}
193.
{
9
,
{
2
}
}
×
{
{
9
}
,
1
}
{\displaystyle \{9,\{2\}\}\times \{\{9\},1\}}
194.
(
{
9
,
3
}
×
{
3
}
)
×
{
1
,
2
}
{\displaystyle (\{9,3\}\times \{3\})\times \{1,2\}}
195.
{
9
,
3
}
×
(
{
3
}
×
{
1
,
2
}
)
{\displaystyle \{9,3\}\times (\{3\}\times \{1,2\})}
Bestimme die Mächtigkeit
210.
|
P
(
{
2
,
5
}
)
|
{\displaystyle |{\mathcal {P}}(\{2,5\})|}
211.
|
{
9
,
5
}
∪
{
5
,
3
}
|
{\displaystyle |\{9,5\}\cup \{5,3\}|}
212.
|
{
9
,
5
}
∩
{
5
,
3
}
|
{\displaystyle |\{9,5\}\cap \{5,3\}|}
213.
|
{
9
,
5
}
∖
{
5
,
3
}
|
{\displaystyle |\{9,5\}\setminus \{5,3\}|}
214.
|
{
9
,
5
}
×
{
5
,
3
}
|
{\displaystyle |\{9,5\}\times \{5,3\}|}
Gebe jeweils ein einfaches Zahlenbeispiel (kleine Mengen), um die folgenden Aussagen zu überprüfen:
230.
|
(
X
×
Y
)
|
=
|
X
|
∗
|
Y
|
{\displaystyle |(X\times Y)|=|X|*|Y|}
231.
|
P
(
X
)
|
=
2
|
X
|
{\displaystyle |{\mathcal {P}}(X)|=2^{|X|}}
232.
|
(
X
∪
Y
)
|
=
|
X
|
+
|
(
X
∩
Y
)
|
{\displaystyle |(X\cup Y)|=|X|+|(X\cap Y)|}
233.
|
(
X
∖
Y
)
|
=
|
X
|
−
|
(
X
∩
Y
)
|
{\displaystyle |(X\setminus Y)|=|X|-|(X\cap Y)|}
Bestimme die Mengen:
234.
(
{
9
,
3
}
∪
{
3
}
)
∩
{
1
,
2
,
9
}
{\displaystyle (\{9,3\}\cup \{3\})\cap \{1,2,9\}}
235.
{
9
,
3
}
∪
(
{
3
}
∩
{
1
,
2
,
9
}
)
{\displaystyle \{9,3\}\cup (\{3\}\cap \{1,2,9\})}
236.
(
{
9
,
3
}
∩
{
1
,
2
,
9
}
)
∪
(
{
3
}
∩
{
1
,
2
,
9
}
)
{\displaystyle (\{9,3\}\cap \{1,2,9\})\cup (\{3\}\cap \{1,2,9\})}
237.
(
{
9
,
3
}
∪
{
1
,
2
,
9
}
)
∩
(
{
3
}
∪
{
1
,
2
,
9
}
)
{\displaystyle (\{9,3\}\cup \{1,2,9\})\cap (\{3\}\cup \{1,2,9\})}
238.
P
(
{
9
,
3
}
∪
{
1
}
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(\{9,3\}\cup \{1\})}
239.
P
(
{
9
,
3
}
)
∪
P
(
{
1
}
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(\{9,3\})\cup {\mathcal {P}}(\{1\})}
240.
P
(
{
9
,
3
}
∩
{
3
}
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(\{9,3\}\cap \{3\})}
241.
P
(
{
9
,
3
}
)
∩
P
(
{
3
}
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(\{9,3\})\cap {\mathcal {P}}(\{3\})}
242.
P
(
{
9
,
3
}
×
{
1
}
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(\{9,3\}\times \{1\})}
243.
P
(
{
9
,
3
}
)
×
P
(
{
1
}
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(\{9,3\})\times {\mathcal {P}}(\{1\})}
Gegeben sind die Mengen A und B mit A = {-2, -1, 0} und B = {1, 2}. Bestimme die folgenden Mengen:
244.
|
(
A
×
B
)
|
{\displaystyle |(A\times B)|}
245.
|
(
B
×
A
)
|
{\displaystyle |(B\times A)|}
246.
|
(
B
×
(
A
∪
B
)
)
|
{\displaystyle |(B\times (A\cup B))|}
247.
|
(
B
×
(
A
×
B
)
)
|
{\displaystyle |(B\times (A\times B))|}
248.
|
(
P
B
)
|
{\displaystyle |({\mathcal {P}}B)|}
249.
|
(
P
A
)
×
(
P
B
)
|
{\displaystyle |({\mathcal {P}}A)\times ({\mathcal {P}}B)|}
250.
|
P
(
A
×
B
)
|
{\displaystyle |{\mathcal {P}}(A\times B)|}
251.
|
(
P
B
)
×
P
(
A
∪
B
)
|
{\displaystyle |({\mathcal {P}}B)\times {\mathcal {P}}(A\cup B)|}
Gegeben sind wieder die Mengen A und B mit A = {-2, -1, 0} und B = {1, 2}. Welche der folgenden Aussagen sind wahr? (mit W oder F beschriften)
252.
2
∈
A
{\displaystyle 2\in A}
253.
A
∈
B
{\displaystyle A\in B}
254.
A
⊂
B
{\displaystyle A\subset B}
255.
A
⊆
B
{\displaystyle A\subseteq B}
256.
∅
⊆
A
{\displaystyle \varnothing \subseteq A}
257.
A
⊆
A
{\displaystyle A\subseteq A}
258.
A
⊆
P
A
{\displaystyle A\subseteq {\mathcal {P}}A}
259.
A
∈
P
A
{\displaystyle A\in {\mathcal {P}}A}
260.
∅
⊆
P
A
{\displaystyle \varnothing \subseteq {\mathcal {P}}A}
261.
∅
∈
P
A
{\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {P}}A}
262.
|
∅
|
∈
A
{\displaystyle |\varnothing |\in A}
Bestimme:
263.
|
∅
|
{\displaystyle |\varnothing |}
264.
|
P
∅
|
{\displaystyle |{\mathcal {P}}\varnothing |}
265.
|
P
P
∅
|
{\displaystyle |{\mathcal {P}}{\mathcal {P}}\varnothing |}
266.
|
P
P
P
∅
|
{\displaystyle |{\mathcal {P}}{\mathcal {P}}{\mathcal {P}}\varnothing |}
267.
|
{
∅
}
|
{\displaystyle |\{\varnothing \}|}
268.
|
(
{
∅
}
∪
{
{
∅
}
}
)
|
{\displaystyle |(\{\varnothing \}\cup \{\{\varnothing \}\})|}
Wahr oder falsch?
290.
|
∅
|
=
0
{\displaystyle |\varnothing |=0}
291.
∅
=
0
{\displaystyle \varnothing =0}
292.
∅
=
{
0
}
{\displaystyle \varnothing =\{0\}}
293.
∅
⊆
(
P
∅
)
{\displaystyle \varnothing \subseteq ({\mathcal {P}}\varnothing )}
294.
|
∅
|
∈
∅
{\displaystyle |\varnothing |\in \varnothing }
295.
∅
×
X
=
∅
{\displaystyle \varnothing \times X=\varnothing }
296.
∅
∩
{
∅
}
=
∅
{\displaystyle \varnothing \cap \{\varnothing \}=\varnothing }
Welche Aussage ist wahr? (A, B und C sind beliebige Mengen)
297. wenn
X
⊆
Y
{\displaystyle X\subseteq Y}
Y
⊆
Z
{\displaystyle Y\subseteq Z}
X
⊆
Z
{\displaystyle X\subseteq Z}
298. wenn
X
≠
Y
{\displaystyle X\neq Y}
Y
≠
Z
{\displaystyle Y\neq Z}
X
≠
Z
{\displaystyle X\neq Z}
299.
X
⊆
X
{\displaystyle X\subseteq X}
300. wenn
X
⊆
Y
{\displaystyle X\subseteq Y}
Y
⊆
X
{\displaystyle Y\subseteq X}
X
=
Y
{\displaystyle X=Y}
301.
|
(
X
∪
Y
)
|
=
|
X
|
+
|
Y
|
{\displaystyle |(X\cup Y)|=|X|+|Y|}
Bestimme die Mengen:
320.
{
1
,
3
,
5
}
△
{
2
,
3
,
4
,
5
}
{\displaystyle \{1,3,5\}\triangle \{2,3,4,5\}}
321.
{
0
}
△
{
2
,
3
,
4
,
5
}
{\displaystyle \{0\}\triangle \{2,3,4,5\}}
322.
P
(
{
0
,
2
}
)
△
P
(
{
1
,
2
}
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(\{0,2\})\triangle {\mathcal {P}}(\{1,2\})}
Bild 1 Bild 2 Bild 3 Bild 4 Bild 5 Bild 6 Bild 7 Bild 8 Bild 9 Bild 10 Bild 11 Bild 12 Bild 13 Bild 14 Bild 15 Datei:Menge Venn-Diagramm 016.svg Bild 16
Bild 101 Der linke Kreis symbolisiert die Menge A, der rechte Kreis die Menge B, das REchtreckt umrahmt die Komplementmenge C.
Aufgabe: Schreibe für jedes Bild (ab Nr. 102) für alle roten Flächen den Mengenausdruck auf.
Bild 102 Bild 103 Bild 104 Bild 105 Bild 106 Bild 107 Bild 108 Bild 109 Bild 110 Bild 111 Bild 112 Bild 113 Bild 114 Bild 115 Bild 116
zurück zu den Aufgaben
zurück zu den Aufgaben "Erstens"
A = {3, 4, 5}; Welche der folgenden Aussagen sind wahr? (mit W oder F beschriften)
100.
6
∈
A
{\displaystyle 6\in A}
101.
4
∉
A
{\displaystyle 4\notin A}
102.
3
∈
A
{\displaystyle 3\in A}
103.
0
∈
A
{\displaystyle {0}\in A}
104.
∅
∈
A
{\displaystyle \varnothing \in A}
∅
{\displaystyle \varnothing }
Teilmenge jeder Menge:
∅
⊆
A
{\displaystyle \varnothing \subseteq A}
∅
∈
A
{\displaystyle \varnothing \in A}
∅
{\displaystyle \varnothing }
∅
{\displaystyle \varnothing }
105.
{
0
}
∈
{
{
3
,
4
,
5
}
}
{\displaystyle \{0\}\in \{\{3,4,5\}\}}
{
0
}
∈
{
{
0
}
,
{
3
,
4
,
5
}
}
{\displaystyle \{0\}\in \{\{0\},\{3,4,5\}\}}
{
3
}
∈
{
{
3
,
4
,
5
}
}
{\displaystyle \{3\}\in \{\{3,4,5\}\}}
{
3
}
∈
{
{
3
,
4
,
5
}
,
{
3
}
}
{\displaystyle \{3\}\in \{\{3,4,5\},\{3\}\}}
106.
{
0
}
∈
{
{
3
}
,
{
4
}
,
{
5
}
}
{\displaystyle \{0\}\in \{\{3\},\{4\},\{5\}\}}
{
0
}
{\displaystyle \{0\}}
∅
{\displaystyle \varnothing }
∅
{\displaystyle \varnothing }
107.
{
0
}
⊆
{
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
}
{\displaystyle \{0\}\subseteq \{0,1,2,3,4,5\}}
{
0
}
∈
{
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
}
{\displaystyle \{0\}\in \{0,1,2,3,4,5\}}
{
0
}
{\displaystyle \{0\}}
{
0
}
⊆
{
0
,
1
,
{
0
}
,
2
,
3
,
4
,
5
}
{\displaystyle \{0\}\subseteq \{0,1,\{0\},2,3,4,5\}}
0
∈
{
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
}
{\displaystyle 0\in \{0,1,2,3,4,5\}}
108.
{
3
,
4
,
5
}
⊆
{
3
,
4
,
5
}
{\displaystyle \{3,4,5\}\subseteq \{3,4,5\}}
{
3
,
4
,
5
}
⊂
{
3
,
4
,
5
}
{\displaystyle \{3,4,5\}\subset \{3,4,5\}}
109.
{
3
,
5
}
⊆
{
3
,
4
,
5
}
{\displaystyle \{3,5\}\subseteq \{3,4,5\}}
110.
{
}
⊆
{
3
,
4
,
5
}
{\displaystyle \{\}\subseteq \{3,4,5\}}
A
⊆
B
:⟺
∀
x
∈
A
:
x
∈
B
{\displaystyle A\subseteq B:\Longleftrightarrow \forall x\in A:x\in B}
111.
{
0
}
⊂
{
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
}
{\displaystyle \{0\}\subset \{0,1,2,3,4,5\}}
112.
{
2
,
3
,
4
,
5
}
⊂
{
2
,
3
,
4
,
5
}
{\displaystyle \{2,3,4,5\}\subset \{2,3,4,5\}}
A
⊆
B
:⟺
∀
x
∈
A
:
x
∈
B
{\displaystyle A\subseteq B:\Longleftrightarrow \forall x\in A:x\in B}
A
⊂
B
:⟺
A
⊆
B
∧
A
≠
B
{\displaystyle A\subset B:\Longleftrightarrow A\subseteq B\land A\neq B}
113.
{
2
,
3
,
3
,
4
}
⊂
{
2
,
3
,
4
}
{\displaystyle \{2,3,3,4\}\subset \{2,3,4\}}
114.
{
3
,
4
}
⊂
{
2
,
3
,
4
}
{\displaystyle \{3,4\}\subset \{2,3,4\}}
115.
∅
⊂
{
2
,
3
,
4
}
{\displaystyle \varnothing \subset \{2,3,4\}}
116.
∅
⊂
{
0
,
2
,
3
,
4
}
{\displaystyle \varnothing \subset \{0,2,3,4\}}
∅
≠
{
0
}
{\displaystyle \varnothing \neq \{0\}}
∅
=
{
}
{\displaystyle \varnothing =\{\}}
117.
{
1
,
2
}
⊆
{
0
,
1
,
2
}
{\displaystyle \{1,2\}\subseteq \{0,1,2\}}
{
1
,
2
}
⊆
{
{
0
,
1
,
2
}
}
{\displaystyle \{1,2\}\subseteq \{\{0,1,2\}\}}
118.
{
2
}
⊆
{
{
1
}
,
{
2
}
,
{
3
}
}
{\displaystyle \{2\}\subseteq \{\{1\},\{2\},\{3\}\}}
{
2
}
⊆
{
{
1
}
,
{
2
}
,
{
3
}
,
2
}
{\displaystyle \{2\}\subseteq \{\{1\},\{2\},\{3\},2\}}
{
{
2
}
}
⊆
{
{
1
}
,
{
2
}
,
{
3
}
}
{\displaystyle \{\{2\}\}\subseteq \{\{1\},\{2\},\{3\}\}}
119.
{
2
,
3
,
4
}
=
{
2
,
3
,
4
}
{\displaystyle \{2,3,4\}=\{2,3,4\}}
120.
{
2
,
3
,
4
}
=
{
2
,
3
,
4
,
4
}
{\displaystyle \{2,3,4\}=\{2,3,4,4\}}
121.
{
3
,
2
,
3
,
4
}
=
{
2
,
2
,
3
,
4
,
4
}
{\displaystyle \{3,2,3,4\}=\{2,2,3,4,4\}}
122.
{
2
,
3
}
=
{
2
,
3
,
3
,
4
,
5
,
5
}
{\displaystyle \{2,3\}=\{2,3,3,4,5,5\}}
123.
{
2
,
3
}
=
{
2
,
5
,
3
,
3
,
5
,
4
}
{\displaystyle \{2,3\}=\{2,5,3,3,5,4\}}
124.
{
{
1
}
,
{
2
}
,
{
3
}
}
=
{
1
,
2
,
3
}
{\displaystyle \{\{1\},\{2\},\{3\}\}=\{1,2,3\}}
125.
{
{
0
,
1
,
2
}
,
{
0
}
}
=
{
{
0
,
1
,
2
}
}
{\displaystyle \{\{0,1,2\},\{0\}\}=\{\{0,1,2\}\}}
126.
{
3
,
4
,
{
5
,
6
}
}
,
{
3
}
}
⊈
{
5
,
6
}
}
{\displaystyle \{\ 3,4,\{5,6\}\},\{3\}\}\nsubseteq \{5,6\}\}}
zurück zu den Aufgaben "Erstens"
weiter zu den nächsten Aufgaben
bestimme die Mächtigkeit der folgenden Mengen ( Beispiel: A = {1, 3, 7, 21} ⇒
|
A
|
=
4
{\displaystyle |A|=4}
130.
|
{
P
e
t
e
r
,
U
w
e
,
M
o
n
i
k
a
}
|
{\displaystyle |\{Peter,Uwe,Monika\}|}
131.
|
{
C
y
a
n
,
M
a
g
e
n
t
a
,
G
e
l
b
,
S
c
h
w
a
r
z
}
|
{\displaystyle |\{Cyan,Magenta,Gelb,Schwarz\}|}
132.
|
{
{
7
,
11
,
13
,
17
}
}
|
{\displaystyle |\{\{7,11,13,17\}\}|}
133.
|
{
{
7
}
,
{
11
}
,
{
13
}
,
{
17
}
}
|
{\displaystyle |\{\{7\},\{11\},\{13\},\{17\}\}|}
134.
|
{
{
7
,
11
,
13
,
17
}
,
{
7
}
,
{
11
}
,
{
13
}
,
{
17
}
}
|
{\displaystyle |\{\{7,11,13,17\},\{7\},\{11\},\{13\},\{17\}\}|}
bestimme die Potenzmengen der folgenden Mengen ( Beispiel:
P
(
{
1
,
2
,
3
}
)
=
{
∅
,
{
1
}
,
{
2
}
,
{
3
}
,
{
1
,
2
}
,
{
1
,
3
}
,
{
2
,
3
}
,
{
1
,
2
,
3
}
}
{\displaystyle {\mathcal {P}}(\{1,2,3\})=\{\emptyset ,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}}
140.
P
(
{
13
}
)
=
{
{
13
}
,
∅
}
{\displaystyle {\mathcal {P}}(\{13\})=\{\{13\},\emptyset \}}
141.
P
P
(
{
13
}
)
=
{
{
{
13
}
,
∅
}
,
{
{
13
}
}
,
{
∅
}
,
∅
}
{\displaystyle {\mathcal {P}}{\mathcal {P}}(\{13\})=\{{\color {OliveGreen}\{\{13\},\emptyset \}},\{\{13\}\},{\color {OliveGreen}\{\emptyset \}},\emptyset \}}
142.
P
(
{
5
,
13
}
)
=
{
{
5
,
13
}
,
{
5
}
,
{
13
}
,
∅
}
{\displaystyle {\mathcal {P}}(\{5,13\})=\{\{5,13\},\{5\},\{13\},\emptyset \}}
143.
P
(
∅
)
=
{
∅
}
{\displaystyle {\mathcal {P}}(\emptyset )=\{\emptyset \}}
144.
P
(
{
a
}
)
=
{
∅
,
{
a
}
}
{\displaystyle {\mathcal {P}}(\{a\})=\{\emptyset ,\{a\}\}}
145.
P
(
{
0
,
5
,
13
}
)
=
{
∅
,
{
0
}
,
{
5
}
,
{
13
}
,
{
0
,
5
}
,
{
0
,
13
}
,
{
5
,
13
}
,
{
0
,
5
,
13
}
}
{\displaystyle {\mathcal {P}}(\{0,5,13\})=\{\emptyset ,\{0\},\{5\},\{13\},\{0,5\},\{0,13\},\{5,13\},\{0,5,13\}\}}
146.
P
(
{
a
,
b
}
)
=
{
∅
,
{
a
}
,
{
b
}
,
{
a
,
b
}
}
{\displaystyle {\mathcal {P}}(\{a,b\})=\{\emptyset ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}}
147.
P
(
{
a
,
b
,
c
}
)
=
{
∅
,
{
a
}
,
{
b
}
,
{
c
}
,
{
a
,
b
}
,
{
a
,
c
}
,
{
b
,
c
}
,
{
a
,
b
,
c
}
}
{\displaystyle {\mathcal {P}}(\{a,b,c\})=\{\emptyset ,\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},\{a,b,c\}\}}
Lösungen Viertens: Vereinigungsmenge, Schnittmenge, Differenmenge [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ] Entscheide, was jeweils für das Fragezeichen eingesetzt werden muss:
∈
{\displaystyle \in }
⊆
{\displaystyle \subseteq }
⊈
{\displaystyle \nsubseteq }
160.
{
1
}
?
{
{
1
,
2
}
,
5
}
{\displaystyle \{1\}?\{\{1,2\},5\}}
{
1
}
⊈
{
{
1
,
2
}
,
5
}
{\displaystyle \{1\}\nsubseteq \{\{1,2\},5\}}
161.
{
5
}
?
{
{
1
,
2
}
,
5
}
{\displaystyle \{5\}?\{\{1,2\},5\}}
{
5
}
⊆
{
{
1
,
2
}
,
5
}
{\displaystyle \{5\}\subseteq \{\{1,2\},5\}}
162.
{
{
1
}
}
?
{
{
1
,
2
}
,
5
}
{\displaystyle \{\{1\}\}?\{\{1,2\},5\}}
{
{
1
}
}
⊈
{
{
1
,
2
}
,
5
}
{\displaystyle \{\{1\}\}\nsubseteq \{\{1,2\},5\}}
Ermittle die Menge:
163.
{
5
,
13
}
∪
{
13
,
7
}
=
{
5
,
7
,
13
}
{\displaystyle \{5,13\}\cup \{13,7\}=\{5,7,13\}}
164.
{
8
,
4
,
1
,
5
}
∪
{
0
,
2
,
3
}
{\displaystyle \{8,4,1,5\}\cup \{0,2,3\}}
165.
{
8
,
1
}
∪
{
1
,
8
}
{\displaystyle \{8,1\}\cup \{1,8\}}
166.
{
{
8
}
,
{
1
}
}
∪
{
{
8
}
,
{
0
}
}
{\displaystyle \{\{8\},\{1\}\}\cup \{\{8\},\{0\}\}}
167.
{
8
,
{
1
}
}
∪
{
{
8
}
,
0
}
{\displaystyle \{8,\{1\}\}\cup \{\{8\},0\}}
168.
{
8
,
2
}
∪
{
2
,
3
,
4
}
∪
{
0
,
1
,
2
}
{\displaystyle \{8,2\}\cup \{2,3,4\}\cup \{0,1,2\}}
169.
{
8
,
2
}
∪
(
{
2
,
3
,
4
}
∪
{
0
,
1
,
2
}
)
{\displaystyle \{8,2\}\cup (\{2,3,4\}\cup \{0,1,2\})}
170.
{
5
,
13
}
∩
{
13
,
7
}
{\displaystyle \{5,13\}\cap \{13,7\}}
171.
{
8
,
4
,
1
,
5
}
∩
{
0
,
2
,
3
}
{\displaystyle \{8,4,1,5\}\cap \{0,2,3\}}
172.
{
8
,
1
}
∩
{
1
,
8
}
{\displaystyle \{8,1\}\cap \{1,8\}}
173.
{
{
8
}
,
{
1
}
}
∩
{
{
8
}
,
{
0
}
}
{\displaystyle \{\{8\},\{1\}\}\cap \{\{8\},\{0\}\}}
174.
{
8
,
{
1
}
}
∩
{
{
8
}
,
0
}
{\displaystyle \{8,\{1\}\}\cap \{\{8\},0\}}
175.
{
8
,
2
}
∩
{
2
,
3
,
4
}
∩
{
0
,
1
,
2
}
{\displaystyle \{8,2\}\cap \{2,3,4\}\cap \{0,1,2\}}
176.
{
8
,
2
}
∩
(
{
2
,
3
,
4
}
∩
{
0
,
1
,
2
}
)
{\displaystyle \{8,2\}\cap (\{2,3,4\}\cap \{0,1,2\})}
177.
{
5
,
13
}
∖
{
13
,
7
}
{\displaystyle \{5,13\}\setminus \{13,7\}}
178.
{
8
,
4
,
1
,
5
}
∖
{
0
,
2
,
3
}
{\displaystyle \{8,4,1,5\}\setminus \{0,2,3\}}
179.
{
8
,
1
}
∖
{
1
,
8
}
{\displaystyle \{8,1\}\setminus \{1,8\}}
180.
{
{
8
}
,
{
1
}
}
∖
{
{
8
}
,
{
0
}
}
{\displaystyle \{\{8\},\{1\}\}\setminus \{\{8\},\{0\}\}}
181.
{
8
,
{
1
}
}
∖
{
{
8
}
,
0
}
{\displaystyle \{8,\{1\}\}\setminus \{\{8\},0\}}
182.
{
8
,
2
}
∖
{
2
,
3
,
4
}
∖
{
0
,
1
,
2
}
{\displaystyle \{8,2\}\setminus \{2,3,4\}\setminus \{0,1,2\}}
183.
{
8
,
2
}
∖
(
{
2
,
3
,
4
}
∖
{
0
,
1
,
2
}
)
{\displaystyle \{8,2\}\setminus (\{2,3,4\}\setminus \{0,1,2\})}
184.
A
∖
A
{\displaystyle A\setminus A}
185.
∅
∖
A
{\displaystyle \emptyset \setminus A}
186.
A
∖
∅
{\displaystyle A\setminus \emptyset }
Bestimme die Mengen:
190.
{
8
,
4
}
×
{
4
,
2
}
{\displaystyle \{8,4\}\times \{4,2\}}
191.
{
8
,
1
}
×
{
1
,
8
}
{\displaystyle \{8,1\}\times \{1,8\}}
192.
{
{
9
}
,
{
2
}
}
×
{
{
9
}
,
{
1
}
}
{\displaystyle \{\{9\},\{2\}\}\times \{\{9\},\{1\}\}}
193.
{
9
,
{
2
}
}
×
{
{
9
}
,
1
}
{\displaystyle \{9,\{2\}\}\times \{\{9\},1\}}
194.
(
{
9
,
3
}
×
{
3
}
)
×
{
1
,
2
}
{\displaystyle (\{9,3\}\times \{3\})\times \{1,2\}}
195.
{
9
,
3
}
×
(
{
3
}
×
{
1
,
2
}
)
{\displaystyle \{9,3\}\times (\{3\}\times \{1,2\})}
Bestimme die Mächtigkeit
210.
|
P
(
{
2
,
5
}
)
|
{\displaystyle |{\mathcal {P}}(\{2,5\})|}
211.
|
{
9
,
5
}
∪
{
5
,
3
}
|
{\displaystyle |\{9,5\}\cup \{5,3\}|}
212.
|
{
9
,
5
}
∩
{
5
,
3
}
|
{\displaystyle |\{9,5\}\cap \{5,3\}|}
213.
|
{
9
,
5
}
∖
{
5
,
3
}
|
{\displaystyle |\{9,5\}\setminus \{5,3\}|}
214.
|
{
9
,
5
}
×
{
5
,
3
}
|
{\displaystyle |\{9,5\}\times \{5,3\}|}
Gebe jeweils ein einfaches Zahlenbeispiel (kleine Mengen), um die folgenden Aussagen zu überprüfen:
230.
|
(
X
×
Y
)
|
=
|
X
|
∗
|
Y
|
{\displaystyle |(X\times Y)|=|X|*|Y|}
231.
|
P
(
X
)
|
=
2
|
X
|
{\displaystyle |{\mathcal {P}}(X)|=2^{|X|}}
232.
|
(
X
∪
Y
)
|
=
|
X
|
+
|
(
X
∩
Y
)
|
{\displaystyle |(X\cup Y)|=|X|+|(X\cap Y)|}
233.
|
(
X
∖
Y
)
|
=
|
X
|
−
|
(
X
∩
Y
)
|
{\displaystyle |(X\setminus Y)|=|X|-|(X\cap Y)|}
Bestimme die Mengen:
234.
(
{
9
,
3
}
∪
{
3
}
)
∩
{
1
,
2
,
9
}
{\displaystyle (\{9,3\}\cup \{3\})\cap \{1,2,9\}}
235.
{
9
,
3
}
∪
(
{
3
}
∩
{
1
,
2
,
9
}
)
{\displaystyle \{9,3\}\cup (\{3\}\cap \{1,2,9\})}
236.
(
{
9
,
3
}
∩
{
1
,
2
,
9
}
)
∪
(
{
3
}
∩
{
1
,
2
,
9
}
)
{\displaystyle (\{9,3\}\cap \{1,2,9\})\cup (\{3\}\cap \{1,2,9\})}
237.
(
{
9
,
3
}
∪
{
1
,
2
,
9
}
)
∩
(
{
3
}
∪
{
1
,
2
,
9
}
)
{\displaystyle (\{9,3\}\cup \{1,2,9\})\cap (\{3\}\cup \{1,2,9\})}
238.
P
(
{
9
,
3
}
∪
{
1
}
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(\{9,3\}\cup \{1\})}
239.
P
(
{
9
,
3
}
)
∪
P
(
{
1
}
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(\{9,3\})\cup {\mathcal {P}}(\{1\})}
240.
P
(
{
9
,
3
}
∩
{
3
}
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(\{9,3\}\cap \{3\})}
241.
P
(
{
9
,
3
}
)
∩
P
(
{
3
}
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(\{9,3\})\cap {\mathcal {P}}(\{3\})}
242.
P
(
{
9
,
3
}
×
{
1
}
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(\{9,3\}\times \{1\})}
243.
P
(
{
9
,
3
}
)
×
P
(
{
1
}
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(\{9,3\})\times {\mathcal {P}}(\{1\})}
Gegeben sind die Mengen A und B mit A = {-2, -1, 0} und B = {1, 2}. Bestimme die folgenden Mengen:
244.
|
(
A
×
B
)
|
{\displaystyle |(A\times B)|}
245.
|
(
B
×
A
)
|
{\displaystyle |(B\times A)|}
246.
|
(
B
×
(
A
∪
B
)
)
|
{\displaystyle |(B\times (A\cup B))|}
247.
|
(
B
×
(
A
×
B
)
)
|
{\displaystyle |(B\times (A\times B))|}
248.
|
(
P
B
)
|
{\displaystyle |({\mathcal {P}}B)|}
249.
|
(
P
A
)
×
(
P
B
)
|
{\displaystyle |({\mathcal {P}}A)\times ({\mathcal {P}}B)|}
250.
|
P
(
A
×
B
)
|
{\displaystyle |{\mathcal {P}}(A\times B)|}
251.
|
(
P
B
)
×
P
(
A
∪
B
)
|
{\displaystyle |({\mathcal {P}}B)\times {\mathcal {P}}(A\cup B)|}
Gegeben sind wieder die Mengen A und B mit A = {-2, -1, 0} und B = {1, 2}. Welche der folgenden Aussagen sind wahr? (mit W oder F beschriften)
252.
2
∈
A
{\displaystyle 2\in A}
253.
A
∈
B
{\displaystyle A\in B}
254.
A
⊂
B
{\displaystyle A\subset B}
255.
A
⊆
B
{\displaystyle A\subseteq B}
256.
∅
⊆
A
{\displaystyle \varnothing \subseteq A}
257.
A
⊆
A
{\displaystyle A\subseteq A}
258.
A
⊆
P
A
{\displaystyle A\subseteq {\mathcal {P}}A}
259.
A
∈
P
A
{\displaystyle A\in {\mathcal {P}}A}
260.
∅
⊆
P
A
{\displaystyle \varnothing \subseteq {\mathcal {P}}A}
261.
∅
∈
P
A
{\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {P}}A}
262.
|
∅
|
∈
A
{\displaystyle |\varnothing |\in A}
Bestimme:
263.
|
∅
|
{\displaystyle |\varnothing |}
264.
|
P
∅
|
{\displaystyle |{\mathcal {P}}\varnothing |}
265.
|
P
P
∅
|
{\displaystyle |{\mathcal {P}}{\mathcal {P}}\varnothing |}
266.
|
P
P
P
∅
|
{\displaystyle |{\mathcal {P}}{\mathcal {P}}{\mathcal {P}}\varnothing |}
267.
|
{
∅
}
|
{\displaystyle |\{\varnothing \}|}
268.
|
(
{
∅
}
∪
{
{
∅
}
}
)
|
{\displaystyle |(\{\varnothing \}\cup \{\{\varnothing \}\})|}
Wahr oder falsch?
290.
|
∅
|
=
0
{\displaystyle |\varnothing |=0}
291.
∅
=
0
{\displaystyle \varnothing =0}
292.
∅
=
{
0
}
{\displaystyle \varnothing =\{0\}}
293.
∅
⊆
(
P
∅
)
{\displaystyle \varnothing \subseteq ({\mathcal {P}}\varnothing )}
294.
|
∅
|
∈
∅
{\displaystyle |\varnothing |\in \varnothing }
295.
∅
×
X
=
∅
{\displaystyle \varnothing \times X=\varnothing }
296.
∅
∩
{
∅
}
=
∅
{\displaystyle \varnothing \cap \{\varnothing \}=\varnothing }
Welche Aussage ist wahr? (A, B und C sind beliebige Mengen)
297. wenn
X
⊆
Y
{\displaystyle X\subseteq Y}
Y
⊆
Z
{\displaystyle Y\subseteq Z}
X
⊆
Z
{\displaystyle X\subseteq Z}
298. wenn
X
≠
Y
{\displaystyle X\neq Y}
Y
≠
Z
{\displaystyle Y\neq Z}
X
≠
Z
{\displaystyle X\neq Z}
299.
X
⊆
X
{\displaystyle X\subseteq X}
300. wenn
X
⊆
Y
{\displaystyle X\subseteq Y}
Y
⊆
X
{\displaystyle Y\subseteq X}
X
=
Y
{\displaystyle X=Y}
301.
|
(
X
∪
Y
)
|
=
|
X
|
+
|
Y
|
{\displaystyle |(X\cup Y)|=|X|+|Y|}
Bestimme die Mengen:
320.
{
1
,
3
,
5
}
△
{
2
,
3
,
4
,
5
}
{\displaystyle \{1,3,5\}\triangle \{2,3,4,5\}}
321.
{
0
}
△
{
2
,
3
,
4
,
5
}
{\displaystyle \{0\}\triangle \{2,3,4,5\}}
322.
P
(
{
0
,
2
}
)
△
P
(
{
1
,
2
}
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(\{0,2\})\triangle {\mathcal {P}}(\{1,2\})}
.PNG)
