Benutzer:Jobu0101/Telefonmatrix

Ziffernfeld eines Telefons

Telefonmatrix ist ein umgangssprachlicher Begriff aus der Mathematik. Er bezeichnet die 3x3-Matrix

$T:={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}.$

Sie erinnert an das Ziffernfeld eines Telefons, daher ihr Name.

Interessanter Weise ist gerade diese Matrix singulär, sie hat also den Eigenwert 0. Betrachtet als $\mathbb {Q} ^{3}$-Endomorphismus ist das ihr einziger Eigenwert. Als $\mathbb {R} ^{3}$-Endomorphismus oder $\mathbb {C} ^{3}$-Endomorphismus interpretiert hat sie jedoch drei Eigenwerte, nämlich noch ${\tfrac {15\pm 3{\sqrt {33}}}{2}}$, daher ist sie dort diagonalisierbar.

Kern und Bild

Als Vektorraum-Endomorphismus über einem Körper $\mathbb {K}$ (wobei $\mathbb {K}$ isomorph zu einem Oberkörper von $\mathbb {Q}$ sein sollte) betrachtet hat die Telefonmatrix einen eindimensionalen Kern und ein zweidimensionales Bild. So gilt

$\ker(T)=\left\{t{\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}}:t\in \mathbb {K} \right\}$ und $\mathrm {im} (T)=\left\{{\begin{pmatrix}a\\b\\2b-a\end{pmatrix}}:(a,b)\in \mathbb {K} ^{2}\right\}.$