Benutzer:Pacogo7/Überlegungen zur Collatzvermutung

Argumentation für einen Beweis der Collatzvermutung

Es geht hier darum, auszuloten, ob man beweisen kann, dass
bestimmte unendliche Vorgängerbäume alle ungeraden Zahlen enthalten.

Unendliche Vorgängerfolgen

Die interessante Folge A327638 (von Pierre CAMI) hat

• nur tatsächliche Vorgänger und kommt
• immer wieder auf die 5 mod 8 Schicht zurück.

Die FORMULA bei oeis lautet so:
If a(n-1) == 1 (mod 3) then a(n) = (4*a(n-1)-1)/3 or (16*a(n-1)-1)/3, whichever value is not divisible by 3.
If a(n-1) == -1 (mod 3) then a(n) = (2*a(n-1)-1)/3 or a(n)=(8*a(n-1)-1)/3, whichever value is not divisible by 3.

Kurz bevor die Vorgängerfolge dadurch endet, dass eine durch 3 teilbare Zahl entstehen
könnte, wird der erste Faktor (4 oder 2) mit 4 multipliziert und eine 5 mod 8 Zahl entsteht.

Der Anfang von A327638 lautet: 1, 5, 13, 17, 11, 7, 37, 49, 65, 43, 229, 305, 203, 541, 721, 961, 5125, 6833, 4555, ...
Eine weitere solche Folge wäre: 1, 5, 53, 35, 23, 61, 325, 433, 577, 769, 1025, 683, 455, 1213, ...
Noch eine weitere solche Folge wäre: 1, 5, 13, 17, 11, 29, 19, 25, 133, 709, 3781, 5041, 6721, 35845, 191173, ...

Nun lassen sich ja diese Folgenanweisungen ausweiten. Wir bilden Schritt für Schritt
für alle möglichen Folgen dieses Typs alle möglichen Vorgänger.

Also wir bauen eine immer wieder verzweigende Folge mit dem Anfang 1, ... und der Folgenanweisung der "Formula" von A327638.
Aber diese Folgenanweisung wird so erweitert, dass sie bei der or-Stelle verzweigt, statt nur den kleineren Fall zu wählen.
(Beispiel: 11 hat die Vorgänger 7 und 29. Also verzweigt die Folge an der Stelle.)

(Bemerkung: Wir beginnen nicht mit 1, 5, ... weil wir die anderen Vorgänger von 1 außer 5
A002450: 85, 341, 5461, ... auch mitnehmen.)

Außerdem werden alle passenden Faktoren f in (f*a(n-1)-1)/3 gewählt, also f = 4, 16, 64, ... A000302
oder entsprechend f = 2, 8, 32, 128, ... A004171. Die Bedingung: "not divisible by 3" bleibt aber bestehen.

Man bestimmt für die Darstellung einer angewandten Ausführung dieser verzweigenden Folge eine Schrittzahl m.
Unendliche Zweige werden (so die grobe Skizze, die noch detailiert beschrieben werden muss) bis zum m-ten Schritt durchlaufen,
später wird dann dort wieder aufgesetzt und die nächsten m Schritte werden durchgeführt.

Etwas Ähnliches wie die genannte verzweigende Folge hat auch schon Howard A. Landman mit A082983 gemacht. Unterschied:

• Er hat die unendlichen Zweige gleich abgeschnitten und
• er hat zusätzlich die durch 3 teilbaren Zahlen mitgenommen.

Skizze Satz

Ordnung positiver ungerader Zahlen

Sei < als eine Teilordnung der positiven ungeraden Zahlen folgendermaßen definiert:
Sei a eine beliebige ungerade Zahl größer als 1 und a' ein ungerader Collatznachfolger.
Dann gilt als Definition von <: a' ist <-kleiner als a.
(Sei 'a ein Vorgänger von a gemäß der oben genannten erweiterten Formula von A327638.
Dann folgt: a ist <-kleiner als 'a.)
Wir definieren für die Transitivität noch folgende Erweiterung: Falls $a''<a'$ und $a'<a$, dann $a''<a$.
(Der Nachfolger des Nachfolgers ist ebenfalls Nachfolger. Das lässt sich iterativ fortsetzen.)

< ist antisymetrisch, denn es gibt seit 2021
einen Beweis, dass es in Collatzfolgen keine (nicht trivialen) Zyklen gibt:
Fabian S. Reid, The Visual Pattern in the Collatz Conjecture and Proof of No Non-Trivial Cycles,
arXiv:2105.07955 [math.GM], 2021.
Wäre < irgendwo symmetrisch, also für ein a und ein b gilt: a < b und b < a, dann gäbe es einen Zyklus in Collatzfolgen.
Zwar gibt es ja den Zyklus 4-2-1, da wir aber nur die ungeraden Zahlen betrachten sind alle Teilfolgen zyklenfrei.

< ist nicht reflexiv. Wir definieren a < a nicht.

Also ist < eine strenge Halbordnung.

Jeder direkte ungerade Collatznachfolger ist ein eindeutiger Nachfolger.
Das gilt nicht in die andere Richtung. Es gibt evtl. mehrere direkte Collatz-Vorgänger.

Wir können für direkte Collatznachfolger ein Hasse-Diagramm auf < aufstellen mit 1 als Grundelement.

Satz

Satz:
Es gibt keine <-kleinste positive ungerade Zahl, die in A082983 - ergänzt um alle children - nicht vorkommt.
Beweis durch Widerspruch.
Sei a die <-kleinste positive ungerade Zahl, die in A082983 nicht vorkommt. Nun bilden wir den ersten ungeraden Collatznachfolger a' von a.
a' ist <-kleiner als a.
Da a nicht in A082983 vorkommt, kann a' auch nicht in A082983 sein.
a' hätte sonst den Vorgänger a in A082983.
Also ist a nicht die <-kleinste Zahl, die in A082983 nicht vorkommt.
Widerspruch.

Kette ohne Basis

Dieser Satz schließt nicht aus, dass es eine Kette K ("Kette" nenne ich hier einen verzweigten Baum von Folgen) von Collatzfolgen geben könnte, die in beide Richtungen unendlich ist und die sich nicht auf eine Grundierung aus A082983 zurückführen lässt.

Diese Kette K hat an jedem nicht durch 3 teilbaren Verzweigungs-Folgenglied eine unendliche Zahl von Vorgänger-Verzweigungen.

Für jedes nicht durch 3 teilbares Folgenglied lässt sich nämlich per 4 a(n) + 1 eine Vorgänger-Children-Kette bilden.

Hierzu mache man sich klar, dass jede positive, ungerade nicht durch 3 teilbare natürliche Zahl Collatzvorgänger hat: Dass die obige FORMULA der Folge A327638 Collatzvorgänger liefert, ergibt sich aus der modularen Arithmetik, die einen Wechsel in der Teilbarkeit durch 3 erzwingt.

Fast alle?

Dies legt nahe, dass man eine Gleichmächtigkeit von K und A082983 (Kette aller im 4-2-1-Zyklus endenden Collatzfolgen) hat.

Durch eine Bijektion kann man zeigen, dass K und A082983 dieselbe Dichte haben. Man ordnet die jeweiligen Verzweigungen einander zu.

Wenn dem so ist, liegt die These nahe, dass die im 4-2-1-Zyklus endenden Collatzfolgen nicht fast alle ("almost all" siehe die beiden Texte von Terence Tao) Zahlen betrifft. Das wäre ein Beweis, dass es keine solche Kette K geben kann.

Ich liste dazu zwei Texte von Terence Tao auf:

• Terence Tao: Almost all Collatz orbits attain almost bounded values (2019a). Online verfügbar unter https://terrytao.wordpress.com/2019/09/10/almost-all-collatz-orbits-attainalmost-bounded-values/
• Terence Tao: Almost all orbits of the Collatz map attain almost bounded values, arXiv (2019b). https://arxiv.org/abs/1909.03562

Für ein Verständnis der Texte von Tao habe ich den schönen Text von Ingo Althöfer: Neues zum Collatz-Problem genutzt. Danke!!!