Benutzer:Physikaficionado/Hawking-Strahlung-korrigiert

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Hawking-Temperatur

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Hawking fand eine Formel für die Entropie und Strahlungstemperatur eines Schwarzen Lochs, die auch als Hawking-Temperatur bezeichnet wird und gegeben ist durch[1]:

.

Dabei bedeutet

Häufig wird die Temperatur und Entropie in der Gravitationsphysik auch so angegeben, dass die Boltzmannkonstante weggelassen wird.

Die Ableitung der Formel für die Temperatur erfolgte in der ursprünglichen Arbeit von Hawking in semiklassischer Näherung. Da ein Teil der erzeugten Strahlung durch das Gravitationsfeld in das Schwarze Loch zurückgestreut wird, sind Schwarze Löcher eher als „graue Strahler“ zu verstehen mit einer gegenüber dem Modell des schwarzen Körpers verminderten Strahlungsintensität. Die Näherungen bei der Herleitung gelten nur für Schwarze Löcher mit großer Masse, da angenommen wurde, dass die Krümmung des Ereignishorizontes vernachlässigbar klein ist, so dass „gewöhnliche“ Quantenmechanik in der Hintergrund-Raumzeit (im Fall des Schwarzen Lochs die Schwarzschild-Metrik oder deren Verallgemeinerungen) betrieben werden kann. Für sehr kleine Schwarze Löcher sollte die Intensitätsverteilung deutlich von der eines schwarzen Strahlers abweichen, weil in diesem Fall die quantenmechanischen Effekte so bestimmend werden, dass die semiklassische Näherung nicht mehr gilt.

Aus der von Hawking gefundenen Formel für die Temperatur ergab sich über mit

durch Integration eine Formel für die Entropie

mit dem Schwarzschildradius und der Fläche des Ereignishorizonts . Diese Entropie stimmt bis auf Vorfaktoren mit der von Bekenstein mit heuristischen Argumenten abgeleiteten Formel

überein[2].

Von der Größenordnung her lässt sich die Hawking-Temperatur folgendermaßen herleiten:[3] Das Wiensche Verschiebungsgesetz ergibt ein Maximum der Schwarzkörperstrahlung bei Wellenlängen . Bei Schwarzen Löchern kommt als Längeneinheit nur der Schwarzschildradius in Betracht, so dass und sich die Temperatur (in Kelvin) ergibt:

mit der Sonnenmasse .

Auf ähnliche Weise lässt sich die Strahlungsleistung nach dem Stefan-Boltzmann-Gesetz abschätzen:

mit der Fläche , dem Schwarzschildradius und der oben abgeschätzten Temperatur . In MKS-Einheiten ergibt sich:

Die Lebensdauer ergibt sich der Größenordnung nach aus zu:

Oder bei Angabe mit MKS-Einheiten:

oder Jahre

Die korrekte Berechnung nach Hawking führt zu[4]

Jahre

mit dem Volumen des Schwarzen Lochs .

Back-up 7.11.2023

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Hawking-Temperatur

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Hawking fand eine Formel für die Entropie und Strahlungstemperatur eines Schwarzen Lochs, die auch als Hawking-Temperatur bezeichnet wird und gegeben ist durch:

.

Dabei bedeutet

Häufig wird die Temperatur und Entropie in der Gravitationsphysik auch so angegeben, dass die Boltzmannkonstante weggelassen wird.

Die Ableitung der Formel für die Temperatur erfolgte in der ursprünglichen Arbeit von Hawking in semiklassischer Näherung. Da ein Teil der erzeugten Strahlung durch das Gravitationsfeld in das Schwarze Loch zurückgestreut wird, sind Schwarze Löcher eher als „graue Strahler“ zu verstehen mit einer gegenüber dem Modell des schwarzen Körpers verminderten Strahlungsintensität. Die Näherungen bei der Herleitung gelten nur für Schwarze Löcher mit großer Masse, da angenommen wurde, dass die Krümmung des Ereignishorizontes vernachlässigbar klein ist, so dass „gewöhnliche“ Quantenmechanik in der Hintergrund-Raumzeit (im Fall des Schwarzen Lochs die Schwarzschild-Metrik oder deren Verallgemeinerungen) betrieben werden kann. Für sehr kleine Schwarze Löcher sollte die Intensitätsverteilung deutlich von der eines schwarzen Strahlers abweichen, weil in diesem Fall die quantenmechanischen Effekte so bestimmend werden, dass die semiklassische Näherung nicht mehr gilt.

Aus der von Hawking gefundenen Formel für die Temperatur ergab sich über (mit ) eine Formel für die Entropie, die bis auf Vorfaktoren mit der von Bekenstein mit heuristischen Argumenten abgeleiteten Formel übereinstimmte.

Von der Größenordnung her lässt sich die Hawking-Temperatur folgendermaßen herleiten:[5] Das Wiensche Verschiebungsgesetz ergibt ein Maximum der Schwarzkörperstrahlung bei Wellenlängen . Bei Schwarzen Löchern kommt als Längeneinheit nur der Schwarzschildradius in Betracht, so dass und sich die Temperatur (in Kelvin) ergibt:

mit der Sonnenmasse .

Auf ähnliche Weise lässt sich die Strahlungsleistung nach dem Stefan-Boltzmann-Gesetz abschätzen:

mit der Fläche , dem Schwarzschildradius und der oben abgeschätzten Temperatur . In MKS-Einheiten ergibt sich:

Die Lebensdauer ergibt sich der Größenordnung nach aus zu:

Oder bei Angabe mit MKS-Einheiten:

oder Jahre

Die korrekte Berechnung nach Hawking führt zu

Jahre
  1. Frolov, Valeri and Zelnikov, Andrei: Introduction to Black Hole Physics. 1. Auflage. Oxford University Press, Oxford 2011, ISBN 978-0-19-969229-3, S. 42.
  2. Jacob D. Bekenstein: Black holes and entropy. In: Phys.Rev. D, Nr. 7, 1973, S. 2333–2346 (Online [PDF; abgerufen am 9. Dezember 2014]).
  3. Roman Sexl, Hannelore Sexl: Weiße Zwerge – Schwarze Löcher. Vieweg 1979, S. 83.
  4. Glendenning, Norman: Special and General Relativity - With Applications to White Dwarfs, Neutron Stars and Black Holes. 1. Auflage. Springer-Verlag, New York 2007, ISBN 0-387-47106-5, S. 183.
  5. Roman Sexl, Hannelore Sexl: Weiße Zwerge – Schwarze Löcher. Vieweg 1979, S. 83.