Wiensches Verschiebungsgesetz

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Eine gedimmte Glühwendel leuchtet bei ca. 700 °C rot, bei höheren Temperaturen orange bis gelblich-weiß.

Das nach Wilhelm Wien benannte wiensche Verschiebungsgesetz besagt, dass die Wellenlänge, bei der ein Schwarzer Körper der absoluten Temperatur T die intensivste Strahlung abgibt, umgekehrt proportional zur Temperatur ist. Verdoppelt sich beispielsweise die Temperatur des Strahlers, so halbiert sich die Wellenlänge, bei der sein Strahlungsmaximum liegt. Die allgemeine Erfahrung, dass die Glutfarben eines glühenden Körpers zunächst rötlich sind und sich bei zunehmender Temperatur zu blaueren, also kürzeren Wellenlängen verschieben, beruht auf diesem Zusammenhang.

Neben dieser besonders häufig verwendeten Formulierung, welche die Wellenlänge der intensivsten Strahlung betrachtet, sind für manche Anwendungen andere Formulierungen des Gesetzes nützlicher, die die Frequenz der intensivsten Strahlung oder die Wellenlänge bzw. Frequenz der höchsten Photonenrate beschreiben.

Das Verschiebungsgesetz wird heutzutage am einfachsten aus dem planckschen Strahlungsgesetz abgeleitet, das die Energieverteilung in der Strahlung eines Schwarzen Körpers beschreibt und die temperaturabhängige Lage des Strahlungsmaximums leicht auszurechnen gestattet. Wien konnte jedoch aufgrund thermodynamischer Überlegungen bereits einige Jahre vor Plancks Entdeckung allgemeine Gesetzmäßigkeiten ableiten, denen das (damals noch unbekannte) Strahlungsgesetz des Schwarzen Körpers unterliegen musste, und zu denen auch das Verschiebungsgesetz gehört.

Allgemeines[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Plancksche Strahlungsspektren für verschiedene Temperaturen

Die von einem Schwarzen Körper abgegebene Wärmestrahlung ist ein Gemisch elektromagnetischer Wellen aus einem breiten Wellenlängenbereich. Die Verteilung der Strahlungsintensität auf die einzelnen Wellenlängen wird durch das plancksche Strahlungsgesetz beschrieben. Sie weist ein deutliches Maximum auf, dessen Lage mit dem wienschen Verschiebungsgesetz einfach berechnet werden kann.

Je höher die Temperatur eines Körpers ist, bei desto kürzeren Wellenlängen liegt das Maximum der Verteilung. Daher gibt zum Beispiel Stahl bei Raumtemperatur unsichtbare infrarote Strahlung („Wärmestrahlung“) ab, warmer glühender Stahl leuchtet dunkelrot, heißer flüssiger Stahl glüht fast weiß.

Maximum der Strahlungsintensität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die gebräuchlichste Formulierung des Verschiebungsgesetzes beschreibt die Wellenlänge, bei der das Maximum der Strahlungsintensität liegt. Sie lautet:

mit

: Wellenlänge, bei der die Intensität maximal ist (in μm)
: absolute Temperatur des Schwarzen Körpers (in K)

Gelegentlich ist anstelle der Wellenlänge die Frequenz von Interesse, bei der das Intensitätsmaxium liegt. Diese Frequenz ist:

Diese Frequenz ist nicht die Frequenz, die gemäß der üblichen Umrechnungsformel der Maximumswellenlänge entsprechen würde. Die Lage des Maximums ist daher unterschiedlich, je nachdem ob die Strahlungsverteilung als Funktion der Wellenlänge oder der Frequenz betrachtet wird. Dieser zunächst paradox erscheinende Umstand wird im nächsten Abschnitt näher erläutert.

Maximum der Photonenrate[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für manche Prozesse wie beispielsweise die Photosynthese ist statt der einfallenden Strahlungsintensität die einfallende Photonenrate ausschlaggebend. Die Wellenlänge, bei der das Maximum der Photonenrate liegt, ist

Die Frequenz, bei der das Maximum der Photonenrate liegt, ist

Auch hier ergibt sich die Frequenz des Maximums nicht einfach durch Umrechnung aus der Wellenlänge des Maximums.

Unterschiedliche Maxima in Wellenlängen- und Frequenzdarstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Tatsache, dass die Lage des Intensitätsmaximums unterschiedlich ist, je nachdem ob die Strahlungsverteilung als Funktion der Wellenlänge oder der Frequenz betrachtet wird – dass es also keine objektive Lage des Maximums gibt – beruht darauf, dass die Strahlungsverteilung eine Dichteverteilung ist.

Im Falle eines Strahlungsspektrums ist es nämlich nicht möglich, für eine gegebene einzelne Wellenlänge eine zugehörige Strahlungsintensität anzugeben. Da die abgegebene Strahlungsleistung in jedem Wellenlängenintervall eine endliche Anzahl von Watt enthält, das Intervall jedoch aus unendlich vielen Wellenlängen besteht, entfallen auf jede einzelne Wellenlänge Null Watt.

Man betrachtet daher nicht eine einzelne Wellenlänge , sondern ein kleines die betreffende Wellenlänge umgebendes Wellenlängenintervall, setzt die in diesem Intervall enthaltene (endliche) Strahlungsleistung ins Verhältnis zur (endlichen) Intervallbreite und lässt das Intervall gedanklich auf Null schrumpfen. Obwohl die im Intervall enthaltene Leistung wie auch die Intervallbreite dabei jeweils gegen Null gehen, strebt das Verhältnis der beiden gegen einen endlichen Grenzwert, die spektrale Leistungsdichte bei der betrachteten Wellenlänge

,

die beispielsweise in Watt pro Mikrometer gemessen wird. Diagramme, die das Spektrum der abgestrahlten Leistung darstellen, zeigen diese Größe[Anm. 1] als Kurve über der Wellenlänge aufgetragen. Das Konzept der spektralen Leistungsdichte ist dasselbe, das beispielsweise auch der Massendichte zugrundeliegt: Die in einem gegebenen Punkt eines Gegenstandes enthaltene Masse ist Null, weil ein Punkt kein Volumen hat. Betrachtet man aber die Masse, die in einem kleinen den Punkt umgebenden Volumen enthalten ist und bildet deren Verhältnis zum Volumen, erhält man auch für ein gegen Null schrumpfendes Volumen einen endlichen Zahlenwert: die Massendichte an diesem Punkt.

Soll eine als Funktion der Wellenlänge gegebene spektrale Leistungsdichte in die frequenzabhängige Darstellung umgewandelt werden, so folgt der Zahlenwert für aus der Bedingung, dass die in einem Wellenlängenintervall enthaltene Strahlungsleistung dieselbe sein muss wie in dem Frequenzintervall , dessen Grenzen sich durch Umrechnen der Grenzen des Wellenlängenintervalls ergeben.

Man betrachte also das Intervall zwischen den Wellenlängen und – im Falle der Sonnenstrahlung könnten diese Grenzwellenlängen beispielsweise durch Fraunhofersche Linien markiert sein. Die Umrechnung der Intervallbreite in die frequenzabhängige Darstellung ergibt

,

wobei im Folgenden das Minuszeichen ignoriert wird, da nur die Beträge der Intervallbreiten von Interesse sind. (Das Minuszeichen spiegelt lediglich den Umstand wider, dass die Frequenz zunimmt, wenn die Wellenlänge abnimmt.) Für die Umrechnung der Spektren werden infinitesimal kleine Intervalle benötigt. Dazu lässt man im obigen Ausdruck gehen oder bildet einfach die Ableitung

,

woraus folgt

.

Unterteilt man beispielsweise die Wellenlängenachse in gleich große Wellenlängenintervalle , werden demnach die zugehörigen Frequenzintervalle für größere Frequenzen zunehmend breiter.

Da die im jeweils betrachteten Intervall enthaltene Strahlungsleistung unabhängig von den gewählten Variablen dieselbe sein muss:

,
und gleichzeitig

folgt für die spektrale Leistungsdichte

und damit

Der Zahlenwert der spektralen Leistungsdichte in der Frequenzdarstellung muss also bei zunehmender Frequenz um denselben Faktor abnehmen, um den die Breite der Frequenzintervalle zunimmt.

Hat die betrachtete Strahlungsquelle beispielsweise in der Wellenlängendarstellung eine konstante spektrale Leistungsdichte (), nimmt die spektrale Leistungsdichte in der Frequenzdarstellung quadratisch mit der Frequenz ab, ist also insbesondere nicht konstant:

.

Hat die Strahlungsquelle in der Wellenlängendarstellung bei einer bestimmten Wellenlänge ein Maximum, so ist in einer infinitesimalen Umgebung dieser Wellenlänge konstant. Dann kann bei dieser Wellenlänge aber nach obiger Erläuterung bei dieser Wellenlänge nicht konstant sein, dort also auch kein Maximum haben.

Wellenlängenabhängige Größen, die keine Dichteverteilungen sind, werden von der Wellenlängen- in die Frequenzdarstellung umgerechnet, indem die der Wellenlänge zugeordnete Größe der Frequenz zugewiesen wird. Beispiele sind der wellenlängenabhängige Transmissionsgrad eines Filters oder die wellenlängenabhängige Empfindlichkeitskurve des Auges.

Herleitungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Maximale Strahlungsleistung in der Wellenlängendarstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die spektrale spezifische Ausstrahlung eines Schwarzen Körpers der Temperatur wird durch das Plancksche Strahlungsgesetz beschrieben und lautet in der Wellenlängendarstellung:

: spektrale spezifische Ausstrahlung in W·m−2m−1
: plancksches Wirkungsquantum in Js
: Lichtgeschwindigkeit in m·s−1
: Boltzmann-Konstante in J·K−1
: absolute Temperatur der Strahlerfläche in K
: betrachtete Wellenlänge in m

Gesucht ist die Wellenlänge , bei welcher diese Funktion das Maximum annimmt. Nullsetzen der Ableitung nach liefert:[1]

.

Die Substitution vereinfacht den Ausdruck zu:[1]

.

Die numerische Lösung ergibt

,[2]

und die Rücksubstitution führt auf das wiensche Verschiebungsgesetz in der Wellenlängendarstellung:

Die Wellenlänge maximaler Strahlungsleistung verschiebt sich also bei einer Temperaturänderung einfach umgekehrt proportional zur absoluten Temperatur des schwarzen Strahlers: Verdoppelt sich die Temperatur des Strahlers, so tritt die größte Strahlungsleistung bei der halben Wellenlänge auf.

Die Konstante wird auch als wiensche Verschiebungskonstante bezeichnet. Ihr Wert beträgt nach derzeitiger Messgenauigkeit:[3]

.

Die spektrale spezifische Ausstrahlung des Maximums ist proportional zu :

.[4]

Maximale Strahlungsleistung in der Frequenzdarstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Frequenzdarstellung ist die spektrale spezifische Ausstrahlung gegeben durch

.

Nullsetzen der Ableitung nach der Frequenz liefert:

.

Die Substitution vereinfacht den Ausdruck zu .

Die numerische Lösung ergibt

[2],

und Rücksubstitution führt auf das wiensche Verschiebungsgesetz in der Frequenzdarstellung:

Die Frequenz maximaler Strahlungsleistung verschiebt sich also proportional zur absoluten Temperatur des Strahlers. Der empfohlene Wert der wienschen Konstanten in der Frequenzdarstellung beträgt:[5]

.

Die spektrale spezifische Ausstrahlung des Maximums ist proportional zu :

.[4]

Maximale Photonenrate in der Wellenlängendarstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die spektrale spezifische Ausstrahlung, ausgedrückt durch die Abstrahlungsrate der Photonen, ist in der Wellenlängendarstellung gegeben durch

.

Nullsetzen der Ableitung nach liefert:

.

Die Substitution vereinfacht den Ausdruck zu .

Die numerische Lösung ergibt

[2],

und Rücksubstitution führt auf das wiensche Verschiebungsgesetz für die Photonenrate in der Wellenlängendarstellung:

Die spektrale Photonenrate des Maximums ist proportional zu .

Maximale Photonenrate in der Frequenzdarstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Frequenzdarstellung ist die spektrale spezifische Ausstrahlung, ausgedrückt durch die Abstrahlungsrate der Photonen, gegeben durch

.
.

Die Substitution vereinfacht den Ausdruck zu .

Die numerische Lösung ergibt

[2],

und Rücksubstitution führt auf das wiensche Verschiebungsgesetz für die Photonenrate in der Frequenzdarstellung:

Die spektrale Photonenrate des Maximums ist proportional zu .

Anwendungsbeispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nimmt man für die Sonne λmax ≈ 500 nm an und betrachtet sie näherungsweise als schwarzen Strahler, so ergibt sich nach dem wienschen Verschiebungsgesetz ihre Oberflächentemperatur zu ca. 5800 K. Die auf diese Weise ermittelte Temperatur heißt wiensche Temperatur. Man vergleiche sie auch mit der über das Stefan-Boltzmann-Gesetz ermittelten Effektivtemperatur von 5777 K. Der Unterschied rührt daher, dass die den beiden Berechnungen zugrunde gelegte Annahme, die Sonne sei ein schwarzer Strahler, zwar in guter Näherung aber nicht perfekt erfüllt ist.

Glühfarben geben Aufschluss über die Temperatur heißer (über ca. 500 °C), glühender Materialien.

Andere Beispiele sind die strahlende Erdoberfläche und die Treibhausgase. Bei den Temperaturen im Bereich von 0 °C liegt das Strahlungsmaximum im infraroten Bereich um 10 μm. Bei den Treibhausgasen kommt dazu, dass sie nur teilweise (selektive) schwarze Körper sind.

Geschichte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die ursprünglich von Wien aufgestellte Fassung des Verschiebungsgesetzes beschrieb die Änderung der gesamten Energieverteilungs-Kurve eines Schwarzen Körpers bei Temperaturänderung, nicht nur die Verschiebung des Strahlungsmaximums.

Aufgrund der experimentellen Untersuchungen von Josef Stefan und der thermodynamischen Herleitung durch Ludwig Boltzmann war bekannt, dass die von einem Schwarzen Körper mit der absoluten Temperatur thermisch emittierte Strahlungsleistung mit der vierten Potenz der Temperatur ansteigt (Hauptartikel: Stefan-Boltzmann-Gesetz). Die Verteilung der Strahlungsenergie auf die verschiedenen ausgesandten Wellenlängen war jedoch noch unbekannt.

Wien konnte aufgrund thermodynamischer Überlegungen ein „Verschiebungsgesetz“ ableiten, welches einen Zusammenhang zwischen den Wellenlängenverteilungen bei verschiedenen Temperaturen herstellte. Damit hätte man – wenn die Gestalt der Energieverteilung für eine gegebene Temperatur bekannt gewesen wäre – durch geeignete Verschiebung und Formänderung der Kurve die gesamte Kurve für jede beliebige andere Temperatur erhalten können:

Wenn die Vertheilung der Energie als Function der Wellenlänge für irgend eine Temperatur gegeben ist, so lässt sie sich jetzt für jede andere Temperatur ableiten. Denken wir uns wieder die als Abscissen, die als Ordinaten aufgetragen. Der Flächeninhalt zwischen der Curve und der Abscissenaxe ist die Gesammtenergie . Man hat nun zunächst jedes so zu verändern, dass constant bleibt. Schneidet man an der Stelle des ursprünglichen ein schmales Stück von der Breite und dem Inhalt aus, so wird nach der Änderung diess Stück sich an die Stelle verschoben haben, aus der Breite ist geworden. Da nun das Energiequantum constant bleiben muss, so ist

.

Nun verändert sich ausserdem mit der Temperatur jedes nach dem Stefan'schen Gesetze im Verhältnis , es wird also die neue Ordinate sein

.

Auf diese Weise erhält man alle Puncte der neuen Energiecurve.[6]

Damit war die reale Wellenlängenverteilung der Schwarzkörper-Strahlung zwar immer noch unbekannt, aber es war eine zusätzliche Bedingung gefunden, welcher sie bei einer Temperaturänderung unterliegen musste. Unter Zuhilfenahme einiger zusätzlicher Annahmen konnte Wien ein Strahlungsgesetz ableiten, welches sich bei Temperaturänderungen in der Tat so verhält wie vom Verschiebungsgesetz gefordert. Der Vergleich mit dem Experiment zeigte jedoch, dass dieses wiensche Strahlungsgesetz im langwelligen Bereich zu niedrige Werte liefert.

Max Planck konnte schließlich durch eine geschickte Interpolation zwischen dem Rayleigh-Jeans-Gesetz (korrekt für große Wellenlängen) und dem wienschen Strahlungsgesetz (korrekt für kleine Wellenlängen) das plancksche Strahlungsgesetz ableiten, das die emittierte Strahlung in allen Wellenlängenbereichen richtig wiedergibt.

Heutzutage spielt das wiensche Verschiebungsgesetz in der ursprünglichen Fassung keine Rolle mehr, weil das plancksche Strahlungsgesetz die spektrale Verteilung bei jeder beliebigen Temperatur korrekt beschreibt und daher keine „Verschiebungen“ auf eine gewünschte Temperatur nötig sind. Lediglich die temperaturbedingte Verschiebung des Strahlungsmaximums, die bereits aus der ursprünglichen Fassung des Verschiebungsgesetzes ableitbar ist, hat unter dem Namen wiensches Verschiebungsgesetz überlebt.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Anmerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Neben der im Artikel der Einfachheit verwendeten vom Strahler insgesamt abgegebenen spektralen Leistungsdichte kann eine solche Kurve beispielsweise auch die spektrale Strahldichte, die spektrale spezifische Ausstrahlung oder die volumenbezogene spektrale Energiedichte darstellen. Die Erläuterungen bezüglich der Lage der Maxima gelten in all diesen Fällen gleichermaßen.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. a b Helmut Kraus: Die Atmosphäre der Erde: Eine Einführung in die Meteorologie. Springer, 2004, ISBN 978-3-540-20656-9, S. 101 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  2. a b c d vgl.:J. B. Tatum: Stellar Atmospheres. Chapter2: Blackbody Radiation. In: On-line lecture notes. S. 5 PDF 217 KB, Abgerufen am 12. Juni 2007.
  3. CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 7. August 2015. Wert für
  4. a b J. B. Tatum: Stellar Atmospheres. Chapter2: Blackbody Radiation. In: On-line lecture notes. S. 6 PDF 217 KB, Abgerufen am 12. Juni 2007.
  5. CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 21. Juni 2011. Wert für in der Einheit Hz pro Kelvin
  6. Willy Wien: Eine neue Beziehung der Strahlung schwarzer Körper zum zweiten Hauptsatz der Wärmetheorie. Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Verl. d. Kgl. Akad. d. Wiss., Berlin 1893, Erster Halbband 1893, S. 55 (Digitalisat)