Schwarzschild-Metrik

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Metriken für schwarze Löcher
statisch rotierend
ungeladen Schwarzschild-Metrik Kerr-Metrik
geladen Reissner-Nordström-Metrik Kerr-Newman-Metrik
: elektrische Ladung; : Drehimpuls

Die Schwarzschild-Metrik (auch: Schwarzschild-Lösung) bezeichnet, speziell im Rahmen der allgemeinen Relativitätstheorie, eine Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen, die das Gravitationsfeld einer homogenen, nicht geladenen und nicht rotierenden Kugel beschreibt.

Die äußere Schwarzschild-Lösung ist die statische Vakuumlösung der Feldgleichungen für den Außenraum einer kugelsymmetrischen Materieverteilung.[1] Sie gilt auch für dynamische Massenverteilungen, sofern sich die Massen nur radial bewegen und die Kugelsymmetrie erhalten bleibt.[2] Sie wurde 1916 von dem deutschen Astronomen und Physiker Karl Schwarzschild gefunden (und unabhängig von Johannes Droste) und war die erste bekannte exakte Lösung der einsteinschen Feldgleichungen.

Eine zweite, die innere Schwarzschild-Lösung, beschreibt die Metrik einer homogen gedachten Flüssigkeitskugel. Die Integration der Feldgleichungen reduziert sich auf die einfache lineare Summation eines Potentials (von bis für einen Körper mit Radius ). Für die Zusammengehörigkeit beider Lösungen ist Voraussetzung, dass an der Grenzfläche die Metrik und ihre ersten Ableitungen jeweils übereinstimmen.

Das vollständige Schwarzschild-Modell besteht aus der inneren und der äußeren Lösung und beschreibt als einfachste Näherungslösung diverse astronomische Objekte wie Dunkelwolken oder Neutronensterne, lässt aber keine Spekulationen über Singularitäten wie Schwarze Löcher zu.

Äußere Lösung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Linienelement[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die einsteinschen Feldgleichungen setzen die Geometrie des Raumes, beschrieben durch den metrischen Tensor , mit Hilfe der einsteinschen Gravitationskonstante in Beziehung zum Energie-Impuls-Tensor. Unter den in diesem Fall geltenden Randbedingungen sind die Feldgleichungen elementar integrierbar und es ergibt sich als Linienelement in Kugelkoordinaten:

.

ist dabei der Schwarzschild-Radius . Diese Koordinaten bezeichnet man als Schwarzschild-Koordinaten. Die Vorzeichen entsprechen der hier verwendeten Raum-Zeit-Signatur . Im Unterschied zu Kugelkoordinaten in einem euklidischen Raum tragen hier die Differentialelemente und Vorfaktoren, die von abhängig sind. Als Folge dessen beträgt in diesem System die physikalische Distanz zwischen und nicht sondern

.

Der Raum um eine Masse ist daher nicht euklidsch, sodass eine Kugelschale gegebenen Umfangs in Anwesenheit einer zentralen Masse ein höheres Volumen aufweist als in Abwesenheit der Masse.

In einem natürlichen Einheitensystem mit wird das Linienelement zu

.

Die Ausdrücke vor den Koordinatendifferenzialen sind die Komponenten des zweistufigen metrischen Tensors in Schwarzschild-Koordinaten. entspricht bis auf konstante Faktoren der gravitierenden Zentralmasse.

Geometrische Deutung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Linienelement kann auf zwei Arten interpretiert werden:

Mathematischer Plot eines Schwarzschild-Wurmlochs.

1. Deutet man die radiale Koordinatenlinie als real begehbaren Weg, so stellt der im Linienelement enthaltene metrische Tensor ein Spin-2-Feld dar. Dass dieses Feld Gleichungen gehorcht, die sich aus der Riemannschen Geometrie herleiten lassen, wird in diesem Fall nur als beiläufig erachtet.

Die beim Schwarzschild-Radius befindliche Grenzfläche nennt man den Ereignishorizont, wobei letzterer Begriff auch als Synonym für den Schwarzschild-Radius verwendet wird. An dieser Stelle besitzt der radiale Teil der Metrik eine Koordinatensingularität, ein Artefakt der Schwarzschild-Koordinaten. Durch Wahl geeigneter Koordinaten, wie der Kruskal-Szekeres-Koordinaten, kann dieses Problem beseitigt werden. Innerhalb des Schwarzschild-Radius vertauschen Raum- und Zeitkoordinate ihre Bedeutung, da das radiale Linienelement zeitartig und das vormals zeitartige Linienelement raumartig wird. Eine Bewegung durch den Raum wird eine Bewegung durch die Zeit und umgekehrt.

Ein Ereignishorizont existiert erst, wenn sich eine große Masse, wie etwa der Kern eines schweren Sterns, auf einen Bereich innerhalb ihres Schwarzschild-Radius zusammengezogen hat – Masse außerhalb eines Radius von ist irrelevant. Solch ein Objekt wird als Schwarzes Loch bezeichnet, wobei dieses bei nun eine physikalische Singularität enthält.

Die Kruskal-Szekeres-Koordinaten enthalten Lösungen für eine mögliche Verknüpfung zu einem weißen Loch, aus welchem Materie aus- aber nicht eindringen kann. Verbindungen dieser Art heißen Wurmlöcher und der Übergang von einem schwarzen- zu einem weißen Loch die Einstein-Rosen-Brücke. Das Schwarzschild-Wurmloch ist zwar eine mathematische Lösung der Einsteingleichungen, kann jedoch nicht existieren, da die Verbindung zu keinem Zeitpunkt geschaffen wird. Selbst im Falle einer offenen Verbindung kollabiert diese bei Annäherung an die Singularität. Stabil wäre sie nur unter Verwendung einer spekulativen, negativen Energiedichte.

Äußere Schwarzschild-Lösung (Flamm'sches Paraboloid)

2. Die andere Interpretation, die der Veranschaulichung der räumlichen Krümmung in der Schwarzschildlösung dient, lehnt sich an die ursprüngliche Konzeption Einsteins an, Gravitation als Krümmung der Raumzeit zu verstehen. Die Krümmungen der Raumzeit bestimmen dabei die Gravitationswirkungen. Um die Krümmung zu veranschaulichen, kann man sich die Raumzeit in einen höherdimensionalen Raum einbetten. Für den Raumteil des Schwarzschild-Modells lässt sich die dahinterliegende Geometrie recht einfach offenlegen. Das radiale Linienelement ist ein Element auf der Parabel wobei die zusätzliche Dimension im Einbettungsraum bezeichnet.

Betrachtet wird ein Schnitt bei (und damit ) und und die Metrik in den verbliebenen räumlichen Koordinaten:

Ein Vergleich der Koeffizienten ergibt

und damit die oben angegebene Parabelgleichung.

An liegt die Leitlinie der Parabel und an ihr Scheitel. Rotiert man den oberen Ast der Parabel um die Leitlinie durch den Winkel erhält man unter Weglassung der dritten Raumdimension eine Fläche 2. Ordnung, das Flammsche Paraboloid.

Die Koordinate ist im Rahmen dieser Betrachtung kein begehbarer Weg, sondern eine Hilfsvariable. Innerhalb des Schwarzschild-Radius kann dieses Modell keine Aussagen machen, die Variable hat den Wertebereich Das am Flammschen Paraboloid entstehende „Loch“ für wird mit einer weiteren Fläche überdeckt, die aus der inneren Schwarzschildschen Lösung hergeleitet werden kann.

Christoffel-Symbole[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In Schwarzschild-Koordinaten und natürlichen Einheiten sind die von Null verschiedenen Christoffel-Symbole:[3]

Bewegungsgleichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Animation der Bewegung eines Testpartikels. Links: Newton, rechts: Schwarzschild

Mithilfe der Geodätengleichung erhält man die Bewegungsgleichungen[4] eines Teilchens in der Nähe des stellaren Objekts. In Schwarzschildkoordinaten mit den Einheiten bekommt man für Bewegungen in der -Ebene die Gleichung

für die radiale und

für die Winkelbeschleunigung, wobei die Punkte für die Ableitung nach der Eigenzeit stehen. Diese Bewegungsgleichungen in Eigenzeit unterscheiden von den klassischen Gleichungen nach Newton nur durch den Term auf der rechten Seite der radialen Gleichung. Die Ableitung der Koordinatenzeit nach der Eigenzeit beträgt

wobei die lokale Eigengeschwindigkeit (relativ zur zentralen Masse) und die Koordinatengeschwindigkeit im Verhältnis

für die transversale und

für die radiale Komponente der Bewegung relativ zum Massenzentrum stehen. Die shapiroverzögerte Geschwindigkeit im System des stationären Koordinatenbuchhalters erhält man mit

und

Bei der radialen Komponente entfällt die Wurzel da zusätzlich zur gravitativen Zeitdilatation noch eine radiale Längenkontraktion von ebenfalls auftritt.

Innere Lösung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Linienelement[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für ein statisches, ideales Fluid mit konstanter Dichte im inneren Bereich des stellaren Objekts, erhält man für das Linienelement[5]

eine strenge Lösung der Einstein'schen Feldgleichungen. ist der Wert der radialen Variable an der Grenzfläche der inneren Lösung und der äußeren Lösung, somit der Wert an der Oberfläche des stellaren Objekts.

Durch die Substitution lässt sich das Linienelement in der Form[6][7]

schreiben.

Geometrische Deutung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die von Einstein in die Gravitationsphysik eingeführten geometrischen Methoden legen es nahe, auch das obige Linienelement geometrisch zu deuten. Durch die Koordinatentransformation

erhält man

.

Dadurch wird ersichtlich, dass der Raumteil der Metrik das Linienelement auf einer dreidimensionalen Kugelhaube im vierdimensionalen ebenen Raum mit dem Radius und mit dem Öffnungswinkel ist.

Vollständige Schwarzschild-Lösung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Um zu einer Vorstellung zu kommen, wie sich die vollständige Schwarzschildsche Lösung mit Hilfe einer Extradimension in einem ebenen Raum einbetten lässt, beschränkt man sich zunächst auf die ersten zwei Terme der Linienelemente. Die äußere Lösung wird durch das Flammsche Paraboloid visualisiert. Diese Fläche wird an geeigneter Stelle abgeschnitten und von unten her eine Kugelhaube so angepasst, dass die Tangentialflächen beider Schwarzschild-Flächen zusammenfallen.

Vollständige Schwarzschildsche Lösung

Hinzunahme des dritten Terms in der Metrik bringt eine Wiederholung dieser Überlegung für eine weitere Teilfläche. Der Zeitteil der Metrik ist nur dann verständlich, wenn man den darin enthaltenen Faktor 3 auf eine Grundeigenschaft der Parabel als bestimmende Kurve der äußeren Lösung zurückführt. Verlängert man den Krümmungsvektor der Parabel bis zu ihrer Leitlinie, so haben die Abschnitte der entstehenden Strecke das Verhältnis 1:2. Da an der Grenzfläche der Abstand der Parabel zur Leitlinie ist, hat der Krümmungsvektor dort die Länge und die ganze Strecke . Die Projektion in die Richtung der Extradimension ist . Der Radiusvektor zu einem beliebigen Punkt auf der Kugelhaube hat die Projektion . Die beiden Stecken werden um den imaginären Winkel rotiert. Es entstehen zwei konzentrische imaginäre (offene) Kreise, deren pseudoreelles Abbild Hyperbeln sind. (Imaginäre Kreise werden auch Hyperbeln konstanter Krümmung genannt.) Der Abstand der Kreise entspricht dem Klammerausdruck in der obigen Metrik. Beim Fortschreiten auf den Kreisen um überstreicht diese Strecke eine Fläche, die proportional zur vergangenen Zeit ist.

Querschnitt durch die Kugelhaube und das Flamm'sche Paraboloid

Erhaltungssatz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Energie-Impulstensor des idealen, statischen Fluids hat in kartesischen Koordinaten die Form

.

Der hydrostatische Druck

nimmt nach innen zu, was der Anziehung der Flüssigkeitskugel auf ihre äußeren Teile entspricht. Ein Blick auf den Nenner der Druckfunktion zeigt, dass bei zu großem Grenzwinkel der Druck unendlich wird, bzw. das Vorzeichen wechselt und nach außen gerichtet ist. Dadurch geht die Stabilität des Himmelskörpers verloren. Andererseits hat die Druckfunktion eine so steile Flanke, dass man durch die innere Schwarzschild-Lösung auch exotische Objekte beschreiben kann, deren innerer Druck so hoch ist, dass die atomare oder sogar die elementare Struktur der Materie zusammenbricht. Keinesfalls kann jedoch an den Ereignishorizont eine Halbkugel angepasst werden. Im Rahmen der vollständigen Schwarzschild-Lösung können daher keine schwarzen Löcher beschrieben werden.

Die Energiedichte

entspricht bis auf den Faktor der Materiedichte und ist konstant, was die Inkompressibilität der Flüssigkeit zum Ausdruck bringt. Mit der Kontinuitätsgleichung

wobei für die kovariante Ableitung steht, lässt sich zeigen, dass Druck und Energiedichte kovariant erhalten sind. Aus dem Aufbau von erhält man

.

Die Druckzunahme nach innen ist durch die Schwerewirkung des Gravitationsfeldes

bestimmt. Druck und Energiedichte sind zeitlich konstant. Die innere Schwarzschild-Lösung ist daher ein Versuch der Geometrisierung der Materie.

Koordinatensysteme[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Linienelement in einer Schwarzschild-Karte für eine statische, kugelsymmetrische Raumzeit hat allgemein die Form

und das für eine isotrope Karte einer statischen, kugelsymmetrischen Raumzeit

mit dem Raumwinkelelement und den Koordinaten

Dabei sind und beliebige Funktionen der radialen Koordinate . Neben den Schwarzschild-Koordinaten gibt es daher eine Reihe weiterer Koordinatensysteme, die bei der Untersuchung unterschiedlicher Aspekte der Schwarzschild-Lösung vorteilhaft sind.

Koordinaten Linienelement Bemerkung Eigenschaften
Schwarzschild Flächen mit konstanter Zeit und Radius sind Kugeln (passende Krümmung und Fläche)
Eddington–Finkelstein
(einlaufend)
regulär bei ,
in die Zukunft erweitert
Eddington–Finkelstein
(auslaufend)
regulär bei ,
in die Vergangenheit erweitert
Gullstrand–Painlevé regulär bei
Isotrop
(Kugel)
Lichtkegel für Ebenen konstanter Zeit sind isotrop
Isotrop
(Kartesisch)
Lichtkegel für Ebenen konstanter Zeit sind isotrop
Kruskal-Szekeres regulär bei ,
auf die gesamte Raumzeit erweitert
Lemaître regulär bei

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die äußere Schwarzschild-Metrik beschreibt in guter Näherung das Gravitationsfeld eines stellaren Objekts. Auf unser Sonnensystem angewendet, stimmen die so berechneten Werte für die Ablenkung des Lichts an der Sonne mit den Beobachtungen überein. Auch die Abweichung der Periheldrehung Merkurs von dem mit der klassischen Mechanik ermittelten Wert[8] lässt sich mithilfe der Schwarzschildmetrik erklären. Für die Physik innerhalb und außerhalb von Sternen verwendet man das vollständige Schwarzschild-Modell mit der inneren Schwarzschild-Lösung für den Bereich innerhalb des Sterns.

Verallgemeinerungen zu anderen Metriken[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Schwarzschild-Metrik lässt sich durch Hinzunahme weiterer Phänomene wie elektrischer Ladung, Drehimpuls oder Extradimensionen verallgemeinern.

Eine exakte Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen für die Hinzunahme von Drehimpuls ist die Kerr-Metrik, die eine Vakuumlösung rotierender, aber ungeladener schwarzer Löcher darstellt. Betrachtet man weiterhin statische (verschwindender Drehimpuls), aber elektrisch geladene schwarze Löcher, erhält man als exakte Lösung die Reissner-Nordström-Metrik. Die Kerr-Newman-Metrik ist eine exakte Lösung für sowohl rotierende als auch elektrisch geladene schwarze Löcher in vier Dimensionen.

Die einfachste exakte Lösung Schwarzschild-artiger schwarzer Löcher in (räumlichen) Extradimensionen (sodass insgesamt Dimensionen verwendet werden) ist die Schwarzschild-Tangherlini-Metrik. Sie stellt ebenfalls die Lösung des elektrisch neutralen, statischen Problems dar.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Originalarbeiten
Weiterführende Literatur

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Torsten Fließbach: Allgemeine Relativitätstheorie. 7. Auflage. Springer Spektrum, 2016, ISBN 978-3-662-53105-1.
  2. U. E. Schröder: Gravitation. Einführung in die Allgemeine Relativitätstheorie. 4. Auflage. Harri Deutsch, 2007, ISBN 978-3-8171-1798-7, S. 103.
  3. Sean Carroll: Lecture Notes on General Relativity, Kapitel 7, Gleichung 7.33
  4. Cole Miller for the Department of Astronomy, University of Maryland: ASTR 498, High Energy Astrophysics
  5. Mike Georg Berhardt: Relativistische Sterne, Seite 22, Gleichung 2.58
  6. Torsten Fließbach: Allgemeine Relativitätstheorie. S. 238, 4. Auflage, Spektrum Akademischer Verlag, 2003, ISBN 3-8274-1356-7.
  7. Mei Xiaochun: The Precise Inner Solutions of Gravity field Equations of Hollow and Solid Spheres and the Theorem of Singularity. doi:10.4236/ijaa.2011.13016.
  8. Jose Wudka: Precession of the perihelion of Mercury