Benutzer:Pingpong128/Konjugierte

Die Legendre-Fenchel Transformation (auch: konjugierte, Fenchel-konjugierte, konjugiert konvexe Funktion) beschreibt einen geometrischen Zusammenhang zwischen einer Funktion und den Stützhyperebenen ihres Epigraphen. Die Konjugierte ist besonders in der Optimierung nützlich, wo mit ihrer Hilfe ein Optimierungsproblem in das entsprechende Duale Problem transformiert wird, welches oft einfacher zu lösen ist als das originale Problem. Die konjugiert konvexe Funktion wird daher oft als duale Funktion bezeichnet.

Definition

Sei $f:C\to \mathbb {R} \cup \{-\infty ,\infty \},\ C\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine Funktion. Die Legendre-Fenchel Transformation (konjugierte, Fenchel-konjugierte, konjugiert konvexe) von $f$ ist definiert als

$f^{*}:C^{*}\to \mathbb {R} \cup \{-\infty ,\infty \}:x^{*}\mapsto \sup _{x\in C}\left\{\langle x,x^{*}\rangle -f(x)\right\}$,

wobei $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ die Duale Paarung bezeichnet und $C^{*}$ der Dualraum von $C$ ist. Im Standard-Vektorraum $\mathbb {R} ^{n}$ ist die duale Paarung einfach das Standardskalarprodukt. $x\in C$ wird oft als primale Variable bezeichnet, $x^{*}\in C^{*}$ heißt entsprechend duale Variable. Die konjugiert konvexe Funktion kodiert die Konvexe Hülle des Epigraph von $f$ als Schnittmenge aller Halbräume, welche $\operatorname {epi} f$ enthalten. Für einen gegeben Wert $x^{*}\in C^{*}$ ist $\langle x,x^{*}\rangle -f^{*}(x^{*})$die Stützhyperebene an $\operatorname {epi} f$ mit Normalvektor $x^{*}$.

Die bikonjugierte von $f$ ist $f^{**}=(f^{*})^{*}$.

Eigenschaften

• Die konjugierte $f^{*}$ ist als Supremum von affinen Funktionen gegeben. Daher ist $f^{*}$ immer konvex, selbst wenn $f$ nicht konvex ist.
• Aus der Fenchel-Young Ungleichung $f(x)+f^{*}(x^{*})\geq \langle x,x^{*}\rangle \quad \forall x\in C,\ \forall x^{*}\in C^{*}$ folgt $f^{**}\leq f$, die bikonjugierte ist die konvexe Hülle von $f$.
• Ist $f$ konvex, so gilt die Identität $f^{**}=f$.