Benutzer:Reseka/Wechselstromleistung

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Die Analyse der momentanen Wechselstromleistung $p(t)=u(t)\cdot i(t)$ an einem linearen Zweipol erfolgt dadurch, dass man die Spannung oder den Strom in zwei Komponenten so zerlegt, dass eine Komponente mit dem Strom bzw. der Spannung in Phase ist und die andere um $90^{\circ }$ phasenverschoben. Zu dieser orthogonalen Zerlegung motiviert ein Diagramm der ruhenden Zeiger von Spannung und Strom mit einem orthogonal zerlegten Signal. Diese Zerlegung geschieht einfach durch Separation der Phasenverschiebung $\varphi _{u}-\varphi _{i}$ und Anwendung eines Additionstheorems für die Winkelfunktionen. Da die Signale als Kosinus oder Sinus geschrieben werden können, gibt es also insgesamt vier Möglichkeiten. Diese tauchen je nach Autor alle irgendwo in der Literatur auf.

Vier oder fünf Varianten

Bei Verwendung der Kosinusfunktion

$p(t)=u(t)\cdot i(t)={\hat {u}}\cdot \cos(\omega t+\varphi _{u})\cdot {\hat {i}}\cdot \cos(\omega t+\varphi _{i})$

zerlegt man entweder die Spannung oder den Strom unter Verwendung des Additionstheorems $\cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta$ in zwei orthogonale Schwingungen und multipliziert aus:

${\begin{aligned}p(t)&={\hat {u}}\cdot \cos(\omega t+\varphi _{i}+(\varphi _{u}-\varphi _{i}))\cdot {\hat {i}}\cdot \cos(\omega t+\varphi _{i})\\&={\hat {u}}\cdot \left(\cos(\varphi _{u}-\varphi _{i})\cdot \cos(\omega t+\varphi _{i})-\sin(\varphi _{u}-\varphi _{i})\cdot \sin(\omega t+\varphi _{i})\right)\cdot {\hat {i}}\cdot \cos(\omega t+\varphi _{i})\\&={\hat {u}}\cdot {\hat {i}}\cdot \cos(\varphi _{u}-\varphi _{i})\cdot \cos ^{2}(\omega t+\varphi _{i})-{\hat {u}}\cdot {\hat {i}}\cdot \sin(\varphi _{u}-\varphi _{i})\cdot \sin(\omega t+\varphi _{i})\cdot \cos(\omega t+\varphi _{i})\\&={\frac {{\hat {u}}\cdot {\hat {i}}}{2}}\cdot \cos(\varphi _{u}-\varphi _{i})\cdot \left(1+\cos 2(\omega t+\varphi _{i})\right)-{\frac {{\hat {u}}\cdot {\hat {i}}}{2}}\cdot \sin(\varphi _{u}-\varphi _{i})\cdot \sin 2(\omega t+\varphi _{i})\end{aligned}}$

bzw.

${\begin{aligned}p(t)&={\hat {u}}\cdot \cos(\omega t+\varphi _{u})\cdot {\hat {i}}\cdot \cos(\omega t+\varphi _{u}-(\varphi _{u}-\varphi _{i}))\\&={\hat {u}}\cdot \cos(\omega t+\varphi _{u})\cdot {\hat {i}}\cdot \left(\cos(\varphi _{u}-\varphi _{i})\cdot \cos(\omega t+\varphi _{u})+\sin(\varphi _{u}-\varphi _{i})\cdot \sin(\omega t+\varphi _{u})\right)\\&={\hat {u}}\cdot {\hat {i}}\cdot \cos(\varphi _{u}-\varphi _{i})\cdot \cos ^{2}(\omega t+\varphi _{u})+{\hat {u}}\cdot {\hat {i}}\cdot \sin(\varphi _{u}-\varphi _{i})\cdot \sin(\omega t+\varphi _{u})\cdot \cos(\omega t+\varphi _{u})\\&={\frac {{\hat {u}}\cdot {\hat {i}}}{2}}\cdot \cos(\varphi _{u}-\varphi _{i})\cdot \left(1+\cos 2(\omega t+\varphi _{u})\right)+{\frac {{\hat {u}}\cdot {\hat {i}}}{2}}\cdot \sin(\varphi _{u}-\varphi _{i})\cdot \sin 2(\omega t+\varphi _{u})\end{aligned}}$

Bei Verwendung der Sinusfunktion

$p(t)=u(t)\cdot i(t)={\hat {u}}\cdot \sin(\omega t+\varphi _{u})\cdot {\hat {i}}\cdot \sin(\omega t+\varphi _{i})$

zerlegt man entweder die Spannung oder den Strom unter Verwendung des Additionstheorems $\sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cdot \cos \beta +\cos \alpha \cdot \sin \beta$ in zwei orthogonale Schwingungen und multipliziert aus:

${\begin{aligned}p(t)&={\hat {u}}\cdot \sin(\omega t+\varphi _{i}+(\varphi _{u}-\varphi _{i}))\cdot {\hat {i}}\cdot \sin(\omega t+\varphi _{i})\\&={\hat {u}}\cdot \left(\cos(\varphi _{u}-\varphi _{i})\cdot \sin(\omega t+\varphi _{i})+\sin(\varphi _{u}-\varphi _{i})\cdot \cos(\omega t+\varphi _{i})\right)\cdot {\hat {i}}\cdot \sin(\omega t+\varphi _{i})\\&={\hat {u}}\cdot {\hat {i}}\cdot \cos(\varphi _{u}-\varphi _{i})\cdot \sin ^{2}(\omega t+\varphi _{i})+{\hat {u}}\cdot {\hat {i}}\cdot \sin(\varphi _{u}-\varphi _{i})\cdot \cos(\omega t+\varphi _{i})\cdot \sin(\omega t+\varphi _{i})\\&={\frac {{\hat {u}}\cdot {\hat {i}}}{2}}\cdot \cos(\varphi _{u}-\varphi _{i})\cdot \left(1-\cos 2(\omega t+\varphi _{i})\right)+{\frac {{\hat {u}}\cdot {\hat {i}}}{2}}\cdot \sin(\varphi _{u}-\varphi _{i})\cdot \sin 2(\omega t+\varphi _{i})\end{aligned}}$

bzw.

${\begin{aligned}p(t)&={\hat {u}}\cdot \sin(\omega t+\varphi _{u})\cdot {\hat {i}}\cdot \sin(\omega t+\varphi _{u}-(\varphi _{u}-\varphi _{i}))\\&={\hat {u}}\cdot \sin(\omega t+\varphi _{u})\cdot {\hat {i}}\cdot \left(\cos(\varphi _{u}-\varphi _{i})\cdot \sin(\omega t+\varphi _{u})-\sin(\varphi _{u}-\varphi _{i})\cdot \cos(\omega t+\varphi _{u})\right)\\&={\hat {u}}\cdot {\hat {i}}\cdot \cos(\varphi _{u}-\varphi _{i})\cdot \sin ^{2}(\omega t+\varphi _{u})-{\hat {u}}\cdot {\hat {i}}\cdot \sin(\varphi _{u}-\varphi _{i})\cdot \sin(\omega t+\varphi _{u})\cdot \cos(\omega t+\varphi _{u})\\&={\frac {{\hat {u}}\cdot {\hat {i}}}{2}}\cdot \cos(\varphi _{u}-\varphi _{i})\cdot \left(1-\cos 2(\omega t+\varphi _{u})\right)-{\frac {{\hat {u}}\cdot {\hat {i}}}{2}}\cdot \sin(\varphi _{u}-\varphi _{i})\cdot \sin 2(\omega t+\varphi _{u})\end{aligned}}$

Besonders einfach und didaktisch übersichtlich wird die Zerlegung der zweiten Variante, wenn man $\varphi _{u}=0$ und damit $\varphi =-\varphi _{i}$ setzt:

${\begin{aligned}p(t)&={\hat {u}}\cdot \cos \omega t\cdot {\hat {i}}\cdot \cos(\omega t-\varphi )\\&={\hat {u}}\cdot \cos \omega t\cdot {\hat {i}}\cdot \left(\cos \varphi \cdot \cos \omega t+\sin \varphi \cdot \sin \omega t\right)\\&={\hat {u}}\cdot {\hat {i}}\cdot \cos \varphi \cdot \cos ^{2}\omega t+{\hat {u}}\cdot {\hat {i}}\cdot \sin \varphi \cdot \sin \omega t\cdot \cos \omega t\\&={\frac {{\hat {u}}\cdot {\hat {i}}}{2}}\cdot \cos \varphi \cdot \left(1+\cos 2\omega t\right)+{\frac {{\hat {u}}\cdot {\hat {i}}}{2}}\cdot \sin \varphi \cdot \sin 2\omega t\end{aligned}}$

Abkürzungen

Jetzt definiert man – vorerst als Abkürzungen – die Kenngrößen

$\varphi =\varphi _{u}-\varphi _{i}$

$S={\frac {{\hat {u}}\cdot {\hat {i}}}{2}}$

$P=S\cdot \cos \varphi$

$Q=S\cdot \sin \varphi$

und erhält für die zerlegte Momentanleistung

$p(t)=P\cdot \left(1+\cos 2(\omega t+\varphi _{i})\right)-Q\cdot \sin 2(\omega t+\varphi _{i})$

bzw.

$p(t)=P\cdot \left(1+\cos 2(\omega t+\varphi _{u})\right)+Q\cdot \sin 2(\omega t+\varphi _{u})$

bzw.

$p(t)=P\cdot \left(1-\cos 2(\omega t+\varphi _{i})\right)+Q\cdot \sin 2(\omega t+\varphi _{i})$

bzw.

$p(t)=P\cdot \left(1-\cos 2(\omega t+\varphi _{u})\right)-Q\cdot \sin 2(\omega t+\varphi _{u})$

Die einfache Variante mit $\varphi _{u}=0$ und $\varphi =-\varphi _{i}$ wird besonders kurz:

$p(t)=P\cdot \left(1+\cos 2\omega t\right)+Q\cdot \sin 2\omega t$

Interpretation der Zerlegung

Momentane Leistung $p(t)$ (Kurve 1) als Überlagerung von Blindleistung erzeugender Schwingung (Kurve 2) und Wirkleistung erzeugender Schwingung (Kurve 3)

Erst jetzt kann man die Zerlegung und die drei Leistungskennwerte (beispielsweise grafisch) interpretieren:

1. Die Summe beider Komponenten $p(t)$ ist die gesamte Momentanleistung (im Diagramm als Kurve 1 gekennzeichnet). Sie schwingt mit der doppelten Grundfrequenz um ihren Mittelwert, der gleich der Wirkleistung $P$ ist, und besitzt eine Amplitude in der Größe der Scheinleistung $S$.
2. Die rechte Komponente der Momentanleistung (im Diagramm als Kurve 2 gekennzeichnet) ist ebenfalls mit der doppelten Grundfrequenz alternierend. Ihr zeitlicher Mittelwert ist gleich $0$ und ihre vorzeichenbehaftete Amplitude gleich der (Verschiebungs-) Blindleistung $Q$. Die durch diese Leistung repräsentierte Energie fließt also „immer abwechselnd in gleicher Menge“ zwischen Generator- und Lastzweipol in beiden Richtungen hin und her und kann deshalb im zeitlichen Mittel keine Wirkung ausüben. Die (Verschiebungs-) Blindleistung ist also die vorzeichenbehaftete Amplitude der Komponente der Momentanleistung, die im Mittel keine Energie transportiert und damit keine Wirkung vollbringt. Positive (Verschiebungs-) Blindleistung wird im Allgemeinen von Induktivitäten, negative (Verschiebungs-) Blindleistung von Kapazitäten hervorgerufen.
3. Die linke Komponente der Momentanleistung (im Diagramm als Kurve 3 gekennzeichnet) besteht aus Schwingungen mit der doppelten Grundfrequenz, welche von $0$ bis $2\;P$ ansteigen und damit die doppelte Höhe der Wirkleistung haben, wobei ihr zeitlicher Mittelwert (im Diagramm gestrichelt gezeichnet) ebenfalls gleich $P$ ist. Die durch diese Leistung repräsentierte Energie fließt also immer in der gleichen Richtung und kann deshalb (im zeitlichen Mittel) eine „tatsächliche Wirkung“ im Lastzweipol (z. B. Erwärmung oder mechanische Arbeit) ausüben. Die Wirkleistung $P$ ist also die vorzeichenbehaftete Amplitude der „tatsächlich wirkenden“ Komponente der Momentanleistung und gleichzeitig ihr zeitlicher Mittelwert ${\overline {p(t)}}=P$. Da die Wirkleistung um $\cos \varphi$ gegenüber der Scheinleistung geringer ist, nennt man $\cos \varphi$ den Leistungsfaktor (manchmal auch Wirkfaktor). Eine negative Wirkleistung deutet auf einen „rückwärtigen Energietransport“ hin, d. h. der Zweipol wirkt als Generator.