Benutzer:Tobi2517779/Spielwiese

Ebene	Spielklasse
6	Verbandsliga Württemberg
7	Landesliga Württemberg Staffel 1				Landesliga Württemberg Staffel 2				Landesliga Württemberg Staffel 3				Landesliga Württemberg Staffel 4
8	Bezirksliga Enz/Murr	Bezirksliga Hohenlohe	Bezirksliga Rems/Murr	Bezirksliga Unterland	Bezirksliga Donau/Iller	Bezirksliga Ostwürt- temberg	Bezirksliga Neckar/Fils	Bezirksliga Stuttgart	Bezirksliga Alb	Bezirksliga Böblingen/ Calw	Bezirksliga Nördlicher Schwarzwald	Bezirksliga Schwarzwald	Bezirksliga Bodensee	Bezirksliga Donau	Bezirksliga Riß	Bezirksliga Zollern
9	Kreisliga A Enz/Murr (3 Staffeln)	Kreisliga A Hohenlohe (3 Staffeln, 3 Reserven)	Kreisliga A Rems/Murr (2 Staffeln)	Kreisliga A Unterland (3 Staffeln, 2 Reserven)	Kreisliga A Donau/Iller (3 Staffeln, 3 Reserven)	Kreisliga A Ostwürt- temberg (3 Staffeln, 2 Reserven)	Kreisliga A Neckar/Fils (3 Staffeln)	Kreisliga A Stuttgart (2 Staffeln)	Kreisliga A Alb (3 Staffeln)	Kreisliga A Böblingen/ Calw (2 Staffeln)	Kreisliga A Nördlicher Schwarzwald (2 Staffeln, 2 Reserven)	Kreisliga A Schwarzwald (2 Staffeln)	Kreisliga A Bodensee (3 Staffeln)	Kreisliga A Donau (2 Staffeln, 2 Reserven)	Kreisliga A Riß (2 Staffeln, 2 Reserven)	Kreisliga A Zollern (2 Staffeln)
10	Kreisliga B Enz/Murr (9 Staffeln)	Kreisliga B Hohenlohe (4 Staffeln, 3 Reserven)	Kreisliga B Rems/Murr (5 Staffeln)	Kreisliga B Unterland (4 Staffeln)	Kreisliga B Donau/Iller (4 Staffeln, 3 Reserven)	Kreisliga B Ostwürt- temberg (4 Staffeln, 4 Reserven)	Kreisliga B Neckar/Fils (8 Staffeln, 1 Reserve)	Kreisliga B Stuttgart (5 Staffeln)	Kreisliga B Alb (7 Staffeln)	Kreisliga B Böblingen/ Calw (6 Staffeln, 3 Reserven)	Kreisliga B Nördlicher Schwarzwald (2 Staffeln, 1 Reserve)	Kreisliga B Schwarzwald (2 Staffeln)	Kreisliga B Bodensee (6 Staffeln, 2 Reserven)	Kreisliga B Donau (3 Staffeln, 2 Reserven)	Kreisliga B Riß (2 Staffeln, 1 Reserve)	Kreisliga B Zollern (2 Staffeln)
11												Kreisliga C Schwarzwald (3 Staffeln)

Zerlegung in quadratische Faktoren

Zunächst versucht man, die Gleichung als Differenz zweier vollständiger Quadrate zu schreiben. Dazu wird die zweite Ableitung zur Hilfe genommen und es werden komplexe Parameter $w,y,z$ eingeführt. Die Darstellung als Differenz führt dann direkt zu einer Faktorisierung in quadratische Faktoren mit komplexen Koeffizienten,

${\begin{array}{rcl}p(x)&=&Ax^{4}+Bx^{3}+Cx^{2}+Dx+E\\&=&{\frac {1}{144A}}\left[(p''(x)+y)^{2}-(wx+z)^{2}\right]\\&=&{\frac {1}{144A}}\left[(p''(x)+y)^{2}-(w^{2}x^{2}+2wzx+z^{2})\right].\end{array}}$

Mit $a=36B^{2}-96AC$, $b=24BC-144AD$ und $c=4C^{2}-144AE$ haben wir

$144Ap(x)=(p''(x)+y)^{2}-[(a+24Ay)\,x^{2}+(b+12By)\,x+c+4Cy+y^{2}].$

Durch Vergleich ergibt sich $w^{2}=a+24Ay$ und $z^{2}=c+4Cy+y^{2}$, sowie $2wz=b+12By$ .

Damit der zweite Teil der Differenz ein vollständiges Quadrat in $x$ ist, muss die Diskriminante dieses quadratischen Terms verschwinden, das heißt

$0=4\,(a+24Ay)(c+4Cy+y^{2})-(b+12By)^{2}$.

Dies ist eine kubische Gleichung in $y$. Da der Koeffizient von $y^{2}$ verschwindet, lässt sich die Gleichung zu

${\begin{array}{rcl}0&=&y^{3}+{\frac {12Ac+2aC-3bB}{12A}}y+{\frac {4ac-b^{2}}{96A}}\\&=&y^{3}+(36BD-144AE-12C^{2})y+{\frac {4ac-b^{2}}{96A}}.\end{array}}$

vereinfachen. Aus einer der Lösungen für $y$ ergeben sich zwei quadratische Gleichungen in $x$, die zu insgesamt vier Lösungen für $x$ führen.

Zusammenfassung

Zunächst wird geprüft, ob die erste Ableitung an der Stelle $x=-{\frac {B}{4A}}$ verschwindet, das heißt

$p'\!\left(-{\frac {B}{4A}}\right)={\frac {B^{3}}{8A^{2}}}-{\frac {BC}{2A}}+D=0$.

Spezialfall

Gilt $p'\!\left(-{\frac {B}{4A}}\right)=0$, haben wir

$y=-{\frac {a}{24A}}$,

mit    $a=36B^{2}-96AC$

$w=0$ und $z={\sqrt {c+4Cy+y^{2}}}$

mit    $c=4C^{2}-144AE$

Allgemeiner Fall

Im allgemeinen Fall werden folgende Rechenschritte durchgeführt:

$P=36BD-144AE-12C^{2}$,

$Q={\frac {4ac-b^{2}}{96A}}$,

mit    $a=36B^{2}-96AC$, $b=24BC-144AD$ und $c=4C^{2}-144AE$

$y={\begin{cases}-{\sqrt[{3}]{Q}}&{\text{ falls }}P=0\\U-{\frac {P}{3U}}&{\text{ falls }}P\neq 0\end{cases}}$

mit    $U={\sqrt[{3}]{-{\frac {Q}{2}}+{\sqrt {{\frac {Q^{2}}{4}}+{\frac {P^{3}}{27}}}}}}$

$w={\sqrt {36B^{2}-96AC+24Ay}}$ und $z={\tfrac {12BC-72AD+6By}{w}}$.

Lösen der quadratischen Gleichungen

Aus den beiden quadratischen Gleichungen

$0=p''(x)+y\pm (wx+z)$

können die Nullstellen wie folgt berechnet werden

$x_{1,2,3,4}=-{\frac {B}{4A}}+{\frac {s\cdot w}{24A}}+{\frac {r}{24A}}{\sqrt {(6B-s\cdot w)^{2}-48A\,(2C+y+sz)}}$.

Die Parameter $r,s\in \{-1,1\}$ geben das in den zwei Quadratwurzeln zu wählende Vorzeichen an, alle vier Kombinationen von $r$ und $s$ sind nötig, um alle 4 Lösungen zu erhalten.

Raumplanung

Karte der Mittelbereiche in der Region Stuttgart

Im Rems-Murr-Kreis liegen die drei Mittelzentren Backnang, Schorndorf und Waiblingen/Fellbach. Entsprechend gliedert sich der Rems-Murr-Kreis in Bezug auf die Raumplanung (Regionalplanung) in drei Raumschaften (Mittelbereiche).

Raumschaft Backnang

In der Raumschaft Backnang gibt es neben dem Mittelzentrum Backnang selbst, das Unterzentrum Murrhardt und das Kleinzentrum Sulbach an der Murr. Außerdem gehören die Gemeinden Allmersbach im Tal, Althütte, Aspach, Auenwald, Burgstetten, Großerlach, Kirchberg an der Murr, Oppenweiler, Spiegelberg und Weissach im Tal zur Raumschaft Backnang. Die Raumschaft Backnang deckt den nördlichen Teil des Rems-Murr-Kreises ab und hat 104840 Einwohner (Stand 31. Dezember 2022).

Raumschaft Schorndorf

In der Raumschaft Schorndorf gibt es neben dem Mittelzentrum Schorndorf selbst, das Unterzentrum Welzheim und die Kleinzentren Alfdorf, Plüderhausen, Remshalden und Rudersberg. Außerdem gehören die Gemeinden Kaisersbach, Urbach und Winterbach zur Raumschaft Schorndorf. Die Raumschaft Schorndorf deckt den südöstlichen Teil des Rems-Murr-Kreises ab und hat 112017 Einwohner (Stand 31. Dezember 2022).

Raumschaft Waiblingen

In der Raumschaft Waiblingen bilden die Gemeinden Waiblingen und Fellbach gemeinsam das Mittelzentrum. Darüber hinaus gibt es die beiden Unterzentren Weinstadt und Winnenden. Außerdem gehören die Gemeinden Berglen, Kernen im Remstal, Korb, Leutenbach und Schwaikheim zur Raumschaft Waiblingen. Die Raumschaft Waiblingen deckt den südwestlichen Teil des Rems-Murr-Kreises ab und hat 210391 Einwohner (Stand 31. Dezember 2022).