Graph einer Funktion 3. Grades; die Nullstellen (
y = 0) sind dort, wo der Graph die
x-Achse schneidet. Dieser Graph hat drei reelle Nullstellen.
Kubische Gleichungen sind Polynomgleichungen dritten Grades, also algebraische Gleichungen der Form
.
Eine kubische Gleichung hat nach dem Fundamentalsatz der Algebra stets drei komplexe Lösungen
, die auch zusammenfallen können. Mit ihrer Hilfe lässt sich die Gleichung in faktorisierter Form darstellen:

Im Falle reeller Koeffizienten beschreibt die linke Seite der kubischen Gleichung geometrisch eine kubische Parabel in der
-
-Ebene, also den Graph einer kubischen Funktion. Dessen Nullstellen, also seine Schnittpunkte mit der
-Achse, sind die reellen Lösungen der kubischen Gleichung. Der Funktionsgraph hat nach dem Zwischenwertsatz stets mindestens eine reelle Nullstelle, jedoch höchstens drei.
Kennt man eine Lösung
exakt, so kann man das kubische Polynom mit Hilfe der Polynomdivision oder des Horner-Schemas durch
dividieren und erhält so eine quadratische Gleichung. Diese kann man mit Hilfe einer Lösungsformel lösen und erhält so die restlichen Lösungen der kubischen Gleichung. Dieses Verfahren ist aber nur für eine rationale Lösung
praktikabel. Bereits bei der irreduziblen Gleichung
ist das Verfahren mit der noch relativ einfachen Lösung
nicht mehr praktikabel, da die Koeffizienten der verbleibenden quadratischen Gleichung sehr kompliziert werden. In diesen Fällen lassen sich die Lösungen mit der unten genannten Cardanischen Formel leichter bestimmen.
Sind alle Koeffizienten der kubischen Gleichung ganzzahlig, so kann man versuchen, eine rationale Lösung zu raten, das heißt, durch Probieren zu finden. Ist der führende Koeffizient
vom Betrag gleich 1, so kann man die ganzzahligen Teiler des letzten Koeffizienten
durchprobieren (auch negative Werte!). Ist
von eins verschieden, so müssen alle Brüche, deren Zähler ein Teiler von
und deren Nenner ein Teiler von
ist, durchprobiert werden. Der Satz über rationale Nullstellen garantiert, dass man mit diesem endlichen Aufwand eine rationale Nullstelle findet, falls eine solche existiert.
Sind die Koeffizienten rational, so kann man ganzzahlige Koeffizienten erreichen, indem man die Gleichung mit dem Hauptnenner aller Koeffizienten multipliziert.
Als rationale Lösungen der kubischen Gleichung

kommen nur die ganzzahligen Teiler
des letzten Koeffizienten sowie
in Frage. In der Tat ist
eine Lösung, wovon man sich durch Einsetzen überzeugt. Polynomdivision liefert

und mit der quadratischen Lösungsformel ergeben sich als weitere Lösungen
.
Es gibt eine Reihe äquivalenter Umformungen der kubischen Gleichung durch Lineartransformation des Arguments, die es erlauben, diese für das nachfolgende Lösungsverfahren zu vereinfachen (Tschirnhaus-Transformation). Durch Division durch
kann das Polynom zunächst normiert werden.

Durch Lineartransformation des Arguments mit Hilfe der Substitution
ergibt sich folgender Term:

Durch die Wahl von
lässt sich das quadratische Glied beseitigen und man erhält die reduzierte Form der kubischen Gleichung:

Die reduzierte Form mit
kann nun mit Hilfe der Cardanischen Formeln aufgelöst und durch anschließende Rücksubstitution können die Lösungen der ursprünglichen Gleichung bestimmt werden. Hierdurch ist die Gesamtheit der reellen und komplexen Lösungen zugänglich.
Analytische Bestimmung der reellen Lösungen der reellen Gleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Im Fall, dass das ursprüngliche Polynom nur reelle Koeffizienten hat, kann mithilfe der Diskriminante
überprüft werden, ob ausschließlich reelle Lösungen vorliegen:

Ist
, so sind alle Lösungen reell. Andernfalls gibt es genau eine reelle Lösung, die andern beiden sind komplex nicht-reell und konjugiert zueinander.
Fall 1:
- Hier wählt man
und erhält
. Nach Rücksubstitution ergibt sich eine einzige reelle Lösung zu
.
Unterfall 1a:
und
- Die einzige reelle Lösung
und
hat die Vielfachheit 3.
Eine Lösungsstrategie für die verbleibenden Lösungen, die ohne die Verwendung komplexer Zahlen auskommt, ist die folgende:
Die reduzierte Form wird durch Substitution mit Hilfe einer geeigneten trigonometrischen oder hyperbolischen Funktion so umgeformt, dass sie auf bekannte Additionstheoreme zurückgeführt werden kann.
Geeignete Funktionen sind:
Funktion  |
Wertebereich |
Additionstheorem |
 |
kubische Gleichung |
Fall
|
 |
 |
 |
 |
 |
2
|
 |
 |
 |
 |
 |
3
|
 |
 |
 |
 |
 |
3
|
 |
beliebig reell |
 |
 |
 |
4
|
Die aufgeführten Additionstheoreme sind so parametrisiert, dass sie sich in dieselbe kubische Gleichung überführen lassen, die sich mit der reduzierten Form der gegebenen Gleichung

zur Deckung bringen lässt. Mithilfe der Setzung
erhält man durch Koeffizientenvergleich sofort
und
.
Somit lässt sich
durch die ursprünglichen Koeffizienten
und
ausdrücken:
,
wobei
gesetzt ist und
eine zugehörige Arkus- oder Areafunktion bezeichnet. Durch Rücksubstitution kann dann die endgültige Lösung der kubischen Gleichung ermittelt werden. Aus
,
und
erhält man somit
.
Als erstes bestimmt das Vorzeichen von
die Wahl der Substitutionsfunktion
, in zweiter Linie
, das im reellen Wertebereich von
liegen muss.
Fall 2:
(woraus
und
folgt):
- Substitution mit
, entspricht 
- Es ergeben sich drei mögliche Lösungen zu
mit
und 
Unterfall 2a:
(woraus
folgt):
- Es gibt nur zwei Lösungen. Die reduzierte Form vereinfacht sich zu
. Aus den Linearfaktoren lassen sich nun direkt die zwei Lösungen
und
ablesen. Zum selben Ergebnis führt
, also
bzw.
. Entsprechend ist
und
. Die letztere Lösung hat die Vielfachheit 2.
Fall 3:
und
(woraus
und
folgt):
- Substitution mit
, entspricht
, also 
- Zunächst hat man zwei Lösungen
, die wegen
wieder in eins geworfen werden. Also:
mit
.
Grenzfall 3a:
und
(woraus
folgt):
, also
und
.
Bemerkung:
Die zwei anderen (rein-imaginären) Lösungen
von
werden durch die Anwendung von
ins Reelle zurückgeworfen:
. Das Ergebnis ist wie im Unterfall 2a:
und
.
Fall 4:
und
:
- Substitution mit
, entspricht 
- Als Ergebnis folgt:
mit 
- Es ergibt sich eine reelle Lösung.
Die Methode von Deiters und Macías-Salinas[1] bringt die kubische Funktion zunächst einmal in die Form
und verwendet dann die Laguerre-Nair-Samuelson-Ungleichung,[2] um Schranken für die Lösungen zu finden,
.
Hierbei ist
, und
ist der Abszissenwert des Wendepunkts. Dann sind folgende Fälle zu unterscheiden:
: Dann ist die Wendestelle die erste Lösung,
.
: Dann ist
eine Lösung.
- Andernfalls wird iterativ eine Näherungslösung
bestimmt. Dies geschieht ausgehend vom Startwert

- mit dem Halley-Verfahren:
.
Anschließend wird durch Polynomdivision die quadratische Funktion
(mit kleinem
, dessen Betrag von der erzielten Genauigkeit abhängt) gebildet, deren Nullstellen (im Fall
) direkt ausgerechnet werden können:
mit
und
.
Bei sorgfältiger Implementierung (siehe revidierte Zusatzinformationen zur Originalpublikation[3]) ist dieses Verfahren auf modernen Prozessoren (2014, Architektur x86-64) um den Faktor 1,2 bis 10 schneller als die auf vergleichbare Genauigkeit ausgewerteten Cardanischen Formeln.
- ↑ U. K. Deiters, R. Macías-Salinas: Calculation of densities from cubic equations of state: revisited. In: Ind. Eng. Chem. Res. Band 53, 2014, S. 2529–2536, doi:10.1021/ie4038664.
- ↑ Paul Samuelson: How Deviant Can You Be?. In: Journal of the American Statistical Association. 63, Nr. 324, 1968, S. 1522–1525. doi:10.2307/2285901.
S. a. Samuelson’s inequality in der englischen Wikipedia, zugegriffen am 2016-06-10
- ↑ Cubic rootfinder using Halley’s method: C/C++ program code (PDF) Universität Köln. Abgerufen am 5. Juli 2019.