Kubische Gleichung

Graph einer Funktion 3. Grades; die Nullstellen (y=0) sind dort, wo der Graph die x-Achse schneidet. Dieser Graph hat drei reelle Nullstellen.

Kubische Gleichungen sind Polynomgleichungen dritten Grades, also algebraische Gleichungen der Form

$A \cdot x^3 + B \cdot x^2 + C \cdot x + D = 0 \quad \text{mit} \quad A, B, C, D \in \mathbb{C} \quad \text{und} \quad A \ne 0$.

Eine kubische Gleichung hat nach dem Fundamentalsatz der Algebra stets drei komplexe Lösungen $x_1, x_2, x_3$, die auch zusammenfallen können. Mit ihrer Hilfe lässt sich die Gleichung in faktorisierter Form darstellen:

$A \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2) \cdot (x - x_3) = 0\,.$

Im Falle reeller Koeffizienten beschreibt die linke Seite der kubischen Gleichung geometrisch eine kubische Parabel in der $x$-$y$-Ebene, also den Graph einer kubischen Funktion. Dessen Nullstellen, also seine Schnittpunkte mit der $x$-Achse, sind die reellen Lösungen der kubischen Gleichung. Der Funktionsgraph hat nach dem Zwischenwertsatz stets mindestens eine reelle Nullstelle, jedoch höchstens drei.

§Lösungsansätze

§Raten einer Lösung

Kennt man eine Lösung $x_1$ exakt, so kann man das kubische Polynom mit Hilfe der Polynomdivision oder des Horner-Schemas durch $(x - x_1)$ dividieren und erhält so eine quadratische Gleichung. Diese kann man mit Hilfe einer Lösungsformel lösen und erhält so die restlichen Lösungen der kubischen Gleichung. Dieses Verfahren ist aber nur für eine rationale Lösung $x_1$ praktikabel. Bereits bei der irreduziblen Gleichung $x^3-6x-6=0$ ist das Verfahren mit der noch relativ einfachen Lösung $x=\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}$ nicht mehr praktikabel, da die Koeffizienten der verbleibenden quadratischen Gleichung sehr kompliziert werden. In diesen Fällen lassen sich die Lösungen mit der unten genannten Cardanischen Formel leichter bestimmen.

Sind alle Koeffizienten der kubischen Gleichung ganzzahlig, so kann man versuchen, eine rationale Lösung zu raten, das heißt, durch Probieren zu finden. Ist der führende Koeffizient A vom Betrag gleich 1, so kann man die ganzzahligen Teiler des letzten Koeffizienten D durchprobieren (auch negative Werte!). Ist A von eins verschieden, so müssen alle Brüche, deren Zähler ein Teiler von D und deren Nenner ein Teiler von A ist, durchprobiert werden. Der Satz über rationale Nullstellen garantiert, dass man mit diesem endlichen Aufwand eine rationale Nullstelle findet, falls eine solche existiert. Sind die Koeffizienten rational, so kann man ganzzahlige Koeffizienten erreichen, indem man die Gleichung mit dem Hauptnenner aller Koeffizienten multipliziert.

§Beispiel

Als rationale Lösungen der kubischen Gleichung

$3x^3 - 8 x^2 - 11x + 10 = 0$

kommen nur die ganzzahligen Teiler $\pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10$ des letzten Koeffizienten sowie $\pm \tfrac{1}{3}, \pm \tfrac{2}{3}, \pm \tfrac{5}{3}, \pm \tfrac{10}{3}$ in Frage. In der Tat ist $x_1 = \tfrac{2}{3}$ eine Lösung, wovon man sich durch Einsetzen überzeugt. Polynomdivision liefert

$(3x^3 - 8 x^2 - 11x + 10) : \left(x - \tfrac{2}{3}\right) = 3x^2 - 6x - 15$

und mit der quadratischen Lösungsformel ergeben sich als weitere Lösungen $x_{2,3} = 1 \pm \sqrt{6}$.

§Reduktion der Gleichung auf eine Normalform

Es gibt eine Reihe äquivalenter Umformungen der kubischen Gleichung durch Lineartransformation des Arguments, die es erlauben, diese für das nachfolgende Lösungsverfahren zu vereinfachen (Tschirnhaus-Transformation). Durch Division durch $A \ne 0$ kann das Polynom zunächst normiert werden.

$x^3 + a \cdot x^2 + b \cdot x + c = 0 \quad \text{mit} \quad a=\frac{B}{A},\; b=\frac{C}{A} \;\text{und}\; c=\frac{D}{A}$

Durch Lineartransformation des Arguments mit Hilfe der Substitution $x = \alpha \cdot z + \beta$ ergibt sich folgender Term:

$z^3 + \frac{3\beta+a}{\alpha} \cdot z^2 + \frac{3\beta^2+2a\beta+b}{\alpha^2} \cdot z + \frac{\beta^3+a\beta^2+b\beta +c}{\alpha^3}=0$

Durch die Wahl von $\beta=-\tfrac{a}{3}$ lässt sich das quadratische Glied beseitigen und man erhält die reduzierte Form der kubischen Gleichung:

$z^3 +\frac{p}{\alpha^2} \cdot z + \frac{q}{\alpha^3}=0 \quad \text{mit} \quad p= b - \frac{a^2}{3} \quad \text{und} \quad q=\frac{2 a^3}{27} - \frac{ab}{3} + c$

Die reduzierte Form mit $\alpha=1$ kann nun mit Hilfe der Cardanischen Formeln aufgelöst und durch anschließende Rücksubstitution können die Lösungen der ursprünglichen Gleichung bestimmt werden. Hierdurch ist die Gesamtheit der reellen und komplexen Lösungen zugänglich.

§Analytische Bestimmung der reellen Lösungen der reellen Gleichung

Im Fall, dass das ursprüngliche Polynom nur reelle Koeffizienten hat, kann mithilfe der Diskriminante $\Delta$ überprüft werden, ob ausschließlich reelle Lösungen vorliegen:

$\Delta:=\left(\frac{q}2\right)^2 + \left(\frac{p}3\right)^3$

Ist $\Delta \le 0$, so sind alle Lösungen reell.

§Lösung des Spezialfalles p = 0

1. Fall: $p=0$ und $q=0$

Es ergibt sich direkt $z^3=0$ und $x=-\tfrac a 3$.

2. Fall: $p=0$ und $q\ne 0$

Hier wählt man $\alpha=\tfrac{1}{3} \sqrt[3]{a^3-27c}$ und erhält $z^3=1$. Nach Rücksubstitution ergibt sich die Lösung zu $x=\tfrac{1}{3}(\sqrt[3]{a^3-27c}-a)$.

§p ≠ 0: Lösung durch Fallunterscheidung

Eine geeignete Lösungsstrategie für die verbleibenden Lösungen, die ohne die Verwendung komplexer Zahlen auskommt, ist folgende: Die reduzierte Form wird durch Substitution mit Hilfe einer geeigneten trigonometrischen oder hyperbolischen Funktion so umgeformt, dass sie auf bekannte Additionstheoreme zurückgeführt werden kann. Hierbei ist der jeweilige Definitionsbereich zu beachten.

Passende Additionstheoreme sind:

$4 \cos^3{\eta}-3 \cos{\eta}= \cos{3\eta}$

$4 \cosh^3{\eta}-3 \cosh{\eta}= \cosh{3\eta}$

$4 \sinh^3{\eta}+3 \sinh{\eta}= \sinh{3\eta}$

Durch die Substitution $z:=\cos{\eta}$ (bzw. $z:=\cosh{\eta}$ oder $z:=\sinh{\eta}$) lässt sich die reduzierte Form der kubischen Gleichung in einen ähnlichen Term überführen:

$\cos^3{\eta}+\tfrac{p}{\alpha^2} \cdot \cos{\eta} + \tfrac{q}{\alpha^3}=0$

Durch Koeffizientenvergleich erhält man so direkt

$-\tfrac{3}{4}=\tfrac{p}{\alpha^2} \; \Longleftrightarrow \; \alpha=2 \sqrt{-\tfrac{p}{3}} \quad \text{und} \quad -\tfrac{1}{4}\cos{3\eta}=\tfrac{q}{\alpha^3}=\tfrac{3q}{8p}\sqrt{-\tfrac{3}{p}}$

Hieraus lässt sich nun der Term für $\eta$ durch die ursprünglichen Koeffizienten $p$ und $q$ darstellen:

$\cos{3\eta}=-\tfrac{3q}{2p}\sqrt{-\tfrac{3}{p}} \; \Longleftrightarrow \; \eta=\tfrac{1}{3} \left(\arccos{\left(-\tfrac{3q}{2p}\sqrt{-\tfrac{3}{p}}\right)}+ 2 k \pi\right)$ mit $k \in \{0; 1; 2\}$

Durch Rücksubstitution kann dann die endgültige Lösung der kubischen Gleichung ermittelt werden. Aus $\alpha=2 \sqrt{-\tfrac{p}{3}}=\tfrac 2 3 \sqrt{a^2-3b}$, $\beta=-\tfrac{a}{3}$ und $z=\cos{\eta}$ erhält man somit

$x=\alpha z + \beta=\tfrac 1 3 \left(2 \sqrt{a^2-3b} \cdot \cos{\eta} - a \right)$

Bei der Wahl der Substitutionsfunktion muss jedoch noch deren reeller Wertebereich berücksichtigt werden. Drei weitere Fälle, die zusammen mit den ersten zwei alle reellen Kombinationen abdecken, lassen sich mit den angegebenen drei Funktionen lösen:

3. Fall:   $\Delta \leq 0$   (woraus   $p < 0$   und   $\left|-\tfrac{3q}{2p}\sqrt{-\tfrac{3}{p}}\right| \leq 1$   folgt):

Substitution mit $z:=\cos{\eta}$ und $\alpha:=2 \sqrt{-\tfrac{p}{3}}$

Wie oben dargestellt, ergeben sich drei mögliche Lösungen zu

$x_k=\tfrac 1 3 \left(2 \sqrt{a^2-3b} \cdot \cos{\eta_k} - a \right)$ mit $\eta_k=\tfrac{1}{3} \left(\arccos{\left(-\tfrac{3q}{2p}\sqrt{-\tfrac{3}{p}}\right)} + 2 k \pi\right)$ und $k \in \{0; 1; 2\}$

Zu beachten ist, dass es im Fall $\Delta=0$ nur zwei Lösungen gibt, da dann $p=\sqrt[3]{-\tfrac{27q^2}{4}}$ gilt. Hierdurch vereinfacht sich der Term der reduzierten Form zu $0=z^3-\tfrac{3}{4}z -\tfrac{1}{4}=(z-1)(z+\tfrac 1 2)^2.$ Aus den Linearfaktoren lassen sich nun direkt die zwei Lösungen $z_1=1$ und $z_2=-\tfrac 1 2$ ablesen, entsprechend $x_1=\tfrac 1 3 (2\sqrt{a^2-3b}-a)$ und $x_2=-\tfrac 1 3 (\sqrt{a^2-3b}+a).$

4. Fall:   $\Delta > 0$ und $p < 0$   (woraus   $-\tfrac{3q}{2p}\sqrt{-\tfrac{3}{p}} > 1$   folgt):

Substitution mit $z:=\cosh{\eta}$ und $\alpha:=2 \sqrt{-\tfrac{p}{3}}$

Die Berechnung erfolgt analog zu Fall 3. Da nun jedoch im reellen Wertebereich eine hyperbolische Funktion zum Zuge kommt, ergibt sich nur eine reelle Lösung, entsprechend: $x=\tfrac 1 3 \left(2 \sqrt{a^2-3b} \cdot \cosh{\eta} - a \right)$ mit $\eta=\tfrac{1}{3} \operatorname{arcosh}{\left(-\tfrac{3q}{2p}\sqrt{-\tfrac{3}{p}}\right)}$

5. Fall:   $\Delta > 0$ und $p > 0$:

Substitution mit $z:=\sinh{\eta}$ und $\alpha:=2 \sqrt{\tfrac{p}{3}}$

Wiederum ergibt sich durch die Substitution mit einer hyperbolischen Funktion nur eine reelle Lösung. Es sind jedoch die Auswirkungen des verwendeten Additionstheorems zu beachten, denn es gilt nun $4\sinh^3{\eta}+3\sinh{\eta}=\sinh{3\eta}$ und somit $\alpha=2 \sqrt{\tfrac{p}{3}}.$

Das geänderte Vorzeichen von $p$ muss entsprechend berücksichtigt werden, so dass als Ergebnis folgt:

$x=\tfrac 1 3 \left(2 \sqrt{3b-a^2} \cdot \sinh{\eta} - a \right)$ mit $\eta=\tfrac{1}{3} \operatorname{arsinh}{\left(-\tfrac{3q}{2p}\sqrt{\tfrac{3}{p}}\right)}$

§Siehe auch

• Lineare Gleichung
• Quartische Gleichung
• Omar Chajjam
• Cardanische Formeln

§Weblinks

 Commons: Cubic polynomials – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Online-Tool zum Berechnen von Polynomen n-ter Ordnung
• Kubische Gleichung - JavaScript

§Quellen und Literatur

•  Peter Gabriel: Matrizen, Geometrie, Lineare Algebra. Birkhäuser, Basel 1996, ISBN 3-7643-5376-7.