Benutzer:Tobias Rattmann/FTH

Einleitung

In der klassischen Fotografie wird aus einer dreidimensionalen Umgebung eine zweidimensionale Abbildung geschaffen. Dadurch gehen Information über die räumliche Tiefe der Objekte verloren. Das ist jedoch bei der Holografie nicht der Fall, denn in dieser wird das Prinzip der Interferenz genutzt, um die reflektierten Lichtstrahlen des Objektes mit einem Refrenzstrahl zu vergleichen. Somit sind in der Intensitätsverteilung auf dem Kameraschirm sowohl die Intensität der Objekte, wie beim klassischen Foto, als auch die Informationen über die Ausdehnungen enthalten. Anstatt des Kamerasensors kann auch ein Film verwendet werden und man nennt das entstehende Bild ein Hologramm. Wenn man dieses aus unterschiedlichen Blinkwinkeln betrachtet, kann man um das Objekt herumschauen. Das Prinzip der Holographie wird in der Fourier-Transformations-Holographie genutzt, um unter anderem sehr kleine Proben im Mikrometerbereich zu untersuchen. Sie stellt somit eine Alternative zur herkömmlichen Mikroskopie dar, mit dem Vorteil, Aussagen über die dreidimensionale Struktur der Objekte treffen zu können.

Fourier-Analyse

Fourier-Reihen

Abbildung 1: Fourierreihe einer Rechteckfunktion bis zur 4. Ord.: In der ersten Spalte wird die n-te Ord. der Reihe einer Rechteckfunktion abgebildet. In der 2. Spalte sind die alle vorangegangen Ordnungen jeweils in einem Diagramm dargestellt und direkt daneben in der 3. Spalte die Überlagerungen dieser. In der letzten Spalte sind die diskreten Frequenzwerte im Phasenraum aufgetragen. Mit steigender Ord. nähert sich die Reihe einer Rechteckfunktion an.

Die Fourier-Reihe ist ein Mittel der Fourier-Analyse, um eine beliebige periodische Funktion f(t) mit Periodizität T durch die trigonometrische Reihe

$f(t)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos \left({\frac {2\pi nt}{T}}\right)+b_{n}\sin \left({\frac {2\pi nt}{T}}\right)\right]$

darzustellen. Die Entwicklungskoeffizienten $a_{n}$ und $b_{n}$ sind definiert durch:

$a_{n}={\frac {2}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}dt\cdot f(t)\cos \left({\frac {2\pi nt}{T}}\right),\quad n=0,1,\ldots$

$b_{n}={\frac {2}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}dt\cdot f(t)\sin \left({\frac {2\pi nt}{T}}\right),\quad n=1,2,\ldots$

Beispielsweise lässt sich eine Rechteckfunktion mit der Amplitude $A=1$ (Siehe Abb. 1) durch die Reihe

$f(t)={\frac {4}{\pi }}\cdot \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin[(2n-1)\cdot t]}{2n-1}}$

darstellen, also durch die Addition von Sinusfunktionen mit unterschiedlichen Frequenzen und Amplituden. In der Abbildung 1 sind die ersten vier Ordnungen dieser Reihe untereinander dargestellt. In der Spalte ganz links ist die jeweilige Sinuskurve, die addiert wird, aufgetragen und in der Spalte rechts daneben alle vorangegangenen Funktionen zusammen. Die resultierende Überlagerung dieser wird in der dritten Spalte ersichtlich, wobei mit zunehmender Ordnung die Funktion sich einer Rechteckfunktion annähert. In der letzten Spalte wird die Intensität I der einzelnen Sinusfunktionen in Abhängigkeit ihrer Frequenz $\nu$aufgetragen. Somit entsteht ein diskretes Spektrum, in welchem man die einzelnen Frequenzen $\nu$aus denen sich die Rechteckfunktion zusammensetzt direkt ablesen kann. Diese Darstellung wird als der Phasenraum bezeichnet und die Fourier-Reihe ermöglicht es zwischen diesem und dem realen Raum, oder auch Ortsraum zu transformieren.

Fourier-Integrale

Im Allgemeinen sind die zu untersuchenden Signale nicht periodisch, jedoch lässt sich jede aperiodische Funktion, die auf einem Intervall I definiert ist, unendlich oft wiederholen, wodurch sie über eine Fourier-Reihe darstellbar ist. Will man jedoch ein Signal analysieren, dass bis in unendliche reicht, dann ist das Periodizitätsintervall $\left[-T/2,T/2\right]_{T\rightarrow \infty }$. Daraus folgt, dass aus der Summe der Fourier-Reihe über die diskreten Frequenzen $\nu$ein Integral über $\nu$wird, da die Abstände zwischen den diskreten Frequenzwerten gegen Null gehen. Aus dem vorher diskreten Spektrum im Phasenraum wird ein kontinuierliches und für die Fouriertransformierte gilt \citep[150 ff.]{Gerthsen}:

Abbildung 2: Kontinuierliche FT eines aperiodischen Rechteckimpulses: Im ersten Diagramm ist ein Rechteckimpuls abgebildet, der eine Dauer von T=2 ms besitzt. Seine Amplitude ist in dem Intervall [-1,1] eins und sonst überall null. In dem Diagramm darunter ist die Fouriertransformierte nach im Phasenraum dargestellt.

${\mathcal {F}}\{f(t)\}(\nu )=F(\nu )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-2\pi i\nu t}dt$

Für die Rücktransformation von dem Phasenraum in den Realraum gilt:

$f(t):=\int _{-\infty }^{\infty }F(\nu )e^{-2\pi i\nu t}d\nu$

In Abbildung 2 ist ein Rechteckimpuls dargestellt, der außerhalb von $[-T/2,T/2]$ überall Null ist, also aperiodisch ist und somit bei der Fouriertransformation die gesamte x-Achse betrachtet werden muss. Es folgt eine kontinuierliches Frequenzspektrum im Phasenraum.

Fourier-Transformation von Bildern

Bisher wurde nur der eindimensionale Fall der Fourier-Transformation betrachtet, jedoch lässt sich dieses Prinzip in höhere Dimensionen übertragen. Bei der Fourier-Transformations-Holographie, kurz FTH, soll eine zweidimensionale Abbildung rekonstruiert werden. Grundsätzlich lässt sich jedes Bild auch dreidimensional darstellen, indem man auf die z-Achse die Intensität, beziehungsweise bei schwarz/weiß-Bildern den Grauwert, aufträgt, wie es in Abbildung 3 zu sehen ist.

Auch weiterhin gilt, dass jede periodische Funktion durch die Summe von Cosinus- und Sinusfunktionen darstellbar ist. Nur das in diesem Fall, der Sinus und Cosinus von zwei Variablen abhängig ist. Somit existiert jeweils eine Frequenz in der x-Komponente $u$ und in der y-Komponente $v$. Genauso wie im eindimensionalen Fall, lässt sich auch hier eine Oberflächenstruktur, beziehungsweise eine Funktion $f(x,y)$, auf einem Rechteck $R=[0,M]\times [0,N]$ durch die diskrete Fourier-Transformation beschreiben \cite{FFT}:

${\mathcal {F}}\{f(x,y)\}(u,v)=F(u,v)={\frac {1}{MN}}\cdot \sum _{x=0}^{M-1}\sum _{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-i2\pi (xu/M+yv/N)}$

Für ein Bild mit der Auflösung von $M\times N$-Pixeln ergibt sich eine Abbildung im Phasenraum mit der gleichen Anzahl von diskreten Frequenzwerten, die dort in der u-v-Ebene aufgetragen sind. Die Amplitude wird in der z-Achse durch die Helligkeit der einzelnen Werte repräsentiert. Für die Rücktransformation gilt:

$f(x,y)=\sum _{u=0}^{M-1}\sum _{v=0}^{N-1}F(u,v)e^{-i2\pi (xu/M+yv/N)}$

In der Abbildung \ref{fig: 3DSinus} ist die Funktion

$f(x,y)=\sin(x)$

zweidimensional abgebildet, wobei die z-Achse über die Helligkeit beschrieben wird. Unmittelbar daraus folgt, dass die y-Frequenz $v=0$sein muss und die x-Frequenz $u=1$. Betrachtet man die Fouriertransformation in dem Phasenraum, so sind 3 weiße Punkte erkennbar. Hierbei ist die x-Achse $u$ und die y-Achse $v$. Der erste Punkt im Koordinatenursprung $(0,0)$beschreibt die mittlere Intensität des ursprünglichen Bildes. Der Punkt $(1,0)$und seine Reflexion $(-1,0)$stellt die Frequenz der Funktion $f(x,y)$dar, wobei die Reflexion aus der Symmetrie der Fouriertransformation folgt \citep{2DFourier}.

Obwohl es sich hierbei nur um die diskrete Fourier-Transformation handelt und somit nicht alle Frequenzen, wie bei der kontinuierlichen Transformation, berücksichtigt werden, handelt es sich immer noch um eine Verarbeitung von $M\times N$-Pixeln. Das führt besonders bei hochauflösenden Bildern zu einer hohen Verarbeitungszeit, weshalb um weitere Rechenleistung einzusparen, häufig eine Beschränkung der Größe der Abbildung im Phasenraum von $2^{n}\times 2^{n}$ Pixeln gewählt wird, wobei $n\in \mathbb {N}$. Dies ist möglich, da die meisten Informationen im Bereich der niedrigen Frequenzen gespeichert werden - dort ist die Intensität am größten. Wie auch im eindimensionalen gibt es eine kontinuierliche Fourier-Transformation für aperiodische Funktionen, welche definiert ist durch \citep{FTH}:

${\mathcal {F}}\{f(x,y)\}(u,v)=F(u,v)=\iint _{-\infty }^{\infty }f(x,y)e^{-2\pi \mathrm {i} (ux+vy)}\mathrm {d} x\mathrm {d} y$

Holografie

Vor der Betrachtung der Holografie ist es zunächst sinnvoll, das grundlegende Prinzip der Fotografie zu betrachten (Siehe Abb. \ref{fig: Photographie}). Bei diesem wird ein Objekt von inkohärentem Licht beleuchtet, wobei ein Teil der Lichtstrahlen abhängig von der Ausdehnung und Struktur der Oberfläche des Objektes phasenverschoben reflektiert wird. Diese reflektierten Lichtstrahlen, auch Objektwellen genannt, werden durch ein System von Linsen gebündelt und auf einen elektronischen Sensor projiziert. Dieser wandelt die Intensitätsverteilung der Lichtstrahlen in ein zweidimensionales Bild um. Da es sich aber ursprünglich um ein dreidimensionales Objekt handelt, gehen bei dieser Aufnahme Informationen über die räumliche Ausdehnung, also über die Phasenverschiebung, verloren \citep[388]{Demtroeder02}.

Bei der Holografie hingegen wird kohärentes Licht verwendet, welches durch einen Strahlenteiler aufgeteilt wird (Siehe Abb. \ref{fig: Holographie}). Der eine Teil des Lichtes trifft erneut auf das zu untersuchende Objekt und es werden Objektwellen auf einen Schirm reflektiert. Der andere Teil, die Referenzwellen, gelangen ohne weiteres auf den Schirm und aufgrund der ursprünglichen Kohärenz des Lichtes kommt es zur Interferenz zwischen den beiden Wellen. In dem Interferenzmuster sind sowohl Informationen über die Amplitude, beziehungsweise die Intensität, als auch über die Phasenbeziehung und somit über die räumliche Ausdehnung des Objektes gespeichert. Somit besteht der wesentliche Unterschied zur Photographie darin, dass die Objektwelle mit einer Referenzwelle verglichen wird, um so Rückschlüsse über die Phasenverschiebung zu erhalten. Die resultierende Intensitätsverteilung auf der Photoplatte wird auch als Hologramm bezeichnet. Betrachtet man dieses Hologramm aus unterschiedlichen Blickwinkeln, so ändert sie auch die Betrachtungsrichtung des abgebildeten Objektes. Dadurch wird, anders als bei einem Foto, eine dreidimensionale Betrachtung möglich.

Fourier-Transformations-Holografie

Angenommen eine ebene, linear polarisierte Lichtwelle $E_{S}(x,y)$ mit der Wellenlänge $\lambda$ trifft auf eine zu untersuchende Öffnung $\sigma$ in der x-y-Ebene (Siehe Abb. \ref{fig: Beugungsintegral}). Die Frage ist nun, welche Intensitätsverteilung auf einem Schirm in der Entfernung $z_{0}$ in der x'-y'-Ebene zu erwarten ist.