Fourier-Transformation

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Die Fourier-Transformation (genauer die kontinuierliche Fourier-Transformation; Aussprache: [fuʁie]) ist eine mathematische Methode aus dem Bereich der Fourier-Analyse, mit der aperiodische Signale in ein kontinuierliches Spektrum zerlegt werden. Die Funktion, die dieses Spektrum beschreibt, nennt man auch Fourier-Transformierte oder Spektralfunktion. Es handelt sich dabei um eine Integraltransformation, die nach dem Mathematiker Jean Baptiste Joseph Fourier benannt ist. Fourier führte im Jahr 1822 die Fourier-Reihe ein, die jedoch nur für periodische Signale definiert ist und zu einem diskreten Frequenzspektrum führt.

Es gibt einige Anwendungsfälle, in denen die Fourier-Transformation mittels eines Computers berechnet werden soll. Dafür wurde die Diskrete Fourier-Transformation beziehungsweise die Schnelle Fourier-Transformation eingeführt.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine integrierbare Funktion, wobei den Lebesgue-Raum bezeichnet. Die (kontinuierliche) Fourier-Transformierte von ist definiert durch

und die zugehörige inverse Transformation lautet:

Dabei gilt: und sind -dimensionale Volumenelemente, die imaginäre Einheit und das Standardskalarprodukt der Vektoren und .

Die Normierungskonstante ist in der Literatur nicht einheitlich. In der Theorie der Pseudodifferentialoperatoren und in der Signalverarbeitung ist es üblich, den Faktor in der Transformation wegzulassen, sodass stattdessen die Rücktransformation den Vorfaktor erhält. Die Transformation lautet dann:

Hier taucht ein Vorfaktor auf, so dass die Anwendung des Satzes von Plancherel nicht direkt möglich ist, weil die Fouriertransformation dann keine unitäre Abbildung mehr auf ist und so die Signalleistung ändert. Dies kann jedoch (wie bei allen Orthogonaltransformationen) einfach durch eine Substitution (Reskalierung der Abszisse) ausgeglichen werden und stellt damit kein grundlegendes Problem dar. Genau dies wird in der Literatur zu Signalverarbeitung und Systemtheorie vorgeschlagen, indem von der natürlichen Frequenz auf die Kreisfrequenz (die den Faktor beinhaltet) übergegangen wird:

Die reelle Form der Fourier-Transformation wird als Hartley-Transformation bezeichnet. Für reelle Funktionen kann die Fourier-Transformation durch die Sinus- und Kosinus-Transformation substituiert werden.

Anwendungsfälle[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kompressionsverfahren für die digitale Kommunikation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Kompression von digitalen Daten auf Basis der Fourier-Transformation ist eine zentrale Technologie für Kommunikation, Datenaustausch und Streaming von Medien im (mobilen) Internet.[1]

Beispielsweise wird zur Kompression von Audio-Daten (etwa um eine MP3 Datei zu erzeugen) das Audio-Signal in den Frequenz-Raum transformiert. Die Transformation erfolgt über das Verfahren der (modifizierten) diskreten Kosinustransformation, welches der schnellen Fourier-Transformation ähnelt. Im Frequenzraum werden dann alle Frequenzen, die Menschen nicht hören können oder die nur wenig zum subjektiven Empfinden des Klangs beitragen, entfernt. Das Ergebnis wird im letzten Schritt aus dem Frequenz-Raum rücktransformiert – daraus erhält man, auf Grund des verringerten Frequenzumfangs, eine deutlich kleinere (komprimierte) Audio-Datei.[2]

In vergleichbaren Verfahren können Bilder (JPEG Kompression) oder Filme (MPEG-4) komprimiert werden.

Signalanalyse[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Signalanalyse werden mittels Fourier-Transformation Frequenzanalysen von Signalen durchgeführt. Hierzu wird das Verfahren der diskreten Fourier-Transformation bzw. der schnellen Fourier-Transformation genutzt. Ein Beispiel für die Vielzahl von technischen Anwendungen ist die Nutzung der Signalanalyse bei der Erstellung von Bildern mittels Magnetresonanztomographie.[3]

Beispiel Signalanalyse in der Akustik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der reine Kammerton ist eine Sinuswelle mit der Frequenz 440 Hz, also 440 Schwingungen pro Sekunde. Eine ideale Stimmgabel gibt genau dieses Sinussignal ab. Der gleiche Ton gespielt mit einem anderen Musikinstrument (nicht-ideale Stimmgabel), ist eine Zusammensetzung/Überlagerung aus Wellen verschiedener Wellenlängen. Diese sind bezüglich ihrer Frequenz normalerweise ganzzahlige Vielfache der Frequenz des Grundtons. Die Zusammensetzung und jeweilige Amplitude dieser Wellen ist bestimmend für die Klangfarbe jedes Musikinstruments. Nur die Welle mit der größten Wellenlänge, der Grundton des Signals, hat dabei die Frequenz 440 Hz. Die anderen Wellen, die Obertöne, haben höhere Frequenzen.

An der Fourier-Transformierten des Tonsignals kann man direkt die verschiedenen Frequenzen/Wellenlängen der Wellenzusammensetzung ablesen. Diese Eigenschaft kann man beispielsweise für die automatische Erkennung von Tonhöhen und Musikinstrumenten in einem Tonsignal ausnutzen.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bildliche Darstellung einer Funktion und Ihrer Fourier-Transformierten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zur Veranschaulichung sei ein Puls-Signal mit zwei überlagerten Frequenzen gegeben. Die Funktion, die dieses Signal darstellt, besteht beispielhaft aus der Summe zweier Cosinus-Funktionen, multipliziert mit einer Gauß-Kurve zur Darstellung des An- und Abklingens:

Interpretiert man die Einheit der Zeitachse t als Sekunden, dann haben die beiden Frequenzen einen Wert von 5 Hz bzw. 40 Hz bei einer Amplitude von 10 bzw. 5.

Durch die Fourier-Transformation transformiert man die Funktion in den Frequenz-Raum – d. h. die X-Achse im Diagramm der Fourier-Transformierten stellt eine Frequenz dar. Die Fourier-Transformierte der Beispiel-Funktion zeigt die beiden Frequenz-Anteile als Spitze beim jeweiligen Frequenzwert (5 bzw. 40). Der Wert der Fourier-Transformierten an der Stelle der jeweiligen Frequenz ist ein Maß für die Amplitude der überlagerten Frequenzen in der Beispiel-Funktion. Hier dargestellt ist der absolute Betrag der Fourier-Transformierten bei normierter X-Achse (zur Vereinfachung ist nur der positive Teil der Transformierten gezeigt):

Dies illustriert die Anwendung der Fourier-Transformation zur Analyse der Frequenzanteile von Signalen – hieraus leitet sich auch das Synonym Spektralfunktion für die Fourier-Transformierte ab.

Beispielhafte Herleitung einer Fourier-Transformierten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es soll das Frequenzspektrum einer gedämpften Schwingung mit ausreichend schwacher Dämpfung untersucht werden. Diese kann durch folgende Funktion beschrieben werden:

oder in komplexer Schreibweise:

Hier ist die Amplitude und die Kreisfrequenz der Schwingung, die Zeit, in der die Amplitude um den Faktor abfällt, und die Heaviside-Funktion. Das heißt, die Funktion ist nur für positive Zeiten nicht null.

Man erhält

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Linearität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Fourier-Transformation ist ein linearer Operator. Das heißt, es gilt .

Stetigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Fourier-Transformation ist ein stetiger Operator vom Raum der integrierbaren Funktionen in den Raum der Funktionen , die im Unendlichen verschwinden. Mit ist die Menge der stetigen Funktionen bezeichnet, welche für verschwinden. Die Tatsache, dass die Fourier-Transformierten im Unendlichen verschwinden, ist auch als Lemma von Riemann-Lebesgue bekannt. Außerdem gilt die Ungleichung

.

Differentiationsregeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine Schwartz-Funktion und ein Multiindex. Dann gilt

  • und .
  • .

Fixpunkt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Dichtefunktion

mit der (-dimensionalen) Gauß’schen Normalverteilung ist ein Fixpunkt der Fourier-Transformation. Das heißt, es gilt für alle die Gleichung

.

Insbesondere ist also eine Eigenfunktion der Fourier-Transformation zum Eigenwert . Mit Hilfe des Residuensatzes oder mit Hilfe partieller Integration und Lösen einer gewöhnlichen Differentialgleichung kann in diesem Fall das Fourier-Integral bestimmt werden.

Spiegelsymmetrie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für gilt für alle die Gleichung

.

Äquivalent lässt sich dies auf dem Schwartzraum als Operatorgleichung

schreiben, wobei

den Paritätsoperator bezeichnet.

Rücktransformationsformel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine integrierbare Funktion derart, dass auch gilt. Dann gilt die Rücktransformation

Diese wird auch Fouriersynthese genannt. Auf dem Schwartz-Raum ist die Fouriertransformation ein Automorphismus.

Faltungstheorem[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Faltungstheorem für die Fourier-Transformation besagt, dass die Faltung zweier Funktionen durch die Fourier-Transformation in ihrem Bildraum in eine Multiplikation reeller Zahlen überführt wird. Für gilt also

.

Die Umkehrung des Faltungssatzes besagt[4]

.

Fourier-Transformation von L2-Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für eine Funktion ist die Fouriertransformation mittels eines Dichtheitsargumentes definiert durch

.

Die Konvergenz ist im Sinne von zu verstehen und ist die Kugel um den Ursprung mit Radius . Für Funktionen stimmt diese Definition mit der aus dem ersten Abschnitt überein. Da die Fouriertransformation bezüglich des -Skalarproduktes unitär ist (s. u.) und in dicht liegt, folgt, dass die Fouriertransformation ein isometrischer Automorphismus des ist. Dies ist die Aussage des Satzes von Plancherel.

Hausdorff-Young-Ungleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien und . Für ist und es gilt

.

Die Fourier-Transformation hat also eine Fortsetzung zu einem stetigen Operator , der durch

beschrieben wird. Der Grenzwert ist hier im Sinne von zu verstehen.

Differentiationsregel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Falls die Funktion schwach differenzierbar ist, gibt es eine Differentiationsregel analog zu denen für Schwarzfunktionen. Sei also eine k-mal schwach differenzierbare L2-Funktion und ein Multiindex mit . Dann gilt

.

Unitäre Abbildung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Fourier-Transformation ist bezüglich des komplexen -Skalarproduktes ein unitärer Operator, das heißt, es gilt

Damit liegt das Spektrum der Fourier-Transformation auf der Einheitskreislinie. Im eindimensionalen Fall () bilden ferner die Hermite-Funktionen im Raum ein vollständiges Orthonormalsystem von Eigenfunktionen zu den Eigenwerten .[5]

Fourier-Transformation im Raum der temperierten Distributionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine temperierte Distribution, die Fourier-Transformierte ist für alle definiert durch

.

Stattet man den Raum mit der Schwach-*-Topologie aus, dann ist die Fourier-Transformation eine stetige, bijektive Abbildung auf . Ihre Umkehrabbildung lautet

.

Fourier-Transformation von Maßen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Fourier-Transformation wird allgemein für endliche Borel-Maße auf definiert:

heißt inverse Fourier-Transformierte des Maßes. Die charakteristische Funktion ist dann die inverse Fourier-Transformierte einer Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Partielle Differentialgleichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Theorie der partiellen Differentialgleichungen spielt die Fourier-Transformation eine wichtige Rolle. Mit ihrer Hilfe kann man Lösungen bestimmter Differentialgleichungen finden. Die Differentiationsregel und das Faltungstheorem sind dabei von essentieller Bedeutung. Am Beispiel der Wärmeleitungsgleichung wird nun gezeigt, wie man mit der Fourier-Transformation eine partielle Differentialgleichung löst. Das Anfangswertproblem der Wärmegleichung lautet

Hierbei bezeichnet den Laplace-Operator, der nur auf die -Variablen wirkt. Anwenden der Fourier-Transformation auf beide Gleichungen bezüglich der -Variablen und Anwenden der Differentiationsregel ergibt

Hierbei handelt es sich nun um eine gewöhnliche Differentialgleichung, die die Lösung

hat. Daraus folgt und aufgrund des Faltungstheorems gilt

mit Daraus folgt

Das ist die Fundamentallösung der Wärmegleichung. Die Lösung des hier betrachteten Anfangswertproblems hat daher die Darstellung

Tabelle wichtiger Fourier-Transformations-Paare[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In diesem Kapitel folgt eine Zusammenstellung wichtiger Fourier-Transformations-Paare.

Signal Fouriertransformierte
Kreisfrequenz
Fouriertransformierte
Frequenz
Hinweise
Zeitverschiebung
Frequenzverschiebung
Frequenzskalierung
Hier ist eine natürliche Zahl und g eine Schwartz-Funktion. bezeichnet die -te Ableitung von g.

Quadratisch integrierbare Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Signal Fouriertransformierte
Kreisfrequenz
Fouriertransformierte
Frequenz
Hinweise
Die Gaußsche Funktion ergibt fouriertransformiert wieder dieselbe Funktion. Für die Integrierbarkeit muss sein.
Die Rechteckfunktion und die sinc-Funktion ().
Die Rechteckfunktion ist ein idealisierter Tiefpassfilter, und die si-Funktion ist die akausale Stoßantwort eines solchen Filters.
Die FT der um den Ursprung exponentiell abfallenden Funktion ist eine Lorentzkurve.

Distributionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Signal Fouriertransformierte
Kreisfrequenz
Fouriertransformierte
Frequenz
Hinweise
Hier ist eine natürliche Zahl und die -te Ableitung der Delta-Distribution.
ist der Einheitssprung (Heaviside-Funktion).
Das Signal heißt Dirac-Kamm.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Commons: Fourier transformation – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Martin Donner: Fouriers Beitrag zur Geschichte der Neuen Medien. In: Humboldt-Universität zu Berlin. 2006, abgerufen am 30. Juli 2021.
  2. Dirk Schulze: Digitale Audiokodierung mit MP3, Varianten und Anwendungsgebiete. In: Technische Universität Dresden. 2008, abgerufen am 30. Juli 2021.
  3. Johannes Klotz: Grundlagen der Fourier-Transformation und deren Anwendung in der Magnetresonanztomographie (MRT). Universität Innsbruck, 30. April 2019, abgerufen am 30. Juli 2021.
  4. Beweis mittels Einsetzen der inversen Fouriertransformierten, z. B. wie in Tilman Butz: Fouriertransformation für Fußgänger. Ausgabe 7, Springer DE, 2011, ISBN 978-3-8348-8295-0, S. 53, Google Books.
  5. Helmut Fischer, Helmut Kaul: Mathematik für Physiker. Band 2: Gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen, mathematische Grundlagen der Quantenmechanik. 2. Auflage. B.G. Teubner, Wiesbaden 2004, ISBN 3-519-12080-1, § 12, Abschn. 4.2, S. 300–301.