Benutzer:Wuzel/Spielwiese

In der elementaren Mengenlehre gibt es zwei wichtige Vergleichbarkeitssätze:

Für beliebige Mengen M, N gilt stets: |M| ≤ |N| oder |N| ≤ |M|. (Hier ist |M| ≤ |N| eine Kurzschreibweise für die Aussage "es gibt eine injektive Abbildung von M nach N.)
Wann immer $(A,<)$ und $(B,<)$ Wohlordnungen sind, dann ist eine dieser Wohlordnungen zu einem Anfangsabschnitt der anderen isomorph.

Beweisskizze des Satzes für wohlgeordnete Mengen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für beliebige Wohlordnungen $(A,<)$ und $(B,<)$ definieren wir eine Relation $R_{A,B}\subseteq A\times B$ so:

R_{A,B}:={\bigg \{}(x,y)\in A\times B:\{x\in A:x<a\}\simeq \{y\in B:y<b\}{\bigg \}}

Man kann leicht zeigen, dass $R_{A,B}$ eine partielle injektive Funktion ist (rechtseindeutig und linkseindeutig), dass Definitionsbereich und Wertebereich Anfangsabschnitte von $A$ bzw $B$ sind, und dass diese Funktion streng monoton ist.

Die Annahme, dass sowohl Definitions- und Wertebereich echte Anfangsabschnitte von $A$ bzw $B$ sind, führt auf einen Widerspruch; denn dann müsste es $a_{0}\in A$ und $b_{0}\in B$ geben, sodass $R_{A,B}$ eine Ordnungsisomorphie von $\{x\in A:x<a_{0}\}$ nach $\{y\in B:y<b_{0}\}$ wäre, also wäre nach Definition auch $(a_{0},b_{0})$ in $R_{A,B}$ .

Also ist entweder Definitions- oder Wertebereich von R ganz A bzw ganz B. damit ist dann R entweder eine Isomorphie zwischen A und einem Anfangsabschnitt von B, oder zwischen einem Anfangsabschnitt von A und B.

Beweisskizze des Satzes für beliebige Mengen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien M und N beliebige Mengen. Nach dem Wohlordnungssatz gibt es auf M und N Wohlordnungen (M,<) und (N,<). Nach dem Vergleichbarkeitssatz für Wohlordnungen exiFetter Textstiert ein Isomorphismus f zwischen der einen Wohlordnung und einem Anfangsabschnitt der anderen. Diese Abbildung ist nun eine injektive Funktion von der einen in die andere Menge.

Die Notwendigkeit des Auswahlaxioms[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Vergleichbarkeitssatz für wohlgeordnete Mengen kann ohne Verwendung des Auswahlaxioms bewiesen werden.

Aus dem Vergleichbarkeitssatz für beliebige Mengen folgt hingegen der Wohlordnungssatz, somit auch das Auswahlaxiom: Zu jeder Menge M kann man nämlich nach dem Satz von Hartogs eine Ordinalzahl α finden, die nicht in M injektiv eingebettet werden kann. Nach dem Vergleichbarkeitssatz muss es eine injektive Abbildung von M nach α geben; so eine Abbildung induziert eine Wohlordnung auf M.