Georg Cantor

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Georg Cantor (ca. 1894)

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (* 19. Februarjul./ 3. März 1845greg. in Sankt Petersburg; † 6. Januar 1918 in Halle an der Saale) war ein deutscher Mathematiker. Cantor lieferte wichtige Beiträge zur modernen Mathematik. Insbesondere ist er der Begründer der Mengenlehre und veränderte den Begriff der Unendlichkeit. Der revolutionäre Gehalt seines Werks wurde aber erst im 20. Jahrhundert richtig erkannt.

Leben[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Georg Cantor (ca. 1870)

Cantor wurde als Sohn von Georg Woldemar Cantor, einem wohlhabenden Kaufmann und Börsenmakler, und Marie Cantor, geb. Böhm, in St. Petersburg, der damaligen Hauptstadt Russlands, geboren. Sein Vater war in Kopenhagen geboren und in jungen Jahren mit seiner Mutter nach St. Petersburg gekommen, wo er in der dortigen deutschen lutherischen Mission aufgezogen worden war. Nach Aussagen Cantors stammte der Vater aus einer sephardischen Familie und wurde erst in Sankt Petersburg lutherisch getauft.[1] Die Mutter war in St. Petersburg geboren, römisch-katholisch, und stammte aus einer bekannten österreichischen Musikerfamilie. Die Großeltern mütterlicherseits, Franz Böhm und Marie Böhm, geb. Morawek, waren beide Berufsmusiker (Violinisten), Franz Böhm war Kapellmeister der Kaiserlichen Oper in Sankt Petersburg und der Bruder des Geigers Joseph Böhm.

Die Kinder wurden im lutherischen Glauben und in einem deutschen kulturellen Umfeld aufgezogen. Der Vater war sehr fromm und instruierte seinen Sohn in religiösen Dingen. Zeit seines Lebens blieb Georg Cantor ein tief religiöser Mensch. Die Elementarschule besuchte er in Sankt Petersburg. Als er 11 Jahre alt war, siedelte die Familie wegen des schlechten Gesundheitszustandes des Vaters 1856 von St. Petersburg in das mildere Klima der Kurstadt Wiesbaden und etwas später nach Frankfurt am Main über.

Nach dem Schulabschluss („mit Auszeichnung“) 1860 in Darmstadt begann er auf Wunsch seines Vaters eine Berufsausbildung für Ingenieure. 1862 gelang es ihm, den Vater davon zu überzeugen, dass seine Stärken eher in der Mathematik lagen, und er begann ein Mathematikstudium am Polytechnikum in Zürich. 1863 wechselte er an die Universität nach Berlin. 1866 besuchte er ein Sommersemester lang die Universität Göttingen und wurde 1867 an der Universität Berlin bei Ernst Eduard Kummer promoviert.[2] Zu seinen Lehrern zählten Karl Weierstraß, Ernst Eduard Kummer und Leopold Kronecker. Unmittelbar danach wurde er als Mathematiklehrer am Friedrich-Wilhelm-Gymnasium Berlin tätig. Bereits zu dieser Zeit litt er zeitweilig an Depressionen. Nach der Habilitation 1869 an der Universität Halle mit dem Thema De transformatione formarum ternarium quadricarum lehrte und arbeitete Cantor bis zu seinem Lebensende in Halle, zunächst als Privatdozent, seit 1872 als Extraordinarius und seit 1877 bis zu seiner Emeritierung im Jahr 1913 als ordentlicher Professor. In Halle verkehrte er unter anderem freundschaftlich mit Edmund Husserl, dem Begründer der Phänomenologie.

Im Jahre 1870 gelang ihm die Lösung des mathematischen Problems der Darstellung einer Funktion als Summe trigonometrischer Reihen. Es folgten ab 1872 weitere Arbeiten über trigonometrische Reihen und 1873 der Beweis, das rationale Zahlen abzählbar sind und es zu jeder natürlichen Zahl genau eine rationale Zahl gibt. Bereits im darauffolgenden Jahr gelang ihm der Umkehrschluss, dass reelle Zahlen nicht abzählbar sind. Damit bewies er auch, dass beinahe alle Zahlen transzendent sind.

1874 heiratete er Vally Guttmann, mit der er zwei Söhne und vier Töchter hatte (das letzte Kind wurde 1886 geboren). Der Sohn Erich war Arzt, die Tochter Else eine Konzertsängerin und bekannte Musikpädagogin. Seine Flitterwochen verbrachte er im Harz, wo er auch intensiv mit Richard Dedekind, einem engen Freund, den er zwei Jahre zuvor während eines Urlaubs in der Schweiz kennengelernt hatte, über Mathematik diskutieren konnte. Im gleichen Jahr setzte er seine Veröffentlichungen zur Mengenlehre mit „Über eine Eigenschaft des Inbegriffs aller reellen algebraischen Zahlen“ fort. 1877 behandelte er geometrische Anwendungen der Mengenlehre, zum Beispiel, ob ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 genauso viele Elemente enthält wie die Linie zwischen 0 und 1. Obwohl er ursprünglich von der Annahme ausging, dass es nicht so sei, war er selbst über seine gemachte Entdeckung und die Beweisführung überrascht. „Ich sehe es, aber ich glaube es nicht“ schrieb er selbst. Das hatte große Auswirkungen auf die bisherigen geometrischen Anschauungen. Die dazu von ihm angefertigten Abhandlungen, die er zur Veröffentlichung an Crelles Journal geschickt hatte wurden von seinem früheren Lehrer Leopold Kronecker zurückgehalten, der ein Vertreter finitistischer Mathematik war, dem Begriff der Unendlichkeit skeptisch gegenüberstand und sich zu einem einflussreichen Gegner der Cantorschen Mengenlehre entwickelte. Erst die Intervention seines Freundes Dedekind führten zur Veröffentlichung. Ab 1879 entwickelte er weitere revolutionierende Ideen zur Mengenlehre. So gab er bis 1884 eine Artikelreihe mit dem Titel „Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten“ heraus. Darin begründete er die Grundlagen und Hauptsätze der Mengenlehre. Teil 5 der Reihe beschäftigt sich mit den „Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre“.

Der Widerstand gegen seine mathematischen Ideen belasteten Cantor und führte mit dazu, dass er für fast zehn Jahre sein mathematisches Fachgebiet verließ und sich mit literaturhistorischen Forschungen, philosophischen und theologischen Themen beschäftigte. Das erfolgte fast zeitgleich mit dem stärkeren Ausbruch seiner Krankheit, die ihn in der zweiten Lebenshälfte immer mehr dominierte. So litt Cantor von 1884 an wiederholt an einer manisch-depressiven Erkrankung[3] und musste sich erstmals in psychiatrische Behandlung begeben. Cantors Beschäftigung mit der Frage nach dem „wahren“ Autor der shakespeareschen Werke fällt in die erste Zeit seiner geistigen Erkrankung. Er sprach sich in mehreren Veröffentlichungen für Francis Bacon als Verfasser aus. Ähnliche Erörterungen stellte Cantor auch in Hinblick auf die Werke von Jakob Böhme und John Dee an. Dieses sehr forcierte literaturgeschichtliche Engagement wird oft als Folge seiner Geisteskrankheit betrachtet, doch war die Beteiligung an dem Rätselraten um Shakespeare allgemein sehr verbreitet, und Cantor zeigte stets an Fragen außerhalb seines Fachgebietes großes Interesse, besonders an Philosophie und (katholischer) Theologie, die für ihn in engem Bezug zu den mengentheoretischen Problemen der Unendlichkeit stand.

In diesen zehn Jahren erfuhr er zahlreiche Ehrungen und erlebte auch die zunehmende Wertschätzungen seiner bisherigen mathematischen Erkenntnisse. Er wurde Mitglied der Deutschen Akademie der Naturforscher Leopoldina und beteiligt sich aktiv an der Gründung der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, die 1890 erfolgte. Cantor wurde zum ersten Vorsitzenden gewählt. Erst 1895 griff er seine Arbeiten zur Mengenlehre wieder konsequent auf. Er veröffentlicht die „Beiträge zur transfiniten Mengenlehre“, beschäftigt sich mit der Kontinuumshypothese und besuchte 1897 den ersten internationalen Mathematikerkongress in Zürich.

1899 erfolgte ein zweiter Sanatoriumsaufenthalt. Kurz danach starb Cantors jüngster Sohn plötzlich (während eines Vortrags von Cantor bezüglich der Bacon-Theorie und Shakespeare). Diese Tragödie verstärkte seine Depressionen und beeinträchtigte seine mathematische Arbeit, weshalb er 1903 erneut in einem Sanatorium behandelt wurde.

Ein Jahr später hielt Julius König auf dem Internationalen Mathematikerkongress einen Vortrag, in dem er vermeintlich beweisen konnte, dass die Mächtigkeit des Kontinuums unter den Alephs überhaupt nicht vorkommt[4]. Das widersprach Cantors Kontinuumshypothese. Als Reaktion auf diesen in seiner Wirkung als „sensationell“[4] empfundenen Vortrag soll Cantor sich aufgewühlt und empört darüber gezeigt haben, dass man es gewagt hatte, seine (laut seiner Aussage von Gott übermittelten) Studie widerlegen zu wollen, aber auch darüber, dass seine Töchter und Kollegen die vermeintliche Widerlegung mitanhören mussten und die damit verbundene an ihm vollzogene Demütigung. Obwohl Ernst Zermelo einen Tag später schon demonstrierte, dass Julius Königs Beweisführung falsch war[5], verblieb Cantor schockiert, verärgert und begann sogar, an seinem Glauben zu zweifeln. (Hinsichtlich der Reaktion Cantors auf Königs Vortrag liegen seitens der Teilnehmer des Kongresses aber auch abweichende Schilderungen vor.[5])

1911 wurde Cantor als einer der bevorzugten ausländischen Gelehrten zum 500. Jahrestag der Gründung der Universität St. Andrews in Schottland eingeladen. Zu dieser Zeit veröffentlichte Bertrand Russell mit Alfred North Whitehead das berühmte Werk Principia Mathematica, in dem Russell sich häufig auf Cantors Arbeiten bezog. In der Hoffnung, Bertrand Russell bei diesem Anlass zu treffen, nahm Cantor an der Gründungsfeier von St. Andrews, eine Begegnung kam aber nicht zustande. Ein Jahr später wollte dieselbe Universität Cantor den Ehrendoktortitel verleihen, aber Cantor konnte durch seine Krankheit gehindert nicht persönlich daran teilnehmen.

1913 ging Cantor in Pension, während des Ersten Weltkrieges litt er an Armut und Mangelernährung. Die öffentliche Feier zu seinem 70. Geburtstag wurde wegen des Krieges abgesagt. Am 6. Januar 1918 starb Georg Cantor an einer Herzinsuffizienz in Halle in dem Sanatorium, in dem er das letzte Jahr seines Lebens verbracht hatte. Sein Grab ist auf dem Friedhof Giebichenstein in Halle erhalten.

Sein Nachlass wird vom Zentralarchiv deutscher Mathematiker-Nachlässe an der Niedersächsischen Staats- und Universitätsbibliothek Göttingen aufbewahrt.

Werk[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Cantor befasste sich zunächst mit Zahlentheorie und wandte sich in Halle unter dem Einfluss von Eduard Heine Fourierreihen zu. Er bewies 1869 die Eindeutigkeit der Darstellung von Funktionen durch trigonometrische Reihen, veröffentlicht im Journal für die reine und angewandte Mathematik 1870.[6] Genauer bewies er, dass falls

für alle , dass für alle i. Der Satz bleibt auch bei endlich vielen Ausnahmestellen x gültig (in denen die Fourierreihe nicht konvergiert oder ungleich Null ist).

Er baute beim Beweis auf den Untersuchungen von Bernhard Riemann auf und korrespondierte im Vorfeld des Beweises mit seinem Studienfreund Hermann Amandus Schwarz, der einen wichtigen Baustein des Beweises lieferte.[7] Die Theorie der Fourierreihen war auch der Ausgangspunkt seiner Beschäftigung mit Mengenlehre, als er sich fragte, ob sein Eindeutigkeitssatz bei unendlich vielen Ausnahmestellen erhalten bleibt.[8]

Cantor begründete in den Jahren 1874 bis 1897 die Mengenlehre, die er anfangs (1877) noch Mannigfaltigkeitslehre nannte. Er formulierte 1895 folgende oft zitierte Definition der Menge:

„Unter einer ‚Menge‘ verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die ‚Elemente‘ von M genannt werden) zu einem Ganzen.“[9]

Cantor kam zu seiner Mengenlehre durch die Betrachtung eindeutiger (heute: „bijektiver“) Zuordnungen der Elemente von unendlichen Mengen. Er bezeichnete Mengen, für die eine solche Beziehung hergestellt werden kann, als äquivalent oder „von gleicher Mächtigkeit“, auch „gleichmächtig“. Demnach ist die Menge der natürlichen Zahlen der Menge der rationalen Zahlen (Brüche) äquivalent, was er durch sein Diagonalisierungsverfahren zeigte. Mit seinem zweiten Diagonalargument bewies er dann, dass die Menge der reellen Zahlen mächtiger ist als die der natürlichen Zahlen. Eine Verallgemeinerung war der Satz von Cantor. Die Arbeiten waren unter den Mathematikern seiner Zeit wegen der ungeklärten Fragen hinsichtlich des „aktual Unendlichen“ und der Einführung der transfiniten Zahlen umstritten. Insbesondere geriet Cantor in einen tiefgreifenden wissenschaftlichen Gegensatz zu Leopold Kronecker. Man vermutet hierin den Grund für die Verzögerung der Publikation von Cantors Artikel Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre in Crelles Journal[10]. Diese Kontroverse zwischen Cantor und Kronecker wird als „Präludium für den späteren Streit zwischen Intuitionisten und Formalisten“[11] gesehen. Cantor hatte aber auch schon früh Unterstützung durch einflussreiche Mathematiker, darunter David Hilbert, von dem das klassische Zitat stammt Cantor habe ein Paradies geschaffen, aus dem niemand die Mathematiker vertreiben könne,[12] und Henri Poincaré.

Cantor selbst gehörte auch zu den ersten Entdeckern der Antinomien der naiven Mengenlehre und bewies mit den beiden Cantorschen Antinomien, dass gewisse Klassen keine Mengen sind. Er ist sogar als Schöpfer der axiomatischen Mengenlehre anzusehen, denn Cantors Mengenaxiome aus Briefen von 1889/99, die allerdings erst posthum publiziert wurden, nehmen die Axiome der späteren Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre vorweg.

Auf Cantor gehen auch die Cantorsche Paarungsfunktion (auch Nummerierungsfunktion) zurück.

Schließlich schuf Cantor 1870 mit der sogenannten Punktmenge die Grundlagen der Theorie der später von Benoît Mandelbrot so bezeichneten Fraktale. Die Cantorsche Punktmenge folgt dem Prinzip der unendlichen Wiederholung selbstähnlicher Prozesse. Die Cantor-Menge gilt als das älteste Fraktal überhaupt.

Ehrungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Trivia[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Oper Cantor – Die Vermessung des Unendlichen von Ingomar Grünauer widmet sich dem Leben und Werk Georg Cantors und wurde aus Anlass des 1200-jährigen Stadtjubiläums am 10. November 2006 im Opernhaus Halle uraufgeführt. Die letzte Vorstellung fand am 5. Januar 2007 statt.

Schriften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Georg Cantor: Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts.[13] (Mit Auszügen aus dem Briefwechsel mit Dedekind[14] und Fraenkels Cantor-Biographie[15] im Anhang.)

Zur Zahlentheorie

  • De aequationibus secundi gradus indeterminatis (Dissertation).
  • Zwei Sätze aus der Theorie der binären quadratischen Formen.
  • Über die einfachen Zahlensysteme.
  • Zwei Sätze über eine gewisse Zerlegung der Zahlen in unendliche Produkte.
  • De transformatione formarum ternariarum quadraticarum (Habilitationsschrift).
  • Algebraische Notiz.
  • Zur Theorie der zahlentheoretischen Funktionen.

Zur Analysis

  • Über einen die trigonometrischen Reihen betreffenden Lehrsatz.
  • Beweis, dass eine für jeden reellen Wert von x durch eine trigonometrische Reihe gegebene Funktion f(x) sich nur auf eine einzige Weise in dieser Form darstellen lässt.
  • Über trigonometrische Reihen.
  • Über die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen, 1872.[16]
  • Bemerkung über trigonometrische Reihen.
  • Fernere Bemerkung über trigonometrische Reihen.
  • Über ein neues und allgemeines Kondensationsprinzip der Singularitäten von Funktionen.
  • Bemerkung mit Bezug auf den Aufsatz: Zur Weierstraß-Cantorschen Theorie der Irrationalzahlen.

Zur Mengenlehre

  • Über eine Eigenschaft des Inbegriffs aller reellen algebraischen Zahlen.
  • Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre, 1878.
  • Über einen Satz aus der Theorie der stetigen Mannigfaltigkeiten.
  • Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten.
  • Sur divers théorèmes de la théorie des ensembles de point situés dans un espace continu a n dimensions.
  • De la puissance des ensembles parfait de points.
  • Über verschiedene Theoreme aus der Theorie der Punktmengen in einem n-fach ausgedehnten stetigen Raume Gn. Zweite Mitteilung.
  • Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre, 1890/91.[17]
  • Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre 1895/1897.[18][19]

Sonstige

  • Über die verschiedenen Standpunkte in Bezug auf das aktuale Unendliche, 1886.[20]
  • Herbert Meschkowski (Hrsg.): Briefe. Springer, Berlin 1991.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Film[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Georg Cantor – Der Entdecker der Unendlichkeiten. Dokumentarfilm, Deutschland, 2018, 44:13 Min., Buch und Regie: Ekaterina Eremenko, Produktion: Saxonia Entertainment, MDR, Erstsendung: 4. März 2018 im MDR, Inhaltsangabe und online-Video von MDR. Unter anderem mit den Mathematikern Felix Günther, Walter Purkert, Karin Richter, Galina Sinkevich, Eberhard Knobloch, Alexander Bobenko.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Georg Cantor – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Werke

Über Cantor

Biografien

Quellen und Bemerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Brief von Cantor an Paul Tannery vom 6. Januar 1896, in dem es um die Frage der Verwandtschaft mit Moritz Cantor ging. (In: Anne-Marie Décaillot, Cantor und die Franzosen, Springer, 2011, S. 173.) Cantor war der Ansicht, nicht mit Moritz Cantor verwandt zu sein. Dieser selbst schrieb aber in einem Brief an Tannery, er wäre ebenfalls aus derselben sephardischen Familie, nur aus einem Zweig der nach Amsterdam, statt nach Kopenhagen gegangen war. Dagegen stimmen Purkert und Ilgauds darin überein (in: Georg Cantor 1845–1918, Birkhäuser, Basel 1987, S. 15), dass sein Großvater väterlicherseits nicht jüdisch gewesen wäre trotz der Nachforschungen von verschiedener Seite.
  2. Mathematics Genealogy Project
  3. Walter Purkert, Hans Joachim Ilgauds: Georg Cantor 1845–1918. 1987, S. 79 ff.
  4. a b Walter Purkert, Hans Joachim Ilgauds: Georg Cantor 1845–1918. 1987, S. 160.
  5. a b Walter Purkert, Hans Joachim Ilgauds: Georg Cantor 1845–1918. 1987, S. 161.
  6. Georg Cantor: Beweis, dass eine für jeden reellen Werth von x durch eine trigonometrische Reihe gegebene Function f(x) sich nur auf eine einzige Weise in dieser Form darstellen lässt. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. Band 72, 1870, S. 139–142 (uni-goettingen.de [abgerufen am 5. Juli 2013] digitalisiert an der Universität Göttingen).
  7. Walter Purkert, Hans Joachim Ilgauds: Georg Cantor 1845–1918. 1987, S. 34.
  8. David Foster Wallace: Die Entdeckung des Unendlichen. 4. Auflage, S. 295 ff.
  9. Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre. In: Mathematische Annalen. Band 46, S. 481.
  10. Walter Purkert, Hans Joachim Ilgauds: Georg Cantor 1845–1918. 1987, S. 51 ff.
  11. Walter Purkert, Hans Joachim Ilgauds: Georg Cantor 1845–1918. 1987, S. 53.
  12. Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können, Hilbert, Über das Unendliche, Mathematische Annalen, Band 95, 1926, S. 170, Digitalisat (ab S. 161)
  13. E. Zermelo (Hrsg.): Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts. Springer, Berlin 1932. (Reprint: Springer, 1980.)
  14. S. 443f.
  15. S. 452f.
  16. Über die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen. 1872.
  17. Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre. 1890/91.
  18. Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre. 1. Artikel. In: Mathematische Annalen. 46, 1895.
  19. Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre. 2. Artikel. In: Mathematische Annalen. 49, 1897.
  20. Über die verschiedenen Standpunkte in Bezug auf das aktuale Unendliche. 1886.