Isomorphismus

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Dieser Artikel bezieht sich auf die Isomorphie in der Mathematik; zu anderen Bedeutungen siehe Isomorphie.

In der Mathematik ist ein Isomorphismus (von altgr. ἴσος (ísos) - „gleich“ und μορφή (morphḗ) - „Form“, „Gestalt“) eine Abbildung zwischen zwei mathematischen Strukturen, durch die Teile einer Struktur auf „bedeutungsgleiche“ Teile einer anderen Struktur umkehrbar eindeutig (bijektiv) abgebildet werden.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Universelle Algebra[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der universellen Algebra heißt eine Funktion zwischen zwei algebraischen Strukturen (zum Beispiel Gruppen, Ringen, Körpern oder Vektorräumen) ein Isomorphismus, wenn:

Gibt es einen Isomorphismus zwischen zwei algebraischen Strukturen, dann heißen die beiden Strukturen zueinander isomorph. Isomorphe Strukturen sind in gewisser Weise „das gleiche“, nämlich dann, wenn man von der Darstellung der Elemente der zugrundeliegenden Mengen und den Namen der Relationen und Verknüpfungen absieht.

Die Aussage „ und sind isomorph“ wird üblicherweise durch oder durch notiert.

Ist ein bijektiver Homomorphismus zwischen zwei algebraischen Strukturen, dann ist immer auch ein bijektiver Homomorphismus.

Relationale Strukturen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es seien und zwei relationale Strukturen vom gleichen Typ sodass für jedes die Stelligkeit der Relationen und bezeichnet. Eine Bijektion heißt Isomorphismus, wenn sie für jedes und für alle die folgende Verträglichkeitseigenschaft besitzt:

Im Gegensatz zu algebraischen Strukturen ist nicht jeder bijektive Homomorphismus zwischen relationalen Strukturen ein Isomorphismus. Ein Beispiel für Isomorphismen zwischen relationalen Strukturen sind Isomorphismen zwischen Graphen.

Kategorientheorie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Kategorientheorie definiert man einen Isomorphismus allgemein als einen Morphismus der ein beidseitiges Inverses besitzt:

und

Die oben definierten Isomorphismen zwischen algebraischen Strukturen sowie zwischen relationalen Strukturen sind Spezialfälle dieser Definition. Weitere Spezialfälle dieses Isomorphiebegriffes sind beispielsweise Homöomorphismen als Isomorphismen in der Kategorie der topologischen Räume und stetige Abbildungen oder Homotopieäquivalenzen als Isomorphismen in der Kategorie der topologischen Räume mit den Homotopieklassen von Abbildungen als Morphismen.

Bedeutung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Kategorientheorie ist von entscheidender Bedeutung, dass Funktoren Isomorphismen erhalten, d. h. ist ein Isomorphismus in einer Kategorie und ein Funktor, dann ist

ebenfalls ein Isomorphismus, in der Kategorie . In der algebraischen Topologie wird diese Eigenschaft häufig ausgenutzt, um Räume unterscheiden zu können: Sind beispielsweise die Fundamentalgruppen zweier Räume nicht isomorph, so sind die Räume nicht homöomorph.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sind und Mengen mit einer binären Verknüpfung, dann ist ein Isomorphismus von nach eine Bijektion mit

für alle . So ist etwa der Logarithmus ein Isomorphismus von nach , da .

Eine binäre Verknüpfung ist eine dreistellige Relation. Aber auch zu zweistelligen Relationen lassen sich Homo- und Isomorphismen definieren (s. u. #Ordnungsisomorphismus).

Bei manchen Isomorphismen impliziert die Homomorphie der Funktion auch die der Umkehrfunktion; bei den anderen muss man sie extra nachweisen.

Gruppenisomorphismus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sind die Strukturen Gruppen, dann heißt ein solcher Isomorphismus Gruppenisomorphismus. Meist meint man mit Isomorphismen solche zwischen algebraischen Strukturen wie Gruppen, Ringen, Körpern oder Vektorräumen.

Isometrischer Isomorphismus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sind und metrische Räume und ist eine Bijektion von nach mit der Eigenschaft

für alle ,

dann nennt man einen isometrischen Isomorphismus.

In den bisherigen Beispielen sind Isomorphismen genau die homomorphen Bijektionen – die Umkehrabbildung ist automatisch homomorph. In den folgenden Beispielen muss zusätzlich gefordert werden, dass auch die Umkehrabbildung homomorph ist.

In der Funktionalanalysis nennt man eine Abbildung zwischen normierten Räumen einen Isomorphismus, wenn sie folgende Eigenschaften hat:

Falls zusätzlich für alle gilt , so nennt man einen isometrischen Isomorphismus.

Ordnungsisomorphismus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sind und geordnete Mengen, dann ist ein (Ordnungs-)Isomorphismus von nach eine ordnungserhaltende Bijektion, deren Umkehrfunktion ebenfalls ordnungserhaltend ist. Ordnungserhaltende Bijektionen zwischen totalgeordneten Mengen sind automatisch Isomorphismen; für Halbordnungen gilt dies nicht: ist offenkundig eine ordnungserhaltende Bijektion von mit der Teilerrelation nach mit der gewöhnlichen Ordnung, aber nicht in der Gegenrichtung. Ordnungsisomorphismen spielen in der Theorie der Ordinalzahlen eine wichtige Rolle. Man sagt auch, und seien ordnungsisomorph oder vom selben Ordnungstyp. Der Ordnungstyp der natürlichen Zahlen wird mit und der der rationalen Zahlen mit bezeichnet. Der Ordnungstyp der rationalen Zahlen im offenen Intervall ist ebenfalls Beide sind dicht in ihrer jeweiligen Vervollständigung. Die Ordnungstypen der reellen Zahlen und des Intervalls sind ebenfalls gleich, aber verschieden von da es keine Bijektion zwischen und gibt.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Klaus Jänich, Topologie, Springer-Verlag, 1.korrigierter Nachdruck der 8. Auflage 2006, ISBN 3-540-21393-7

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Wiktionary: Isomorphismus – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen