Benutzer:Zimmi/Casimir-Operator

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Eine Casimir-Invariante ist ein Element aus dem Zentrum (Algebra) der universellen einhüllenden Algebra. Im Fall von halbeinfachen Lie-Algebren können Casimir-Invarianten zur Klassifizierung aller irreduziblen Darstellungen verwendet werden. Das Bild einer Casimir-Invariante unter einer Darstellung der universellen einhüllenden Algebra ist ein Operator, der mit der gesammten Darstellung vertauscht und wird als Casimir-Operator bezeichnet. Etwas allgemeiner werden manchmal auch solche Operatoren auf dem Darstellungsraum, die nicht Bild einer Casimir-Invariante sind, aber dennoch mit der gesammten Darstellung vertauschen, als Casimir-Operatoren bezeichnet. Casimir-Operatoren sind bedeutsam für die Physik, da wichtige physikalische Größen in Systemen mit Symmetrien häufig zu dieser Klasse gehören.

Mathematische Bedeutung

Sei ${\mathfrak {g}}$ eine Lie-Algebra und $U({\mathfrak {g}})$ die zugehörige universelle einhüllende Algebra. Ein Element von $U({\mathfrak {g}})$ heißt Casimir-Invariante, wenn es mit allen anderen Elementen von $U({\mathfrak {g}})$ kommutiert.

Beispiel

Auf der endlichdimensionalen Lie-Algebra ${\mathfrak {g}}$ sei ein invariantes Skalarprodukt $\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle$ fest gewählt. Die Invarianz bedeutet hier

$\left\langle \left[X,Y\right],Z\right\rangle =\left\langle X,\left[Y,Z\right]\right\rangle$

Für halbeinfache Lie-Algebren definiert die Killing-Form stets ein solches Skalarprodukt. Sei $X_{1},\ldots ,X_{n}$ eine Orthonormalbasis bezüglich dieser Form. Dann ist

$L=\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{2}$

unabhängig von der konreten Wahl der Orthonormalbasis und wird als das quadratische Casimir-Element von ${\mathfrak {g}}$ bezeichnet. Für die folgenden Rechnungen wird die Summenkonvention verwendet. Um zu zeigen, dass $L$ tatsächlich im Zentrum von $U({\mathfrak {g}})$ liegt schreiben wir zunächst die Lie-Klammer der Basiselemente wie folgt

$\left[X_{i},X_{j}\right]=C_{ijk}X_{k}$.

Aus der Antisymmetrie der Lie-Klammer folgt die Antisymmetrie der Koeffizienten $C_{ijk}$ in den ersten beiden Indizes. Die Invarianz des Skalarproduktes (angewendet auf $X=X_{i}$, $Y=X_{j}$, $Z=Z_{k}$) liefert die zyklische Invarianz $C_{ijk}=C_{jki}$. Daraus folgt schließlich die Antisymmetrie bei Vertauschung zweier beliebiger Indizes. Es gilt dann

${\begin{aligned}\left[X_{i}X_{i},X_{j}\right]&=X_{i}\left[X_{i},X_{j}\right]+\left[X_{i},X_{j}\right]X_{i}\\&=C_{ijk}X_{i}X_{k}+C_{ijk}X_{k}X_{i}\\&=C_{ijk}X_{i}X_{k}+C_{kji}X_{i}X_{k}\\&=C_{ijk}X_{i}X_{k}-C_{ijk}X_{i}X_{k}\\&=0.\end{aligned}}$

Das Element $L$ vertauscht also mit den Elementen einer Basis von ${\mathfrak {g}}$. Nach dem Satz von Poincaré-Birkhoff-Witt vertauscht $L$ damit mit allen Elementen aus $U({\mathfrak {g}})$.