Benutzer Diskussion:Lefschetz/Spielwiese

Irre ich mich oder setzt du in deinem Text (faktisch) bayessch mit der Verwendung bedingter Wahrscheinlichkeiten gleich und frequentistisch mit der Berechnung der (totalen) 2/3-Wahrscheinlichkeit. Anders ausgedrückt auch eine frequentistische Sicht erlaubt die Verwendung des Satzes von Bayes und Modellierung des Moderatorverhaltens und damit andere Lösungen als die 2/3-Variante. Wenn ich mich richtig erinnere ist der Artikel von Morgan et al sogar primär aus frequentistischer Sicht geschrieben (jedenfalls auf alle Fälle einige der anderen Lösungen die den Satz von Bayes verwenden (z.B. Henze oder Rosenhouse).--Kmhkmh (Diskussion) 22:12, 3. Jan. 2014 (CET)

Erst mal ganz herzlichen Dank für Deine Anmerkung! Ich hätte Sie übrigens fast nicht gesehen, weil ich beim Einloggen keine Meldung bekommen habe (da scheint das neue Mitteilungssystem noch eine Lücke zu haben, aber ich habe die Seite jetzt zu meinen Beobachtungsseiten hinzugenommen).

Ich gebe, wie gerade Du ja auch mehrmals zurecht gefordert hast, Literatur wieder, und zwar nach besten Wissen und Gewissen, also sicher mit positiver a-priori-Wahrscheinlichkeit für Fehlinterpretationen.

Dass fast alle Autoren bedingte Wahrscheinlichkeiten verwenden, ist klar. Bei der einfachen Lösung scheint das nicht der Fall zu sein, weil dort die bedingten Wahrscheinlichkeiten nicht notwendig erscheinen. Aber sie tauchen sowohl bei Bewersdorff wie Georgii auf (wenn auch in voneinander abweichenden Versionen).

Bedingte Wahrscheinlichkeiten und der Satz von Bayes sind zunächst einmal unbestrittene Bestandteile der klassischen, frequentistisch interpretierten Wahrscheinlichkeitsrechnung. Und so taucht der Begriff Baysian bei Morgan et al erst ganz am Schluss, nach seinen Berechnungen auf Basis des Bayes-Satzes auf (gut, dass es Volltextsuche in elektronischen Dokumenten gibt!), bevor sie zu ihrer 19 Jahre später als falsch erkannten Rechnung ansetzen:

This provides an excellent opportunity to bring in the Bayesian perspective. For instance, the noninformative prior in the vos Savant scenario makes this probability ...

Nach der fehlerhaften Berechnung kommentieren sie:

Although posterior Pr(Ws|D3) can be made less than 2/3 by priors with large weight on q near 1, it can never be less than 1/2. So Bayesian or non-Bayesian, the decision is the same: The player should switch.

Bei frequetistisch oder Bayessch geht es also nicht um Berechnungen von bedingten Wahrscheinlichkeiten und einer Verwendung des Satzes von Bayes. Bayessche Ansätze sind m.E. zu erkennen an: Prior-Annahmen und noch deutlicher bei der Interpretation an der Betonung, dass es sich um einen einmaligen Vorgang handelt, der so nicht noch einmal zu reproduzieren ist.

Die Übergänge sind aber fließend. Ich habe das versucht, mit den Abschnitten Empirische Überprüfung einer Bayesschen Lösung? und Frequentistische und Bayessche 2/3-Lösung zu beleuchten (die „Bayessche“ 2/3-Lösung wird in Lehrbüchern m.E. immer klar als frequentistische Lösung dargelegt). Ob es mir gelungen ist, naja ...

Georgii in Langfassung:

Diese Trivialität liegt daran, dass wir den Moderator auf eine feste Verhaltensweise festgelegt haben, dass er also das Spiel immer so durchführt wie beschrieben, und daher das Ereignis A mit Sicherheit eintritt. Dies wiederum hat seinen tieferen Grund darin, dass wir implizit von der frequentistischen Interpretation der bedingten Wahrscheinlichkeiten ausgegangen sind, welche dieWiederholbarkeit des Vorgangs und also feste Regeln voraussetzt. Nun wird der Moderator das Spiel aber nicht regelmäßig durchführen (dann gäbe es für Spieler und Zuschauer keinen Überraschungseffekt), sondern nur einmal. Unter diesem Gesichtspunkt ist die subjektive Interpretation angemessener. Also kommt es darauf an, wie der Spieler das Verhalten des Moderators einschätzt. Der Spieler darf sicher wieder vermuten, dass der Moderator nicht die Gewinntür öffnen wird, und also den Ansatz ... machen

Ganz ähnlich Gillman:

In Vancso und Wickmann (1999) finden wir die bemerkenswerte Feststellung, dass die obige Lösung in keiner Weise das Verhalten des Spielleiters berücksichtigt. Denn wenn die Kandidatin zuerst die Autotür wählt, dann (und nur dann) kann der Spielleiter sich aussuchen, welche der beiden Ziegentüren er öffnen möchte. Üblicherweise sagt man, jede der beiden verbleibenden Türen habe in diesem Falle die gleiche Chance, geöffnet zu werden. Wir wollen nun mit dieser Voraussetzung den Bayesianischen Ansatz ausführen (nach Vancso und Wickmann (1999), siehe auch Wikipedia (2005)). Es werde mit ...

Dabei darf folgender grundlegender Unterschied nicht übersehen werden: Der Bayes-Ansatz modelliert das Verhalten des Spielleiters für den Fall, dass zuerst die Autotür erwischt wurde, die eben referierte neue Regel (für dieselbe Situation!) wird dahingehend untersucht, ob mit ihr die Wechselstrategie neu bewertet werden muss ("nein", diese "andere Idee" stellt nur eine Variante an der handelnden Oberfläche dar, sie ist im Grunde in der klassischen Beschreibung enthalten).

Letztlich stecken hinter diesen semantischen und leider im Sinne der Klarheit nicht immer nummerischen Differenzen unterschiedliche Wahrscheinlichkeitsbegriffe, die den jeweiligen Betrachtungsweisen zugrunde liegen: Die klassische Lösung (siehe Abschnitt 1) ist frequentistisch zu deuten: Auf lange Sicht (d. h. bei oftmaligen Durchführungen des Spiels) wird in 2/3 der Fälle das Auto gewonnen, wenn alle Kandidat/innen sich der Wechselstrategie bedienen.

Verfolgen alle die Bleibenstrategie, dann passiert dies a la longue in 1/3 der Fälle. Voraussetzung ist, dass bei jedem Spiel das Auto jeweils die Chance 1/3 hat, hinter einer bestimmten Tür zu stehen. Die Bayesianische Lösung liefert eine Bewertungsgrundlage Bewertungsgrundlage einer Einzelsituation. Wie soll sich die Kandidatin hic et nunc verhalten, nachdem der Spielleiter eine Tür geöffnet hat? Weiß sie nichts über seine Vorlieben bzw. weiß sie, dass er im Falle des Falles eine Münze wirft (bzw. vorsorglich vor dem Spiel geworfen hat), bringt Wechseln eine Erfolgschance von 2/3 (im Vergleich zu 1/3 vor dem Öffnen der Tür) mit sich, kennt sie gewisse Tendenzen bei ihm, kann diese Erfolgschance sogar noch größer, aber auch kleiner werden.

Mit dem Bayesianischen Ansatz springt man also mitten in den Geschehensablauf hinein und fragt, mit welchen Wahrscheinlichkeiten das Auto hinter den beiden noch verschlossenen Türen steht. Das sind zwei mögliche Zustände; man fragt also nach sogenannten Zustandswahrscheinlichkeiten oder Erkenntniswahrscheinlichkeiten (und nicht nach Wahrscheinlichkeiten zukünftiger Zufallsereignisse).

--Lefschetz (Diskussion) 10:44, 4. Jan. 2014 (CET)

Nachsatz: Die Aufteilung in Unterüberschriften kann wirklich Verwirrung stiften. Mir fällt aber im Moment noch keine bessere Lösung ein. Möglichkeit: Überschrift "Bayessche (bzw. Bayesianische) Sicht" -> "Bedeutung des Moderatorverhaltens"; zwei Abschnitte später (vor "Dass es ...") dann die Überschrift "Bayessche (bzw. Bayesianische) Sicht" Wäre das besser?--Lefschetz (Diskussion) 11:17, 4. Jan. 2014 (CET)

Mir ist der Unterschied zwischen bayessch und dem Satz von Bayes/bedingten Wahrscheinlichkeiten schon klar. Mir ging es darum, dass ein unbedarfter Leser beim Lesen des Textes den Eindruck einer Gleichsetzung gewinnen mag und am Ende glaubt, eine frequentistische Sichtweise würde immer zu einer 2/3-Lösung führen (was falsch ist).--Kmhkmh (Diskussion) 11:24, 4. Jan. 2014 (CET)

Ich habe mittlerweile versucht, die Abschnitte etwas anders einzuteilen. Für Hinweise auf Passagen, die missdeutig sind, bin ich aber trotzdem dankbar. Ich bin da selbst nicht ganz glücklich. Die Schwierigkeit liegt m.E. an der Tatsache, dass man der Mathematik der Bayes-Formel nicht ansieht, mit welcher Interpretation sie betrieben wird. Möglichkeit: Vielleicht erst etwas zur Motivation frequentistisch/Bayessch und dann erst die mathematischen Sachverhalte, dann aber ohne die Begriffe frequentistisch/Bayesch? --Lefschetz (Diskussion) 13:05, 4. Jan. 2014 (CET)