Benutzer:Lefschetz/Spielwiese

Zur gelegentlichen Überarbeitung:

Literatur zum Ziegenproblem

Selvin, Steve (February 1975), "A problem in probability (letter to the editor)", American Statistician 29 (1): 67 JSTOR

Selvin, Steve (August 1975), "On the Monty Hall problem (letter to the editor)", American Statistician 29 (3): 134 online excerpt, JSTOR

vos Savant, Marilyn (1990–1991). "Game Show Problem", retrieved from [1] Dec. 16, 2012.

vos Savant, Marilyn (9 September 1990a). "Ask Marilyn". Parade Magazine: 16.

vos Savant, Marilyn (1990b). "Ask Marilyn" column, Parade Magazine p. 25 (2 December 1990).

vos Savant, Marilyn (1991a). "Ask Marilyn" column, Parade Magazine p. 12 (17 February 1991).

vos Savant, Marilyn (1991b). "Ask Marilyn" column, Parade Magazine p. 26 (7 July 1991).

vos Savant, Marilyn (1991c). "Marilyn vos Savant's reply (letters to the editor)", American Statistician 45(4): 347 (November 1991), JSTOR

vos Savant, Marilyn (2006). "Ask Marilyn" column, Parade Magazine p. 6 (26 November 2006).

Sonstige Literatur

Spiele / Automaten: Die Lohntütenschlucker. In: Der Spiegel. Nr. 15, 1954, S. 34–37 (online – 7. April 1954). 

„Das zeigt die ganze Heuchelei des Staates“. SPIEGEL-Report über die politische Förderung und wirtschaftliche Ausbeutung der Spielsucht. In: Der Spiegel. Nr. 48, 1986, S. 92–107 (online – 24. November 1986). 

Spielrausch: „Stärker als die Liebe“. In: Der Spiegel. Nr. 6, 1988, S. 206–218 (online – 8. Dezember 1988). 

Harry von Rosen - von Hoewel, Handbuch der Automatenwirtschaft, Köln 1956, UB Bf: KN710 H2D4A

Ministerialblatt des Bundesministers für Wirtschaft (BWMBl.), 1951, S. 190 und/oder 292, 1953 S. 273 und 1956, S. 345, Bf UB: KG001 D4W7M

Spielbanken:

Heinz Diegmann, Christof Hoffmann, Wolfgang Ohlmann, Praxishandbuch für das gesamte Spielrecht, Stuttgart 2008, S. 68 ff. in der Google-Buchsuche

BGBl. 1953 I S. 935

BGBl. 1954 I S. 112

Vorlage mit Google-Buchsuche (Beispiel): Wolf-Armin von Reitzenstein: Lexikon fränkischer Ortsnamen. Herkunft und Bedeutung. Oberfranken, Mittelfranken, Unterfranken. C. H. Beck, München 2009, ISBN 978-3-406-59131-0, S. 253–270 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche). 

Library

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Verfügbare Editionen

Die erste Übersetzung in eine europäische Sprache samt einer breiten Verfügbarmachung geht auf Henry Thomas Colebrooke im Jahr 1817 zurück. Im Jahr 1902 wurde eine Edition ohne Übersetzung herausgegeben.. Eine Originalversion in Sanskrit mit Kommentaren in Englisch wurde 1966 veröffentlicht.

Inhalt

Das Buch besteht aus 24 Kapiteln, die vor allem der Astronomie gewidmet sind. Zwei Kapitel behandeln mathematische Themen und sind eine deutliche Weiterentwicklung der Mathematik, wie sie im ungefähr 120 Jahre älteren Werk Aryabhatiya des Mathematikers Aryabhata dargelegt ist: In den 66 Versen von Kapitel XII und den 101 Versen von Kapitel XVIII werden arithmetische und algebraische Rechenmethoden ohne Beweise äußerst knapp beschrieben.

Negative Zahlen

Im Buch findet sich die älteste bekannte systematische Beschreibung der Eigenschaften der Null, der positiven und negativen Zahlen, wobei eine Vorstellung von Eigentum und Schuld zugrunde liegt:

„[Die Summe] von zwei Positiven ist positiv, von zwei Negativen negativ; von einer Positiven und einer Negativen ist [die Summe] ihre Differenz; wenn sie gleich sind, ist sie null. Die Summe einer Negativen und null ist negativ, von einer Positiven und null positiv und von zwei Nullen null. [Wenn] eine kleinere Positive subtrahiert wird von einer größeren Positiven, [dann] ist [das Ergebnis] positiv; [wenn] eine kleinere Negative von einer größeren Negativen, [so] ist [das Ergebnis] negativ; … Das Produkt einer Negativen und einer Positiven ist negativ, von zwei Negativen positiv, von zwei Positiven positiv; das Produkt von null und einer Negativen, von null und einer Positiven oder von zwei Nullen ist null ...“

– Brahmagupta: Brāhmasphuṭasiddhānta, Kapitel XVIII, Verse 30 bis 33

Quadratische Gleichungen

Die Zulässigkeit negativer Zahlen verwendete Brahmagupta dazu, quadratische Gleichungen in allgemeiner Form ohne Fallunterscheidungen zu lösen. Konkret beschrieb er die Berechnung einer Lösung der quadratischen Gleichung, die man heute in der Form

$a{x}^{2}+bx=c$  mit $a,b,c\in \mathbb {R}$ und $a>0$

notiert, in verbaler Weise, d. h. ohne Formeln:

„Verringere mit der mittleren [Zahl] [gemeint: der Koeffizient der Unbekannten, also $b$] die Quadratwurzel des Absolutwertes multipliziert mit dem Vierfachen des Quadrats [gemeint: Koeffizient $a$ des Quadrats der Unbekannten] und erhöht um das Quadrat der mittleren Zahl; teile den Rest durch das doppelte des Quadrats [gemeint: Koeffizient $a$ des Quadrats der Unbekannten]. [Das Ergebnis] ist die mittlere [Zahl] [gemeint: die Unbekannte $x$]“

– Brahmagupta: Brāhmasphuṭasiddhānta, Kapitel XVIII, Vers 44

Das entspricht der Lösungsformel

$x={\frac {{\sqrt {4ac+b^{2}}}-b}{2a}}\ .$

Pellsche Gleichungen

In Kapitel XVIII, Verse 64 bis 71 werden spezielle diophantische Gleichungen, nämlich Pellsche Gleichungen, untersucht. Dabei wird zu zwei (nicht unbedingt verschiedenen) Lösungspaaren $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})$ der Pellschen Gleichung

$x^{2}-ny^{2}=1$

Ein Kommentar von Brahmaguptas Brāhmasphuṭasiddhānta, den Pṛthūdhaka im 10. Jahrhundert erstellt hat

ein drittes Lösungspaar $(x_{3},y_{3})$ mittels der Brahmagupta-Identität berechnet. Brahmagupta verwendet sogar noch eine etwas allgemeinere Version, bei der zu Lösungspaaren $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})$ der beiden Gleichungen

$x_{1}^{2}-ny_{1}^{2}=k_{1}$ und $x_{2}^{2}-ny_{2}^{2}=k_{2}$

ein Lösungspaar der Gleichung

$x_{3}^{2}-ny_{3}^{2}=k_{1}k_{2}$, nämlich

$x_{3}=x_{1}x_{2}+ny_{1}y_{2}$ und $y_{3}=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}$,

berechnet wird.

Mittels dieser Technik gelingt es Brahmagupta, zur Pellschen Gleichung

$x^{2}-92y^{2}=1$

das Lösungspaar $x=1151,y=120$ zu konstruieren: Ausgehend von der Identität $10^{2}-{92\cdot 1^{2}}=8$ wird das ihr entsprechende Lösungspaar doppelt verwendet. Man erhält damit die Identität $192^{2}-{92\cdot 20^{2}}=64$, was nach einer Division durch 64 zur Identität $24^{2}-{92\cdot ({\tfrac {5}{2}})^{2}}=1$ führt. Mit einer nochmals doppelten Verwendung dieses Lösungspaars $(2,{\tfrac {5}{2}})$ in der Brahmagupta-Identität ergibt sich daraus tatsächlich die Lösung $x=1151,y=120$ der Pellschen Gleichung $x^{2}-{92{y^{2}}}=1$.

Brahmagupta bemerkt, dass eine Person, die dieses Problem in einem Jahr lösen könne, ein Mathematiker sei.