Bochner-Integral

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Das Bochner-Integral, benannt nach Salomon Bochner, ist eine Verallgemeinerung des Lebesgue-Integrals auf Banachraum-wertige Funktionen.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es seien ein -endlicher, vollständiger Maßraum und ein Banachraum.

Das Bochner-Integral einer Funktion ist nun folgendermaßen definiert:

Als einfache Funktion bezeichnen wir Funktionen der Gestalt

mit Faktoren und messbaren Mengen , wobei deren Indikatorfunktion bezeichnet. Das Integral einer einfachen Funktion ist nun auf naheliegende Weise definiert:

,

wobei dies wohldefiniert, also unabhängig von der konkreten Zerlegung von ist.[1]

Eine Funktion heißt -messbar, wenn es eine Folge einfacher Funktionen gibt, so dass für -fast alle gilt.[2]

Eine -messbare Funktion heißt Bochner-integrierbar[3], falls es eine Folge einfacher Funktionen gibt, so dass

  • für -fast alle gilt und
  • zu jedem ein existiert mit
für alle .

In diesem Fall ist

wohldefiniert, das heißt unabhängig von der Wahl der konkreten Folge mit obigen Eigenschaften.[4] Falls und , so schreibt man

mit

sofern Bochner-integrierbar ist. [5]

Messbarkeitssatz von Pettis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der folgende auf Billy James Pettis zurückgehende Satz charakterisiert die -Messbarkeit:

Die Funktion ist genau dann -messbar, wenn die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind:

  • Für jedes stetige lineare Funktional ist -messbar.
  • Es gibt eine -Nullmenge , so dass separabel bzgl. der Normtopologie ist.

Ist ein separabler Banachraum, so ist die zweite Bedingung automatisch erfüllt und damit entbehrlich. Insgesamt ist die -Messbarkeit -wertiger Funktionen mit diesem Satz auf die -Messbarkeit skalarer Funktionen zurückgeführt.

Bochner-Integrierbarkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die folgende von Bochner gefundene äquivalente Charakterisierung Bochner-integrabler Funktionen erlaubt es, einige klassische Resultate der lebesgueschen Integrationstheorie wie z. B. den Satz von der majorisierten Konvergenz auf das Bochner-Integral zu übertragen:

Eine -messbare Funktion ist genau dann Bochner integrabel, wenn Lebesgue integrabel ist.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In diesem Abschnitt ist ein Banachraum und sind integrierbare Funktionen.

Linearität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Bochner-Integral ist linear, das heißt, für Bochner-integrierbare Funktionen und beliebige ist auch integrierbar, und es gilt:

.

Verkettung mit einem stetigen Operator[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein Banachraum und ein stetiger linearer Operator. Dann ist eine integrierbare Funktion und es gilt[6]

.

Radon–Nikodym-Eigenschaft[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Radon-Nikodym-Eigenschaft

Der Satz von Radon-Nikodým gilt für das Bochner-Integral im Allgemeinen nicht. Banachräume, für die dieser Satz gilt, bezeichnet man als Banachräume mit der Radon-Nikodym-Eigenschaft. Reflexive Räume besitzen stets die Radon-Nikodym-Eigenschaft.[7]

Bochner-Lebesgue-Räume[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ein -endlicher, vollständiger Maßraum und ein Banachraum, so nennt man den Raum der Bochner-integrierbaren Funktionen einen Bochner-Lebesgue-Raum, wobei wie üblich -fast gleiche Funktionen identifiziert werden. Man erhält mit der Norm

einen Banachraum. Dieser lässt sich wie folgt als Tensorprodukt beschreiben. Man rechnet nach, dass durch

eine bilineare Abbildung gegeben ist, die einen isometrischen Isomorphismus

definiert, wobei das projektive Tensorprodukt bezeichne.[8]

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. Band 3. Birkhäuser, Basel u. a. 2001, ISBN 3-7643-6613-3.
  • Malempati M. Rao: Measure Theory and Integration (= Pure and Applied Mathematics. A Program of Monographs, Textbooks, and Lecture Notes. Bd. 265). 2nd edition, revised and expanded. Dekker, New York NY u. a. 2004, ISBN 0-8247-5401-8, S. 505 ff.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. Band 3. 2001, Bemerkung X.2.1 (a).
  2. Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. Band 3. 2001, S. 65.
  3. Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. Band 3. 2001, S. 87.
  4. Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. Band 3. 2001, Korollar X.2.7.
  5. Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. Band 3. 2001, S. 94.
  6. Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. Band 3. 2001, S. 92.
  7. Joseph Diestel, John Jerry Uhl: Vector Measures (= Mathematical Surveys. Bd. 15). American Mathematical Society, Providence RI 1977, ISBN 0-8218-1515-6, Corollary III.2.13.
  8. Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Beispiel 2.19