Satz von Radon-Nikodým

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In der Mathematik verallgemeinert der Satz von Radon-Nikodým die Ableitung einer Funktion auf Maße und signierte Maße. Er gibt darüber Auskunft, wann ein (signiertes) Maß durch das Lebesgue-Integral einer Funktion darstellbar ist, und ist sowohl für die Maß- als auch für die Wahrscheinlichkeitstheorie von zentraler Bedeutung.

Benannt ist der Satz nach dem österreichischen Mathematiker Johann Radon, der 1913 den Spezialfall bewies, und dem Polen Otton Marcin Nikodým, der 1930 den allgemeinen Fall beweisen konnte.

Vorbemerkung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ein Maß auf dem Messraum und ist eine bezüglich integrierbare oder quasiintegrierbare messbare Funktion, so wird durch

für alle ,

ein signiertes Maß auf definiert. Ist nicht-negativ, so ist ein Maß. Ist integrierbar bezüglich , so ist endlich.

Die Funktion heißt dann Dichtefunktion von bezüglich . Ist eine -Nullmenge, das heißt, ist , so ist auch . Das (signierte) Maß ist also absolut stetig bezüglich (in Zeichen ).

Der Satz von Radon-Nikodým besagt, dass unter bestimmten Bedingungen auch die Umkehrung gilt:

Formulierung des Satzes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein σ-endliches Maß auf dem Messraum und sei ein signiertes Maß, das absolut stetig bezüglich ist ().

Dann besitzt eine Dichtefunktion bezüglich , das heißt, es existiert eine messbare Funktion , so dass

für alle .

Ist eine weitere Funktion mit dieser Eigenschaft, so stimmt sie -fast überall mit überein. Ist ein Maß, so ist nicht-negativ. Ist endlich, so ist integrierbar bezüglich .

Die Dichtefunktion wird auch als Radon-Nikodým-Dichte oder Radon-Nikodým-Ableitung von bezüglich bezeichnet und in Analogie zur Differentialrechnung als geschrieben.

Der Satz kann auf komplexe aber im Allgemeinen nicht vektorielle Maße verallgemeinert werden. Im Falle vektorieller Maße hängt die Gültigkeit vom verwendeten Banachraum für die Werte des Maßes ab. Diejenigen Räume, für die der Satz seine Gültigkeit behält, nennt man Räume mit der Radon-Nikodym-Eigenschaft.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Es seien ν, μ, und λ σ-endliche Maße auf demselben Messraum. Falls ν ≪ λ und μ ≪ λ (ν und μ sind absolut stetig bezüglich  λ), dann gilt
  -fast überall.
  • Falls ν ≪ μ ≪ λ ist, dann gilt
  -fast überall.
  • Falls μ ≪ λ und g eine μ-integrierbare Funktion ist, dann gilt
  • Falls μ ≪ ν und ν ≪ μ ist, dann gilt

Spezialfall Wahrscheinlichkeitsmaße[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei ein zu äquivalentes Wahrscheinlichkeitsmaß, d. h. und . Dann existiert eine positive Zufallsvariable , so dass und , wobei den Erwartungswert bezüglich bezeichnet. Ist eine reelle Zufallsvariable, so ist genau dann, wenn . Für den Erwartungswert bezüglich gilt in diesem Fall .

Weiterführende Aussagen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Zerlegungssatz von Lebesgue liefert eine weiterführende Aussage für den Fall, dass nicht absolut stetig bezüglich ist. Er befasst sich mit der Existenz und Eindeutigkeit einer Zerlegung von , so dass ein Teil absolutstetig bezüglich ist, also eine Dichte bezüglich besitzt, und ein anderer Teil singulär bezüglich ist.

Ebenso gibt es Formulierungen des Satzes von Radon-Nikodým für größere Klassen von Maßräumen als die σ-endlichen Maßräume, die sogenannten zerlegbaren Maßräume.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]