Satz von Radon-Nikodým

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In der Mathematik verallgemeinert der Satz von Radon-Nikodým die Ableitung einer Funktion auf Maße und signierte Maße. Er gibt darüber Auskunft, wann ein (signiertes) Maß \nu durch das Lebesgue-Integral einer Funktion f darstellbar ist, und ist sowohl für die Maß- als auch für die Wahrscheinlichkeitstheorie von zentraler Bedeutung.

Benannt ist der Satz nach dem österreichischen Mathematiker Johann Radon, der 1913 den Spezialfall \R^n bewiesen hat, und nach Otton Marcin Nikodým, der den allgemeinen Fall 1930 bewiesen hat.

Vorbemerkung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist \mu ein Maß auf dem Messraum (X,\mathcal{A}) und ist f \colon X \to \R eine bezüglich \mu integrierbare oder quasiintegrierbare messbare Funktion, so wird durch

\nu(E) = \int_E f \,\mathrm d\mu für alle E \in \mathcal A,

ein signiertes Maß \nu auf (X,\mathcal{A}) definiert. Ist f nicht-negativ, so ist \nu ein Maß. Ist f integrierbar bezüglich \mu, so ist \nu endlich.

Die Funktion f heißt dann Dichtefunktion von \nu bezüglich \mu. Ist E \in \mathcal A eine \mu-Nullmenge, das heißt, ist \mu(E) = 0, so ist auch \nu(E) = 0. Das (signierte) Maß \nu ist also absolut stetig bezüglich \mu (in Zeichen \nu \ll \mu ).

Der Satz von Radon-Nikodým besagt, dass unter bestimmten Bedingungen auch die Umkehrung gilt:

Formulierung des Satzes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei \mu ein σ-endliches Maß auf dem Messraum (X,\mathcal{A}) und sei \nu ein signiertes Maß, das absolut stetig bezüglich \mu ist (\nu \ll \mu ).

Dann besitzt \nu eine Dichtefunktion bezüglich \mu, das heißt, es existiert eine messbare Funktion f\colon X \to \R, so dass

\nu(E) = \int_{E} f \,\mathrm{d}\mu für alle E \in \mathcal A.

Ist g eine weitere Funktion mit dieser Eigenschaft, so stimmt sie \mu-fast überall mit f überein. Ist \nu ein Maß, so ist f nicht-negativ. Ist \nu endlich, so ist f integrierbar bezüglich \mu.

Die Dichtefunktion f wird auch als Radon-Nikodým-Dichte oder Radon-Nikodým-Ableitung von \nu bezüglich \mu bezeichnet und in Analogie zur Differentialrechnung als \tfrac{\mathrm{d}\nu}{\mathrm{d}\mu} geschrieben.

Der Satz kann auf komplexe aber im Allgemeinen nicht vektorielle Maße \nu verallgemeinert werden. Im Falle vektorieller Maße hängt die Gültigkeit vom verwendeten Banachraum für die Werte des Maßes ab. Diejenigen Räume, für die der Satz seine Gültigkeit behält, nennt man Räume mit der Radon-Nikodym-Eigenschaft.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Es seien ν, μ, und λ σ-endliche Maße auf demselben Messraum. Falls ν ≪ λ und μ ≪ λ (ν und μ sind absolut stetig bezüglich  λ), dann gilt
 \frac{\mathrm d(\nu+\mu)}{\mathrm d\lambda} = \frac{\mathrm d\nu}{\mathrm d\lambda}+\frac{\mathrm d\mu}{\mathrm d\lambda}   \lambda-fast überall.
  • Falls ν ≪ μ ≪ λ ist, dann gilt
 \frac{\mathrm d\nu}{\mathrm d\lambda}=\frac{\mathrm d\nu}{\mathrm d\mu}\frac{\mathrm d\mu}{\mathrm d\lambda}   \lambda-fast überall.
  • Falls μ ≪ λ und g eine μ-integrierbare Funktion ist, dann gilt
 \int_X g\,\mathrm d\mu = \int_X g\frac{\mathrm d\mu}{\mathrm d\lambda}\,\mathrm d\lambda.
  • Falls μ ≪ ν und ν ≪ μ ist, dann gilt
 \frac{\mathrm d\mu}{\mathrm d\nu}=\left(\frac{\mathrm d\nu}{\mathrm d\mu}\right)^{-1}.
 {\mathrm d|\nu|\over \mathrm d\mu} = \left|{\mathrm d\nu\over \mathrm d\mu}\right|.

Spezialfall Wahrscheinlichkeitsmaße[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei (\Omega,\mathcal{F},P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und Q sei ein zu P äquivalentes Wahrscheinlichkeitsmaß, d. h. P \ll Q und Q \ll P. Dann existiert eine positive Zufallsvariable Z \in L^1(P), so dass \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}P}=Z und E_P(Z)=1, wobei E_P den Erwartungswert bezüglich P bezeichnet. Ist X eine reelle Zufallsvariable, so ist X \in L^1(Q) genau dann, wenn X \in L^1(P). Für den Erwartungswert bezüglich Q gilt in diesem Fall E_Q(X) = E_P(XZ).

Weiterführende Aussagen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Zerlegungssatz von Lebesgue liefert eine weiterführende Aussage für den Fall, dass  \nu nicht absolut stetig bezüglich  \mu ist. Er befasst sich mit der Existenz und Eindeutigkeit einer Zerlegung von  \nu , so dass ein Teil absolutstetig bezüglich  \mu ist, also eine Dichte bezglich  \mu besitzt, und ein anderer Teil singulär bezüglich  \mu ist.

Ebenso gibt es Formulierungen des Satzes von Radon-Nikodým für größere Klassen von Maßräumen als die σ-endlichen Maßräume, die sogenannten zerlegbaren Maßräume.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]