Borelmaß

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Ein Borel-Maß ist ein Begriff aus der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, das sich mit verallgemeinerten Volumenbegriffen beschäftigt. Anschaulich zeichnen sich Borel-Maße dadurch aus, dass jeder Punkt in eine Menge mit endlichem Maß eingehüllt werden kann und sie auf einer speziellen σ-Algebra definiert sind. Borel-Maße bilden wichtige Grundbegriffe bei der Untersuchung von Maßen auf Topologischen Räumen. Sie sind nach Émile Borel benannt.

Bei Verwendung von Borel-Maßen ist Vorsicht geboten, da diese in der Literatur, insbesondere im angelsächsischen Sprachraum, nicht einheitlich definiert werden.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben sei ein Hausdorff-Raum mit borelscher σ-Algebra . Ein Maß

heißt ein Borel-Maß, wenn für jedes eine offene Umgebung von existiert mit .[1].

Somit sind Borel-Maße lokal endliche Maße auf der Borelsche σ-Algebra. Ein Spezialfall hiervon ist das Lebesgue-Borel-Maß.

Weitere Bedeutungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Begriff wird in der Fachliteratur nicht einheitlich verwendet[2]. Manchmal werden auch

  • das Maß auf der borelschen σ-Algebra auf , das jedem Intervall das Maß zuordnet

als Borelmaß bezeichnet. Das Maß im dritten Fall wird meist jedoch als Borel-Lebesgue-Maß bezeichnet.

Soweit nicht anders erwähnt bespricht dieser Artikel die Eigenschaften von Borel-Maßen in dem oben in der Definition angegebenen Sinn.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für einen lokal kompakten Raum Hausdorff-Raum ist die lokale Endlichkeit äquivalent dazu, dass jede kompakte Menge endliches Maß besitzt.

Denn ist , so existiert aufgrund der Lokalkompaktheit zu einer Umgebung ein kompaktes mit , wobei eine offene Umgebung von ist. Die lokale Endlichkeit folgt nun aus der Monotonie des Maßes, es ist dann und ist offen wie gefordert.

Umgekehrt folgt aus der lokalen Endlichkeit, dass jede kompakte Menge endliches Maß hat. Denn ist eine offene Überdeckung von , so folgt aus der Definition der Kompaktheit, dass eine offene endliche Überdeckung existiert. Aufgrund der lokalen Endlichkeit folgt dann und damit auch .

Diese Eigenschaft wird auch zur Definition von Borel-Maßen auf lokal kompakten Hausdorff-Räumen herangezogen, stimmt aber im allgemeinen Fall nicht mit der lokalen Endlichkeit überein.

Verwandte Konzepte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Moderate Maße[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Borel-Maß heißt ein moderates Maß, wenn eine Folge von offenen Mengen existiert, so dass

ist und für alle gilt. Moderate Maße sind insbesondere deshalb von Interesse, da für sie allgemeinere Kriterien gelten, unter denen ein Borel-Maß ein reguläres Maß ist.

Radon-Maße[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Borel-Maße nennt man Radon-Maße, wenn sie von innen regulär sind, es also gilt, dass

für alle . Wie auch Borel-Maße wird die Bezeichnung "Radon-Maß" in der Literatur nicht einheitlich verwendet und sollte daher immer mit der genauen Definition im gegebenen Kontext abgeglichen werden.

Reguläre Borel-Maße[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Borel-Maß wird ein reguläres Borel-Maß genannt, wenn es zusätzlich noch ein Reguläres Maß ist. Somit ist jedes von außen reguläre Radon-Maß ein reguläres Borel-Maß. Da aber für jede Verwendung des Begriffs "Borel-Maß" eigene Regularitäts-Begriffe existieren, ist auch hier Vorsicht geboten und ein Abgleich mit den Definitionen im jeweiligen Kontext notwendig.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2009, S. 313.
  2. V.V. Sazonov: Borel Measure. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8 (online).
  3. Lawrence C. Evans, Ronald F. Gariepy: Measure Theory and Fine Properties of Functions. CRC-Press, Boca Raton FL u. a. 1992, ISBN 0-8493-7157-0.
  4. Eric W. Weisstein: Borel Measure. In: MathWorld (englisch).

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]