Carleman-Ungleichung

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Die Carleman-Ungleichung, benannt nach dem schwedischen Mathematiker Torsten Carleman, ist eine elementare Ungleichung der Analysis. Sie besagt, dass eine Reihe geometrischer Mittel einer Folge durch ein konstantes Vielfaches der Reihe von oben beschränkt ist. Genauer besagt sie, dass die eulersche Zahl die kleinste Konstante ist, die als Vielfaches diese Schranke erfüllt.

Die Carleman-Ungleichung wurde erstmals 1923 von Torsten Carleman publiziert.

Satz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aussage[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine Folge reeller, nicht-negativer Zahlen. Bezeichne die eulersche Zahl . Dann gilt:

.

Dabei ist die kleinste Zahl, die diese Aussage erfüllt.

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wegen ist (Teleskopsumme)

und aus folgt

und das ist nach der AM-GM-Ungleichung

Varianten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für eine Funktion mit gilt folgende kontinuierliche Variante der Carleman-Ungleichung:

.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]