Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel

In der Mathematik besagt die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel, dass das arithmetische Mittel mindestens so groß wie das geometrische Mittel ist. Diese Ungleichung zählt zu den wichtigsten mathematischen Theoremen. Für $n=2$ war sie bereits Euklid bekannt; der erste Beweis für einen beliebigen Wert von $n$ wurde 1729 von Colin Maclaurin veröffentlicht

Formale Definition

Die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel lautet für nichtnegative Zahlen $x_1, x_2, \ldots, x_n$

$\sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n} \leq \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}.$

Die linke Seite der Ungleichung ist das geometrische Mittel und die rechte Seite das arithmetische Mittel. Es gilt genau dann Gleichheit, wenn $x_1= \dots =x_n$ gilt.

Geometrische Interpretation

Ein Rechteck mit den Seiten $x_1$ und $x_2$ hat den Gesamtumfang $2x_1+2x_2$. Ein Quadrat mit dem gleichen Flächeninhalt hat den Umfang $4 \sqrt{x_1 \cdot x_2}$. Für $n=2$ besagt die Ungleichung

$\frac{x_1+x_2}{2}\geq \sqrt{x_1 \cdot x_2}$

also, dass unter allen Rechtecken mit gleichem Inhalt $A=x_1 \cdot x_2$ der Umfang mindestens

$2x_1+2x_2\geq 4 \sqrt{x_1 \cdot x_2} =4\sqrt{A}$

beträgt, wobei das Quadrat diesen geringsten Umfang hat.

Im Falle $n=3$ sagt die Ungleichung aus, dass unter allen Quadern mit gleichem Volumen der Würfel die kleinste Kantenlänge insgesamt hat. Die allgemeine Ungleichung erweitert diese Idee auf $n$ Dimensionen.

Beweise

Für den Fall, dass ein $x_i\!$ gleich Null ist, ist das geometrische Mittel Null und die Ungleichung ist offensichtlich erfüllt; in den folgenden Beweisen kann daher $x_i>0\!$ angenommen werden.

Beweis aus der jensenschen Ungleichung

Die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel lässt sich beispielsweise aus der jensenschen Ungleichung beweisen: die Logarithmusfunktion ist konkav, daher gilt

$\ln(\lambda_1 x_1 + \dots + \lambda_n x_n)\geq\lambda_1 \ln x_1 + \dots + \lambda_n \ln x_n$

für positive $\lambda_i\;$ mit $\sum_{i=1}^n \lambda_i = 1$.

Durch Anwendung der Exponentialfunktion auf beide Seiten folgt

$\lambda_1 x_1 + \dots + \lambda_n x_n\geq \prod_{i=1}^n{x_i}^{\lambda_i}$.

Für $\lambda_1=\lambda_2=\cdots=\lambda_n=1/n$ ergibt das genau die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel.

Beweis von Polya

Von George Polya stammt ein Beweis, der lediglich die Beziehung $\exp(x)\geq 1+x$ der Exponentialfunktion voraussetzt. Für $x_i/\bar{x}_\mathrm{arithm}-1$ gilt dann

$\exp\left(x_i/\bar{x}_\mathrm{arithm}-1\right)\geq x_i/\bar{x}_\mathrm{arithm}$.

Multipliziert man diese Ungleichungen für $i=1,\dots,n$, so erhält man

$\exp\left(\sum_i x_i/\bar{x}_\mathrm{arithm}-n\right)\geq \prod_i \left(x_i/\bar{x}_\mathrm{arithm}\right)$,

also

$1=\exp\left(n-n\right)\geq \bar{x}_\mathrm{geom}^n/\bar{x}_\mathrm{arithm}^n$

und somit

$\bar{x}_\mathrm{arithm}^n\geq \bar{x}_\mathrm{geom}^n$.

Induktive Beweise

Der Beweis aus der jensenschen Ungleichung und der Polya-Beweis sind zwar sehr leicht verständlich, haben aber den Nachteil, dass Vorwissen über die Logarithmusfunktion beziehungsweise der Exponentialfunktion benötigt wird. Für die Untersuchung der bei der Definition der Exponentialfunktion verwendeten Folge

$\exp(x) = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + {x \over n} \right)^n$

kann aber die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel hilfreich sein. Methodisch sind daher oft induktive Beweise zweckmäßiger; diese sind für die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel aber relativ schwierig.

Beweis mit Vorwärts-Rückwärts-Induktion

Ein induktiver Beweis der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel ist mit „Vorwärts-Rückwärts-Induktion“ möglich. Der Vorwärtsschritt erfolgt dabei, indem man aus der Gültigkeit der Ungleichung für n die Gültigkeit für 2n beweist. Der Rückwärtsschritt erfolgt, indem man aus der Gültigkeit der Ungleichung für n die Gültigkeit für n−1 zeigt, indem man $\textstyle x_n=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n-1} x_i$ setzt. Dieser Beweis findet sich bereits bei Augustin Louis Cauchy.

Beweis mittels Hilfssatz

Ein anderer Beweis der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel ergibt sich aus dem Hilfssatz, dass für $u_i>0$ und $\textstyle \prod_{i=1}^n u_i =1$ folgt, dass $\textstyle \sum_{i=1}^n u_i \geq n$. Dieser Beweis stammt von G. Ehlers. Der Hilfssatz kann beispielsweise mit vollständiger Induktion bewiesen werden. Betrachtet man das Produkt $\textstyle p:=\prod_{i=1}^{n} x_i$ und setzt $u_i:=\tfrac{x_i}{\sqrt[n]{p}}$, so erfüllen die so definierten $\textstyle u_i\!$ nämlich die Voraussetzung $\textstyle \prod_{i=1}^n u_i =1$ des Hilfssatzes. Aus dem Hilfssatz folgt

$n\leq \sum_{i=1}^n u_i = \sum_{i=1}^n \frac{x_i}{\sqrt[n]{p}}$,

also

$\sqrt[n]{p} \leq \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$.

Einsetzen von $\textstyle p=\prod_{i=1}^{n} x_i$ liefert dann die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel.

Beweis aus der Bernoulli-Ungleichung

Ein direkter induktiver Beweis ist mit Hilfe der bernoullischen Ungleichung möglich: Sei o.B.d.A. $x_{n+1}$ das maximale Element von $x_1,\dots,x_n,x_{n+1}$ und $\bar{x}_\mathrm{arithm}$ das arithmetische Mittel von $x_1,\dots,x_n$. Dann gilt $x_{n+1}-\bar{x}_\mathrm{arithm}\geq 0$, und aus der bernoullischen Ungleichung folgt, dass

$\left(\frac{x_1+\dots+x_{n+1}}{(n+1)\bar{x}_\mathrm{arithm}}\right)^{n+1}=\left(1+\frac{x_{n+1}-\bar{x}_\mathrm{arithm}}{(n+1)\bar{x}_\mathrm{arithm}}\right)^{n+1}\geq 1+\frac{x_{n+1}-\bar{x}_\mathrm{arithm}}{\bar{x}_\mathrm{arithm}}=\frac{x_{n+1}}{\bar{x}_\mathrm{arithm}}$.

Multiplikation mit $\bar{x}_\mathrm{arithm}^{n+1}$ liefert

$\left(\frac{x_1+\dots+x_{n+1}}{n+1}\right)^{n+1}\geq \bar{x}_\mathrm{arithm}^{n+1}\frac{x_{n+1}}{\bar{x}_\mathrm{arithm}}=\bar{x}_\mathrm{arithm}^nx_{n+1}\geq x_1\cdots x_n x_{n+1}$,

wobei die letzte Ungleichung nach Induktionsvoraussetzung gilt. Das Ziehen der $(n+1)$-ten Wurzel beendet den Induktionsbeweis.

Dieser Beweis findet sich beispielsweise im Lehrbuch der Analysis von H. Heuser, Teil 1, Kapitel 12.2.

Beweis aus der Umordnungs-Ungleichung

Ein nicht-induktiver Beweis der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel, der ohne Logarithmusfunktion auskommt, lässt sich mit Hilfe der Umordnungs-Ungleichung durchführen. Aus der Umordnungs-Ungleichung folgt nämlich, dass für positive Zahlen $a_1, \dots, a_n$ und jede beliebige Permutation $a_{\sigma (1)}, \dots ,a_{\sigma (n)}$ die Beziehung

$\frac{a_{\sigma (1)}}{a_1}+\cdots +\frac{a_{\sigma (n)}}{a_n} \geq n$

gelten muss. Setzt man speziell

$a_1 = \frac{x_1}{\bar{x}_\mathrm{geom}}, a_2 = \frac{x_1 x_2}{\bar{x}_\mathrm{geom}^2}, \dots, a_n = \frac{x_1 x_2 \cdots x_n}{\bar{x}_\mathrm{geom}^n}=1,$

so folgt also

$n \leq \frac{a_2}{a_1}+ \frac{a_3}{a_2} + \dots +\frac{a_n}{a_{n-1}} +\frac{a_1}{a_n} = \frac{x_{2}}{\bar{x}_\mathrm{geom}} + \frac{x_{3}}{\bar{x}_\mathrm{geom}} + \cdots + \frac{x_{n}}{\bar{x}_\mathrm{geom}} + \frac{x_{1}}{\bar{x}_\mathrm{geom}},$

woraus unmittelbar die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel folgt.

Verallgemeinerungen

Ungleichung vom gewichteten arithmetischen und geometrischen Mittel

Für ein gegebenes positives Gewichtstupel $\mathbf{w} = (w_1,\dots, w_n)$ mit $w_i>0$ und Summe $\textstyle w:={\sum_{i=1}^n w_i}$ wird mit

$\bar{x}_{arithm}=\frac{\sum_{i=1}^n w_i \cdot x_i }{w}$

das gewichtete arithmetische Mittel und mit

$\bar{x}_{geom}=\sqrt[w]{\prod_{i=1}^n x_i^{w_i}}$,

das gewichtete geometrische Mittel bezeichnet. Auch für diese gewichteten Mittel gilt die die Ungleichung

$\bar{x}_\mathrm{geom} \le \bar{x}_\mathrm{arithm}$.

Der Beweis dafür folgt direkt aus obigem Beweis mit der jensenschen Ungleichung.

Für $n = 2$, $w_1 = \tfrac1p$, $w_2 = \tfrac1q$ mit $w = \tfrac1p + \tfrac1q = 1$ und $x_1 = a^p$, $x_2 = b^q$ mit $a, b \ge 0$ erhält man die youngsche Ungleichung

$ab \le \frac1p a^p + \frac 1q b^q$

Ungleichung vom harmonischen und geometrischen Mittel

Fordert man $x_i$ echt größer Null und ersetzt in der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel $x_i$ durch $1/x_i$, so erhält man die Ungleichung vom harmonischen und geometrischen Mittel:

$\frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}} \leq \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n{x_i}}$.

Diese Ungleichung gilt ebenfalls für die gewichteten Mittel:

$\frac{w}{\sum_{i=1}^n \frac{w_i}{x_i}} \leq \sqrt[w]{\prod_{i=1}^n x_i^{w_i} }$.

Ungleichung der verallgemeinerten Mittel

Als Hölder-Mittel mit Exponent $k$ bezeichnet man den Ausdruck

$\bar{x}(k) = \sqrt[k]{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{x_i^k}}$.

• Für $k=1\!$ erhält man das arithmetische Mittel,
• Der Grenzwert $k\to 0$ ergibt das geometrisches Mittel.

Allgemein gilt für $-\infty\le s \le t \le \infty$ die verallgemeinerte Mittelwertungleichung:

$\bar{x} (s)\leq \bar{x} (t)$

Diese Ungleichung lässt sich z.B. beweisen, indem man $u_i:=x_i^s, v_i:=1\;$ setzt und $u_i\;$ und $v_i\;$ in die Hölder-Ungleichung mit $p=t/s\;$ einsetzt, oder indem man die jensensche Ungleichung für die konvexe Funktion $f(x)=x^{t/s}\;$ auf die Werte $x_i^s$ anwendet.

Auch diese Ungleichung gilt ebenfalls für die gewichteten Mittel: Sei

$\bar{x}(\mathbf{w},k) = \sqrt[k]{\frac{1}{w}\sum_{i=1}^n{w_i x_i^k}}$

das mit $\mathbf{w}$ gewichtete Mittel mit Exponent $k$ der Zahlen $x_i$, so gilt für -∞ ≤ s ≤ t ≤ ∞ die Ungleichung:

$\bar{x}(\mathbf{w},s)\leq \bar{x}(\mathbf{w},t)$.

Diese Ungleichung lässt sich ebenfalls aus der Hölder-Ungleichung beweisen, indem man $u_i:=w_i^{s/t} x_i^s, v_i:=w_i^{1-s/t}\;$ sowie $p=t/s\;$ setzt, oder ebenfalls, indem man die jensensche Ungleichung für die konvexe Funktion $f(x)=x^{t/s}\;$ auf die Werte $x_i^s$ anwendet.

Übertragen auf Integrale über den Maßraum $(\Omega, \mathcal A, \mu)$ mit einem endlichen Maß $\mu(\Omega)<\infty$ nimmt die Ungleichung der verallgemeinerten Mittel die Form

$\sqrt[s]{\frac{1}{\mu(\Omega)}\int_\Omega |f(x)|^s\,d\mu(x)}\leq \sqrt[t]{\frac{1}{\mu(\Omega)}\int_\Omega |f(x)|^t\,d\mu(x)}$

an; insbesondere folgt daraus $L^t(\Omega, \mathcal A, \mu)\subseteq L^s(\Omega, \mathcal A, \mu)$ für diese $L^p$-Räume.

Siehe auch

• Eine andere Verallgemeinerung der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel ist die Muirhead-Ungleichung.
• Aus der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel lässt sich die Cauchy-Schwarz-Ungleichung ableiten.

Quellen

• Pavel P. Korowkin: Ungleichungen. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1970. aus der Reihe Math. Schülerbücherei, Band 9.