Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel

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In der Mathematik besagt die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel, dass das arithmetische Mittel von n Zahlen mindestens so groß wie das geometrische Mittel ist. Für war diese Ungleichung bereits Euklid bekannt; der erste Beweis für einen beliebigen Wert von wurde 1729 von Colin Maclaurin veröffentlicht.[1]

Formale Formulierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel lautet für nichtnegative Zahlen

Die linke Seite der Ungleichung ist das geometrische Mittel und die rechte Seite das arithmetische Mittel. Es gilt genau dann Gleichheit, wenn gilt.

Geometrische Interpretation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Figur 1: Ungleichung: (Veranschaulichung im Halbkreis)
Figur 2: Ungleichung: (Veranschaulichung im Quadrat)

Ein Rechteck mit den Seiten und hat den Gesamtumfang . Ein Quadrat mit dem gleichen Flächeninhalt hat den Umfang . Für besagt die Ungleichung

also, dass unter allen Rechtecken mit gleichem Inhalt der Umfang mindestens

beträgt, wobei das Quadrat diesen geringsten Umfang hat.

Im Falle sagt die Ungleichung aus, dass unter allen Quadern mit gleichem Volumen der Würfel die kleinste Kantenlänge insgesamt hat. Die allgemeine Ungleichung erweitert diese Idee auf Dimensionen.

Trägt man für die Längen und hintereinander auf einer Geraden ab und errichtet über den Enden der Strecke mit Länge einen Halbkreis, so entspricht der Radius von jenem dem arithmetischen Mittel (Figur 1). Das geometrische Mittel ist dann die Länge des Lotes eines solchen Punktes auf dem Halbkreis auf die Strecke mit Länge , für den das Lot durch den Übergangspunkt der Strecken und geht. Letzterer Zusammenhang folgt aus dem Satz des Thales und dem Höhensatz.

Eine weitere geometrische Veranschaulichung liefert Figur 2.[2][3] Ein Quadrat mit der Seitenlänge lässt sich zerlegen in acht kongruente rechtwinklige Dreiecke mit den Kathetenlängen und und ein Quadrat mit der Seitenlänge . Hieraus ergibt sich:

Vergleich von arithmetischem, geometrischem und weiteren Mittelwerten zweier positiver reeller Zahlen und in dimensionsloser Darstellung

Beweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für den Fall, dass ein gleich Null ist, ist das geometrische Mittel Null und die Ungleichung ist offensichtlich erfüllt; in den folgenden Beweisen kann daher angenommen werden.

Beweis aus der jensenschen Ungleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel lässt sich beispielsweise aus der jensenschen Ungleichung beweisen: die Logarithmusfunktion ist konkav, daher gilt

für positive mit .

Durch Anwendung der Exponentialfunktion auf beide Seiten folgt

.

Für ergibt das genau die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel.

Beweis von Polya[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Von George Polya stammt ein Beweis, der lediglich die Beziehung der Exponentialfunktion voraussetzt. Für gilt dann

.

Multipliziert man diese Ungleichungen für , so erhält man

,

also

und somit

.

Induktive Beweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Beweis aus der jensenschen Ungleichung und der Polya-Beweis sind zwar sehr leicht verständlich, haben aber den Nachteil, dass Vorwissen über die Logarithmusfunktion beziehungsweise der Exponentialfunktion benötigt wird. Für die Untersuchung der bei der Definition der Exponentialfunktion verwendeten Folge

kann aber die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel hilfreich sein. Methodisch sind daher oft induktive Beweise zweckmäßiger; diese sind für die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel aber relativ schwierig.

Beweis mit Vorwärts-Rückwärts-Induktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein induktiver Beweis der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel kann mit einer so genannten »Vorwärts-Rückwärts-Induktion« geführt werden. Der Vorwärtsschritt leitet aus der Gültigkeit der Ungleichung für diejenige für ab und gehorcht dem Schema der gewöhnlichen vollständigen Induktion. Im sog. »Rückwärtsschritt« wird aus der Gültigkeit der Ungleichung für die Gültigkeit für hergeleitet.

Herleitung  

Fall 2:  
Für zwei Elemente gilt:

Sind sie verschieden, dann ist

und

 

Fall A:   ist eine Zweierpotenz
Dieser aufsteigende (»Vorwärts«-) Induktionsschritt sei etwas allgemeiner bewiesen:
Gilt die Induktionsvoraussetzung

für Elemente, dann gilt

für Elemente.
Beweis: Für sei und für sei gesetzt. Dann ist

Die Gleichheit erfordert und also gleiche und gleiche sowie Zusammengenommen ergibt das: alle sind gleich.

Fall B:   ist keine Zweierpotenz
(Dieser Teil des Beweises firmiert als »Rückwärts«-Induktionsschritt.)
Zu jedem gibt es ein mit .
Zur Abkürzung sei und sowie gesetzt.
In Fall A wurde die Ungleichung für Elemente bereits bewiesen, woraus folgt:

Somit folgt für :

woraus

und

und

folgt.
Gemäß Fall A gilt Gleichheit nur, wenn alle Elemente gleich sind.

Dieser Beweis findet sich bereits bei Augustin Louis Cauchy.[4]

Beweis mittels Hilfssatz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein anderer Beweis der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel ergibt sich aus dem Hilfssatz, dass für und folgt, dass . Dieser Beweis stammt von G. Ehlers.[5] Der Hilfssatz kann beispielsweise mit vollständiger Induktion bewiesen werden. Betrachtet man das Produkt und setzt , so erfüllen die so definierten nämlich die Voraussetzung des Hilfssatzes. Aus dem Hilfssatz folgt

,

also

.

Einsetzen von liefert dann die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel.

Beweis aus der Bernoulli-Ungleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein direkter induktiver Beweis ist mit Hilfe der bernoullischen Ungleichung möglich: Sei o. B. d. A. das maximale Element von und das arithmetische Mittel von . Dann gilt , und aus der bernoullischen Ungleichung folgt, wenn man die Summanden mit den Indizes 1 bis von dem Summanden mit dem Index „trennt“, dass

.

Multiplikation mit liefert

,

wobei die letzte Ungleichung nach Induktionsvoraussetzung gilt. Das Ziehen der -ten Wurzel beendet den Induktionsbeweis.

Dieser Beweis findet sich beispielsweise im Lehrbuch der Analysis von H. Heuser, Teil 1, Kapitel 12.2.

Beweis aus der Umordnungs-Ungleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein nicht-induktiver Beweis der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel, der ohne Logarithmusfunktion auskommt, lässt sich mit Hilfe der Umordnungs-Ungleichung durchführen. Aus der Umordnungs-Ungleichung folgt nämlich, dass für positive Zahlen und jede beliebige Permutation die Beziehung

gelten muss. Setzt man speziell

so folgt also

woraus unmittelbar die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel folgt.

Sonderfälle[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zahl und ihr Kehrwert[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für , und ergibt sich:

und damit

Diese Aussage lässt sich direkt beweisen: Die Multiplikation mit ergibt:

was offensichtlich richtig ist.

Durch Permutationen bestimmte Brüche[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für jede Permutation der positiven reellen Zahlen gilt

.

Beweis:

.[6][7]

Verallgemeinerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ungleichung vom gewichteten arithmetischen und geometrischen Mittel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für ein gegebenes positives Gewichtstupel mit und Summe wird mit

das gewichtete arithmetische Mittel und mit

,

das gewichtete geometrische Mittel bezeichnet. Auch für diese gewichteten Mittel gilt die die Ungleichung

.

Der Beweis dafür folgt direkt aus obigem Beweis mit der jensenschen Ungleichung.

Für , , mit und , mit erhält man die youngsche Ungleichung

Ungleichung vom harmonischen und geometrischen Mittel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Fordert man echt größer Null und ersetzt in der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel durch , so erhält man die Ungleichung vom harmonischen und geometrischen Mittel:

.

Diese Ungleichung gilt ebenfalls für die gewichteten Mittel:

.

Ungleichung der verallgemeinerten Mittel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Als Hölder-Mittel mit Exponent bezeichnet man den Ausdruck

.
  • Für erhält man das arithmetische Mittel,
  • Der Grenzwert ergibt das geometrische Mittel,
  • Für erhält man das harmonische Mittel.

Allgemein gilt für die verallgemeinerte Mittelwertungleichung:

Diese Ungleichung lässt sich z. B. beweisen, indem man setzt und und in die Hölder-Ungleichung mit einsetzt, oder indem man die jensensche Ungleichung für die konvexe Funktion auf die Werte anwendet.

Auch diese Ungleichung gilt ebenfalls für die gewichteten Mittel: Sei

das mit gewichtete Mittel mit Exponent der Zahlen , so gilt für die Ungleichung:

.

Diese Ungleichung lässt sich ebenfalls aus der Hölder-Ungleichung beweisen, indem man sowie setzt, oder ebenfalls, indem man die jensensche Ungleichung für die konvexe Funktion auf die Werte anwendet.

Übertragen auf Integrale über den Maßraum mit einem endlichen Maß nimmt die Ungleichung der verallgemeinerten Mittel die Form

an; insbesondere folgt daraus für diese Lp-Räume.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Eine andere Verallgemeinerung der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel ist die Muirhead-Ungleichung.
  • Aus der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel lässt sich die Cauchy-Schwarz-Ungleichung ableiten.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Pavel P. Korowkin: Ungleichungen (= Hochschulbücher für Mathematik. Kleine Ergänzungsreihe. 4 = Mathematische Schülerbücherei. 9, ISSN 0076-5449). 6. Auflage. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1970.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Paul J. Nahin: When Least is Best. Princeton University Press, Princeton N.J. 2004, ISBN 0-691-07078-4, S. 331–333: Appendix A. The AM-GM Inequality.
  2. Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte, Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, Springer Spektrum, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 138
  3. Mathematics and Computer Education, vol. 31, no. 2 (Spring 1997), S. 191
  4. Cauchy, Augustin-Louis. Analyse algébrique. Der Beweis der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel ist auf Seite 457 ff. Eine Titulierung à la Vorwärts-Rückwärts-Induktion findet sich in dem Artikel nicht.
  5. W.D. Hayes: Colloquium on linear equations. Office of Naval Research Technical Report ONRL-35-54 (1954) (PDF; 2,0 MB)
  6. Ross Honsberger: Gitter - Reste - Würfel Friedrich Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1984, ISBN 978-3-528-08476-9, S. 210
  7. B. H. Bissinger, Julius Vogel: Problem E 1468, American Mathematical Monthly, 1962, S. 59