Geometrisches Mittel

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Das geometrische Mittel ist derjenige Mittelwert, der als die n-te Wurzel aus dem Produkt der n beachteten Zahlen berechnet ist.

Die zwei Zahlen 1 und 2 haben zum Beispiel den geometrischen Mittelwert     (arithmetisches Mittel = 1,5;  die größere Zahl, hier: 2, wird beim geometrischen Mittel geringer bewertet).

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das geometrische Mittel der Zahlen (mit für alle ) ist gegeben durch die -te Wurzel des Produkts der Zahlen:

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Gegensatz zum arithmetischen Mittel ist das geometrische Mittel nur für nichtnegative Zahlen definiert und meistens nur für echt positive reelle Zahlen sinnvoll, denn wenn ein Faktor gleich null ist, ist schon das ganze Produkt gleich null. Für komplexe Zahlen wird es nicht eingesetzt, da die komplexen Wurzeln mehrdeutig sind.

Die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel besagt, dass

,

also dass das geometrische Mittel nie größer als das arithmetische Mittel ist. Äquivalent dazu gilt:

das heißt, der Logarithmus des geometrischen Mittels ist das arithmetische Mittel der Logarithmen, wobei die Basis des Logarithmus beliebig gewählt werden darf.

Analog zum gewichteten arithmetischen Mittel lässt sich ein mit den Gewichten gewichtetes geometrisches Mittel definieren:

wobei . Das arithmetisch-geometrische Mittel ist eine Zahl, die zwischen dem arithmetischen und geometrischen Mittel liegt.

Außerdem gilt für und

mit dem arithmetischen und dem harmonischen Mittel.

Anwendungsbeispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Das geometrische Mittel zweier Werte ist , z.B. von und : .
  • Das Mittel aus einer Verdopplung und nachfolgender Verachtfachung einer Bakterienkultur ist eine Vervierfachung (nicht eine Vermehrung um den Faktor 5).
  • Ein Guthaben wird im ersten Jahr mit zwei Prozent, im zweiten Jahr mit sieben und im dritten Jahr mit fünf Prozent verzinst. Welcher über die drei Jahre konstante Zinssatz hätte zum Schluss das gleiche Kapital ergeben?

Guthaben am Ende des dritten Jahres:

oder mit Zinsfaktoren geschrieben

Mit konstantem Zinssatz und zugehörigen Zinsfaktor ergibt sich am Ende ein Guthaben von

Mit ergibt sich

und damit berechnet sich der durchschnittliche Zinsfaktor zu

Der durchschnittliche Zinssatz beträgt also ca. . Allgemein berechnet sich der durchschnittliche Zinsfaktor also aus dem geometrischen Mittel der Zinsfaktoren der einzelnen Jahre. Wegen der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel ist der durchschnittliche Zinssatz kleiner oder bestenfalls gleich dem arithmetischen Mittel der Zinssätze, welches in diesem Beispiel beträgt.

Geometrische Interpretation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das geometrische Mittel zweier Zahlen und liefert die Seitenlänge eines Quadrates, das den gleichen Flächeninhalt hat wie das Rechteck mit den Seitenlängen und . Diese Tatsache wird durch die geometrische Quadratur des Rechtecks veranschaulicht.

Genauso entspricht das geometrische Mittel bei drei Zahlen der Seitenlänge eines Würfels, der volumengleich ist zu dem Quader mit den drei Seitenlängen, und entsprechend im -dimensionalen bei Zahlen den Seitenlängen von Hyperwürfeln.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]