Diskussion:Axiomatische Mengenlehre

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Typentheorie als axiomatische Mengenlehre?[Quelltext bearbeiten]

Meines Wissens ist die Typentheorie keine axiomatische Mengenlehre, sondern eine rein syntaktische Einschränkung der naiven Mengenlehre und gehört deshalb nicht in diesen Artikel oder müsste hier, was vielleicht besser wäre, von der axiomatischen Mengenlehre abgegrenzt werden. Ich kenne mich aber in den Details der Typentheorie nicht aus und möchte daher den Absatz nicht entfernen. Vielleicht hat hier jemand größere Kenntnisse.--Wilfried Neumaier 15:51, 9. Jan. 2008 (CET)

Ich habe es jetzt nur überflogen, aber was meinst Du zu
Insbeondere in Bezug auf Deinen Zweifel den Abschnitt "4. Type Theory/Set Theory"
--Pjacobi 16:22, 9. Jan. 2008 (CET)

Die angegebe Web-Seite habe ich mir angeschaut, auch das Spezial-Kapitel, das die Verbindung zur Mengenlehre zieht. Es ist m. E. wenig aufschlussreich. Was meine Zweifel angeht, gibt es jedenfalls nichts her. Der ganze Artikel bestätigt eher meine Ansicht. Von Axiomen der Mengenlehre ist da nicht die Rede, nur von jenem zweifelhaften "reducibility axiom", das in der Literatur auch schlecht wegkommt und mit der axiomatischen Mengenbildung, dem Charakteristikum der ZF-Axiome nichts zu tun hat.--Wilfried Neumaier 21:42, 9. Jan. 2008 (CET)

Ich glaube ich weiß jetzt, wo diese Sichtweise in verschiedenen Wikipedia-Artikeln herkommt:
Elliott Mendelson, Introduction to Mathematical Logic, Chapman & Hall/CRC, 4 ed (1997), ISBN 0412808307
Dort auf Seite 289–293 wird ein Axiomensystem ST im Kapitel "Other axiomizations of set theory" abgehandelt:
Google Books Vorschau: [1]
Da es Dir so fremd vorkommt, nehme ich mal an, dass eine nicht seht weit verbreitete Sichtweise ist.
--Pjacobi 22:08, 9. Jan. 2008 (CET)

Habe eben reingeschaut in dieses Buch. Ich konnte dort aber nicht erfahren, von wem und von wann die dort gebotenen 3 ST-Axiome stammen. Das wäre wichtig für einen differenzierten Artikel. Ich vermute es ist ein späteres Axiomensystem, nicht von Russell. Wenn das stimmt, dann müsste man die axiomatische Typentheorie entsprechend plazieren.--Wilfried Neumaier 22:33, 9. Jan. 2008 (CET)

NBG ohne Axiomenschemata?[Quelltext bearbeiten]

Wenn man im Artikel Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre nachschlägt, findet man dort auch zwei Axiomenschemata, was nicht mit der Behauptung im vorliegenden Artikel übereinstimmt. Insbesondere ist dort auch das Ersetzungsaxiom ein Schema! Kennt jemand eine Quelle, die NBG ohne Schemata darstellt? Andernfalls müsste man die fragliche Behauptung streichen.--Wilfried Neumaier 11:41, 29. Jan. 2008 (CET)

Der entsprechende Artikel in der englischen Wikipedia. -- Digamma 00:16, 4. Aug. 2010 (CEST)
Soweit es um das Komprehensionsschema geht, ist die endliche Axiomatisierbarkeit in einem Aufsatz von Bernays aus dem Jahr 1937 bewiesen, sofern nur Variablen quantifiziert werden, die sich auf Mengen beziehen. Bei einem stärkeren Komprehensionsprinzip oder dem Ersetzungsaxiom ist die endliche Axiomatisierbarkeit noch eine offene Frage. Insofern sollte der Artikel abgeändert werden. --KaliNala (Diskussion) 16:35, 10. Jun. 2016 (CEST) Ergänzung : Auch die englische Version redet von endlicher Axiomatisierbarkeit nur beim Mengenexistenschema, also nur dann, wenn NBG/BG ohne Ersetzungsschema betrachtet wird. --KaliNala (Diskussion) 17:47, 11. Jun. 2016 (CEST)
Google findet zahlreiche Seiten, die die endliche Axiomatisierbarkeit von NBG behaupten, z.B. dieses Vorlesungsskript oder dieses.
Wenn ich mich nicht täusche: Das Komprehensionsschema gibt einem zu jeder Formel eine Klasse derjenigen Mengen, die die Formel erfüllen. Wenn ich dieses Axiomenschema habe, dann brauche ich für Aussonderung und für Ersetzung nur jeweils ein einziges Axiom. Wenn ich also das Komprehensionsschema durch endlich viele Axiome ersetzen kann, dann kann ich auch ganz NBG endlich axiomatisieren. --Digamma (Diskussion) 18:36, 11. Jun. 2016 (CEST)
Danke Digamma für das Auffrischen meines Gedächtnisses. In ZF wäre es einfacher zu formulieren. Das Komprehensionsaxiom heißt dort Aussonderungsaxiom und ist nicht endlich axiomatisierbar. Und in NBG habe ich den Eindruck, dass da jeder Lehrende sein eigenes Axiomensystem pflegt, mal ohne Ersetzungsaxiom, aber mit einer Art Unendlichkeitsaxion, mal mit. Ist das Ersetzungsaxiom nun ein Schema (für alle Funktionen) oder nicht ? Auch darüber scheint es unterschiedliche Meinungen zu geben. Mal sehen, was wir noch dazu herausfinden. Gruß --KaliNala (Diskussion) 10:29, 13. Jun. 2016 (CEST)
Das Komprehensionsaxiom ist nicht dasselbe wie das Aussonderungsaxiom (auch wenn das Aussonderungsaxiom in ZFC manchmal Komprehensionsaxiom genannt wird). In NBG sichert das Komprehensionsaxiom (genauer: Schema) die Existenz bestimmter Klassen (nämlich derjenigen, die durch eine prädikative Eigenschaft definiert sind). Wenn man diese Klassen hat, dann braucht man weder für die Aussonderung noch für die Ersetzung ein Axiomenschema. Das Aussonderungsaxiom ist dann wirklich ein einzelnes Aciom und besagt, dass der Schnitt einer Menge mit einer Klasse eine Menge ist. Ebenso ist das Ersetzungsaxiom ein einzelnes Axiom, kein Schema, und besagt, dass das Bild einer Menge unter einer funktionalen Klasse eine Menge ist.
Ohne Ersetzungsaxiom erhält man ein echt schwächeres Axiomensystem. Man kann es also sicher nicht weglassen. Möglicherweise kann man es aber durch ein anderes ersetzen, dem man nicht ansieht, dass es das Ersetzungsaxiom vertreten soll. An was für ein Axiom denkst du denn? --Digamma (Diskussion) 12:51, 13. Jun. 2016 (CEST)
Einverstanden, das Ersetzungsaxiom ist nötig, um Peano-Arithmetik etc zu implementieren. Ersetzt werden könnte es durch ein Prinzip, das Montague zugeschrieben wird. Aber zurück zur endlichen Axiomatisierbarkeit. Warum ist in ZF das Ersetzungsaxiom ein Schema, während es in NBG nicht als Schema, sondern als ein Existenzaxiom wie die anderen endlich vielen, die das Komprehensionsaxiom erzeugen, angesehen wird ? Das ist für mich die Kernfrage und ich neige immer mehr zur Ansicht, dass es in NBG kein Schema ist, wir also bei der endlichen Axiomatisierbarkeit von NGB bleiben können. Wie siehst Du das ? --KaliNala (Diskussion) 16:04, 13. Jun. 2016 (CEST)
Drücke ich mich so unklar aus? Oben habe ich geschrieben: "Ebenso ist das Ersetzungsaxiom ein einzelnes Axiom, kein Schema, ..." --Digamma (Diskussion) 18:07, 13. Jun. 2016 (CEST)
Lach, dann sind wir uns einig. Klasse. --KaliNala (Diskussion) 15:38, 14. Jun. 2016 (CEST)

Inhalt der Axiomatischen Mengenlehre[Quelltext bearbeiten]

Die Axiomatische Mengenlehre beschränkt sich nicht darauf, Axiomensysteme für die Mengenlehre anzugeben und diese miteinander zu vergleichen.

Zu ihr gehören auch:

  • Die Untersuchung der Unabhängigkeit von Aussagen vom Axiomensystem (z.B. AC, (G)CH), Methoden: Innere Modelle, Forcing, ...
  • Die Untersuchung der Auswirkungen zusätzlicher Axiome oder abgeschwächter Axiome (Determiniertheitsaxiom, Dependent Choice, große Kardinalzahlen, Martins Axiom, ...)
  • ...

-- Digamma 00:10, 4. Aug. 2010 (CEST)

Widerspruchsfreiheit, Gödel[Quelltext bearbeiten]

Anders als im Artikel behauptet, kann die Widerspruchsfreiheit der endlichen Mengenlehre (ZFC-INF) nicht bewiesen werden, denn auch für sie gilt der 2. Gödelsche Unvollständigkeitssatz. Die Widerspruchsfreiheit von ZFC-INF ist gleichwertig mit der Widerspruchsfreiheit der Zahlentheorie. Natürlich kann man, wenn man zusätzliche starke Annahmen wie etwa das Unendlichkeitsaxiom einführt (für welches sich die Frage der Widerspruchsfreiheit erst recht und verschärft stellt), ein Modell für ZFC-INF angeben: V(omega). Sowas ist im Prinzip aber immer möglich: Völlig analog kann man auch leicht ein Modell von ZFC konstruieren, wenn man eine unerreichbare Kardinalzahl kappa postuliert: V(kappa). usw. usf. Dies sind keine _elementaren_ Widerspruchsfreiheitsbeweise und somit beweisen sie absolut gesehen nichts.

Es ist ohne weiteres möglich, dass ZFC-INF (und damit auch die Zahlentheorie) widersprüchlich ist, und dann erst recht auch ZFC. Dass ZFC die Widerspruchsfreiheit von ZFC-INF zeigt, ist in diesem Fall wertlos, da bei einem Widerspruch ZFC alles beweist.

Es sollte im Artikel klargestellt werden, dass man die Widerspruchsfreiheit der Mengenlehre nicht beweisen kann, auch nicht die der endlichen Version. Evtl. könnte man dann ergänzen, dass ZFC eine höhere Konsistenzstärke als ZFC-INF (bzw. die Zahlentheorie) hat, dass also die Situation für ZFC "gefährlicher" als für die Zahlentheorie ist. (nicht signierter Beitrag von 84.159.69.9 (Diskussion) 12:34, 12. Jul 2013 (CEST))

Zustimmung. Möchtest du die entsprechenden Stellen im Artikel nicht einfach selbst überarbeiten? Aus deinem Diskussionsbeitrag gewinne ich den Eindruck, dass du das gut kannst. --Digamma (Diskussion) 11:48, 13. Jul. 2013 (CEST)

Zustimmung? Wenn es ohne weiteres möglich ist, dass ZFC-INF widersprüchlich ist, sollte das der Kritiker auch zeigen. Das müsste er durch ein Modell tun. Eine Möglichkeit muss immer in mindestens einer Welt gelten, sprich in einem Modell. Es geht ja angeblich ohne Weiteres. Ich kenne so ein Modell nicht. Das wäre längst bekannt geworden zur Schande aller Mathematiker.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 20:33, 11. Apr. 2017 (CEST)

Ich verstehe deinen Einwand nicht ganz. Bezweifelst du den 2. Gödelschen Unvollständigkeitssatz? Oder dass er auf ZFC - Inf anwendbar ist? --Digamma (Diskussion) 19:49, 12. Apr. 2017 (CEST)

Gödel gilt. Aber seine Sätze besagen nicht: "Es ist ohne weiteres möglich, dass ZFC-INF widersprüchlich ist". Gödel benutzt ja bekanntlich in seiner Metalogik die Zahlentheorie. Man kann doch nicht Gödel zustimmen und gleichzeitig Modelle für ZFC-INF ablehnen, die mit einer gleichmächtigen Metalogik gezeigt werden.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 17:03, 13. Apr. 2017 (CEST)

Weder ich noch der Strangeröffner lehnen ZFC - Inf ab. Die Aussage war nur, dass man die Widerspruchsfreiheit von ZFC - Inf nur beweisen kann, wenn man eine Theorie benutzt, die echt mächtiger (konsistenzstärker) ist als ZFC - Inf bzw. die Zahlentheorie. Die Widerspruchsfreiheit von ZFC - Inf lässt sich natürlich mit ZFC beweisen, aber nicht, wenn man die Hilfsmittel auf ZFC - Inf oder die Zahlentheorie beschränkt, und schon gar nicht mit finiten Methoden. --Digamma (Diskussion) 13:36, 15. Apr. 2017 (CEST)

Klar. Der Witz ist nur der: Gödels Sätze, wenn sie auf ZFC-INF angewendet werden, handeln über ZFC-INF, aber nicht über die Beweismittel, die er auf der Meta-Ebene einsetzt. Anders gesagt: Er gödelisiert nur die Beweismittel von ZFC-INF, und zeigt, dass man dann intern in ZFC-INF nicht die eigene Widerspruchsfreiheit beweisen kann; aber er gödelisiert nicht seine Mittel, mit denen er Meta-Beweise führt! Die gehen doch klar über ZFC-INF hinaus. Oder etwa nicht?--Wilfried Neumaier (Diskussion) 09:02, 16. Apr. 2017 (CEST)

Meines Wissens nicht. Die Beweismittel der Metaebene sind meines Wissens konstruktiv und "finit" im Sinne Hilberts. --Digamma (Diskussion) 12:19, 17. Apr. 2017 (CEST)

Ich habe beim Studieren von Gödel einen anderen Eindruck bekommen. Die metalogische formale Sprache für Zeichen und Formeln ist ein Wortmonoid Z* isomorph zu , das er zur Gödelisierung benutzt. Das steht doch außer Zweifel. Das ist doch nicht mehr finit. Er beweist dann Meta-Sätze über alle Formeln, dazu braucht er Z** isomorph zu , was nicht in ZFC-INF einbettbar ist (per Gödelisierung).--Wilfried Neumaier (Diskussion) 14:56, 17. Apr. 2017 (CEST)

Über Hilberts finite Methoden informiert man sich am besten bei ihm selbst im Aufsatz Die logischen Grundlagen der Mathematik Math. Ann. 88 (1923), 151-165. Dort werden Quantoren als transfinit deklariert! Man lese und staune: Die Äquivalenz kommentiert er dort mit den Worten "damit verlassen wir den Boden des Finiten und betreten das Gebiet der transfiniten Schlussweisen". Man beruft sich also besser nicht auf Hilberts finite Beweismittel. Das Reden von einer finiten Metalogik ist m.E. schlicht naiv. Eine Metalogik ohne Quantoren gibt es doch nicht. Sie sind bei Hilbert und seinen direkten Nachfolgern im verbalen Kommentar versteckt. Sie reflektieren in der Regel ihre eigenen metalogischen Voraussetzungen nicht, sondern gebrauchen naiv eine Formale Sprachtheorie, die nicht finit ist. --Wilfried Neumaier (Diskussion) 18:20, 18. Apr. 2017 (CEST)

OK, auf "finit" möchte ich mich nicht festlegen. Die Frage ist aber, was hier mit "Metatheorie" gemeint ist. Dazu gehört i.A. die Semantik und der Gödelsche Vollständigkeitssatz. Dieser Teil der Metatheorie ist selbstverständlich nicht finit. Bei den Unvollständigkeitssätzen geht es aber um die Beweistheorie. Und meines Wissens sind die Beweise konstruktiv.
Unser Ausgangspunkt war aber meine Zustimmung zum Beitrag der strangeröffnenden IP. Dazu verweise ich auf Kenneth Kunen: Set Theory. An Introduction to Independence Proofs. North Holland 1980. Dort steht (p. 45, ex. (23)), dass die Gödelschen Unvollständigkeitssätze für jede rekursive Erweiterung von "ZF − P − Inf" gelten. Dabei ist mit "ZF" ZF ohne das Fundierungsaxiom gemeint und mit "P" das Potenzmengenaxiom. --Digamma (Diskussion) 21:43, 18. Apr. 2017 (CEST)

Ich werde mir das Buch mal ausleihen. Ich meine aber schon die Beweistheorie und nicht die Semantik. Gerade der Gödelsche Unvollständigkeitssatz argumentiert doch mit der Gödelisierung, also mit , und mit dem Diagonalargument, das doch braucht. Er braucht dann eben in dieser Metalogik mehr als ZFC-INF, um seinen Unvollständigkeitssatz über ZFC-INF zu beweisen. Oder nicht?--Wilfried Neumaier (Diskussion) 18:27, 20. Apr. 2017 (CEST)

Verständlichkeit[Quelltext bearbeiten]

Ein interessierter Laie versteht hier nurt "Bahnhof"... Gruss, --Markus (Diskussion) 07:10, 8. Jul. 2014 (CEST)

Cantors Mengen„axiome“[Quelltext bearbeiten]

@Wilfried Neumaier Der Abschnitt ist Quatsch, denn im Brief an Hilbert sprach Cantor von einer Definition („Unter einer fertigen Menge verstehe man jede Vielheit, bei welcher alle Elemente ohne Widerspruch als zusammenseiend und daher als ein Ding für sich gedacht werden können.“), aus der vier Sätze, von denen zwei im Wikipedia-Artikel als Axiome verkauft werden („Bildmengenaxiom“ – Cantor schrieb übrigens „Substituirt“ statt „Substituiert“, „resultirende“ statt „resultierende“ sowie abgekürzt „fert. M.“ statt „fertigen Menge“; hingegen wurden seine Schreibweisen „Theilvielheit“ und „Theilmengen“ übernommen – und „Potenzmengenaxiom“ – hier fehlen Kursivierungen), folgen sollen. Siehe: [2]. Das „Teilmengenaxiom“ und „Vereinigungsmengenaxiom“ formulierte Cantor im Brief an Dedekind, ohne es als Axiom zu bezeichnen. Wir können nicht einfach irgendwelche Aussagen Cantors herauspicken und das als seine Axiomatisierung der Mengenlehre ausgeben, noch dazu „gleichwertig mit ZFC ohne Fundierung“. Anscheinend aufgrund dieses Abschnitts ist im Buch Zahlen von Vojtěch Kolman zu lesen:

Allerdings stammt die gesamte Idee der Axiomatisierung der Mengenlehre von Cantor selbst und wurde wohl mündlich tradiert, wie die brieflichen Mitteilungen Cantors an Hilbert aus den Jahren [sic] 1898 belegen.6 Das erst später von Fraenkel [falsche Worttrennung am Zeilenende: „Fra-enkel“] unter dem Titel „Ersetzungsaxiom“ (axiom of replacement) zu den Axiomen Zermelos hinzugefügte Prinzip heißt bei Cantor noch ganz plastisch „Bildmengenaxiom“: […] Bei Cantor fehlen allerdings noch einige Axiome, etwa das Fundierungsprinzip, nach dem jede absteigende Kette der Form endlich ist, bzw. das (sich fast von selbst verstehende) Extensionalitätsprinzip (Zermelos Axiom der Bestimmtheit). Das alles zeigt, dass Cantor vorerst nur an eine Art konstitutive Beschreibung des Bereichs, noch nicht an eine ‚vollständige‘ Axiomatisierung denkt.

Der Ausdruck Bildmengenaxiom kommt in der Mitteilung an Hilbert freilich nicht vor. -- IvanP (Diskussion) 18:33, 12. Okt. 2017 (CEST)

Nun, Quatsch ist es nicht, weil Cantor ja nichts bewies! Damit niemand Anstoß daran nimmt, habe ich es behutsamer formuliert. Man lese die angegebene Literatur zu Cantor (Felgner).--Wilfried Neumaier (Diskussion) 15:42, 12. Okt. 2017 (CEST)

„Cantor dachte zwar, diese Regeln aus seiner Mengendefinition ableiten zu können, führte aber tatsächlich keine Beweise. Daher haben sie den Rang von Axiomen.“ – Äh, nein, Axiome werden vorausgesetzt, Cantor legte die Aussagen aber nicht als Axiome fest, sondern meinte, dass sie sich aus besagter Definition herleiten lassen. Ob das stimmt und ob er auch wirklich einen Beweis geführt hat, ist unerheblich. Natürlich kannst du die Aussagen als Axiome verwenden, das macht das Ganze aber nicht zu seiner Axiomatisierung. -- IvanP (Diskussion) 18:34, 12. Okt. 2017 (CEST)

Damit klar ist, dass nicht ich es bin, der von Axiomen spricht, habe ich jetzt ein Zitat der prominenten aktuellen Quelle an den Anfang gestellt.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 09:23, 16. Okt. 2017 (CEST)