Diskussion:Erweiterte reelle Zahl

"projektiv"

Das "projektiv" steht da ja nicht zufällig, sondern $\mathbb {R} ^{*}$ ist eine Realisierung der reellen projektiven Geraden $\mathbb {R} P^{1}$, genauso, wie die Einpunkt-Kompaktifizierung der komplexen Zahlenebene der komplex projektiven Gerade $\mathbb {C} P^{1}$ entspricht. Der Bezug sollte im Artikel dargestellt werden. -- Digamma 14:18, 10. Feb. 2011 (CET)

Umfang der Erweiterung der reellen Zahlen

Thema:

In meinen Augen ist die hier beschriebene Erweiterung der reellen Zahlen etwas unvollständig bzw. es fehlt die Hälfte. Wenn man die reellen Zahlen um Ränder $\pm \infty$ ergänzt, sollte man dann nicht konsequenterweise auch dem offenen Intervall $(0,\infty ]$ einen linken Rand ähnlicher Qualität verpassen. Ich nenne ihn mal - wahrscheinlich sehr ungünstig - rechter Nachbar von Null. $rNvN$, weil mir "linker Rand jedes/eines 'offenen' Intervall, dessen linke Grenze die Null ist" zu krampfig anmutet. $rNvN$ ergibt sich für-mich-zwingend aus $1/\infty$. Nebenbei bemerkt kann man meiner Meinung nach $1/\infty \neq 0$ nicht leugnen.

Von ähnlicher Qualität spreche ich, weil man dem $rNvN$ zwar mit der Null äußerst nahe kommt, er aber dennoch so greifbar ist wie $\infty$.

Und ja, wenn sich $rNvN$ für-mich-zwingend aus $1/\infty$ ergibt, ergeben sich auch für-mich-zwingend $rNv(x)$ und $lNv(x),\forall x\in \mathbb {R}$ aus $rNvN+x$ bzw. $lNvN+x$. Oder - falls man nicht von Nachbarn sprechen mag - man formuliert allgemein f.a. offenen Intervalle solche Ränder und nimmt diese sämtlichst in die erweiterten reellen Zahlen auf.

Wie man mir sicher schon ansieht bin ich kein Mathematiker. Man möge meine Form nicht zu genau nehmen. Wer meine Ausführungen sinnvoll kritisieren kann, wird meine Idee schon verstanden haben. Vom wenn-schon,-denn-schon-Aspekt abgesehen frage ich mich jedenfalls ganz naiv, ob es nicht auch in Hinblick auf die Anpassung der Grundrechenarten förderlich sein könnte so konsequent zu sein. ?

Frage:

Sind solche Überlegungen schon ergebnisbehaftet auf akademischem Niveau angestellt worden? I.e. gibt es zu dem Thema etwas, das wikipediafähig ist? Wenn dem so ist, sollte es in diesem Artikel erwähnt werden, wenn möglich mit Verweisen. Denn - wie darzustellen versucht - ergeben sich solche Überlegungen für-mich-zwingend aus der gegebenen Erweiterung der reellen Zahlen, sodaß ich mir kaum vorstellen kann, daß sie noch nicht angestellt worden sind. Andernfalls hat das Thema selbstverständlich (noch) nichts in diesem Artikel verloren. Dann sollte es allerdings von anderer Stelle mal jemand aufgreifen.

-- StrRev(noilihti) 06:09, 13. Jul. 2011 (CEST)

Fehler bez. 0^(-1) bei den arithmetischen Regeln in den affin erweiterten R?

Im Abschnitt der arithmetischen Regeln für die Grundrechenarten bei den affinen erw. R wird "0^(-1) = ?" angegeben, was auch insofern für mich Sinn macht, da man nicht weiß, ob man es als positiv oder negativ Unendlich definieren soll. (Oberer und Unterer Grenzwert für x^(-1) mit x -> 0 verschieden).

Bei der Potenzrechnung hingegen wird allerdings "0^a = +oo" für "-oo <= a < 0" aufgeführt. Nun ist insbesondere "-1" doch Element der Menge in der Bedingung. Sollte man das nicht verbessern, oder sehe ich da gerade einfach etwas falsch?

--DemonSlazer 23:34, 23. Okt. 2011 (CEST)

Ich dachte erst, du siehst das falsch, aber in der Tat muss man $0^{-n}$ gesondert betrachten, da für ganzes $n$ ja auch $x^{-n}$ mit $x<0$ definiert ist. Falls $n$ gerade ist, liefert dies gegen $+\infty$ gehende Werte und es ändert sich nichts gegenüber dem "Normalfall". Falls dagegen $n$ ungerade ist (insbesonderbei $n=-1$) ergibt sich wieder das Fragezeichen.--Hagman 19:27, 24. Okt. 2011 (CEST)

Bezeichnung der Einpunktkompaktifizierung

Im Artikel Nichtstandardanalysis stand bis vor Kurzem $\mathbb {R} ^{*}$ für den Körper (!) der hyperreellen Zahlen, wo es nicht nur $\infty$ und ggf. $-\infty$ gibt, sondern überabzählbar viele unendliche Zahlen. Ansonsten habe ich in der Literatur oft auch ${}^{*}\mathbb {R}$ gelesen, und der Artikel speziell über hyperreelle Zahlen hält es genauso. Ich werde es auch im Artikel über Nichtstandardanalysis ändern, die Verwechsungsgefahr ist selbst dann noch groß genug.--Slow Phil (Diskussion) 16:49, 18. Dez. 2012 (CET)

Kehrwert? Nur in einem sehr uneigentlichen Sinne!

In der Tabelle steht, der Kehrwert von $\pm \infty$ in ${\bar {\mathbb {R} }}$ bzw. der von $\infty$ in $\mathbb {R} ^{*}$ sei 0, und in $\mathbb {R} ^{*}$ habe sogar 0 einen Kehrwert, nämlich $\infty$. Natürlich liegt das nahe, denn Kehrwerte liegen auf diesem Zahlenkreis einander gegenüber. Allerdings kann das nur in einem sehr uneigentlichen Sinne gelten, denn normalerweise ergibt die Multiplikation $a\cdot a^{-1}$ das neutrale Element 1, so ist das Inverse definiert. $\infty \cdot 0$ ergibt jedoch etwas völlig Beliebiges. Als Kind dachte ich noch, es sei die Unendlichkeit, die das Teilen durch 0 unmöglich mache, da $\infty$ keine Zahl sei. In Wirklichkeit ist es jedoch genmau die oben skizzierte Beliebigkeit von $\infty \cdot 0$ oder ${\frac {0}{0}}$, die es unmöglich macht. Nur deshalb kann man mit der Division durch 0 jeden Unfug beweisen.--Slow Phil (Diskussion) 17:07, 18. Dez. 2012 (CET)

verschieben nach erweiterte reelle Zahlen

--92.205.99.63 21:10, 26. Mär. 2014 (CET)

Netter Versuch

Aber leider verlieren die "ergänzten" reellen Zahlen eine wichtige Eigenschaft (vgl. Archimedisches_Axiom/Supremumsaxiom).

Alle Sätze, die sich auf Suprema und Infima beziehen, werden schlagartig ungültig. (nicht signierter Beitrag von 109.91.206.242 (Diskussion) 11:14, 21. Feb. 2015 (CET))

${\overline {\mathbb {R} }}$ wirklich streng total geordnet?

Sind die affin erweiterten reellen Zahlen ${\overline {\mathbb {R} }}$ wirklich streng total geordnet? Die Totalordnung $\leq$ ist mir klar, aber die strenge Totalordnung $<$ ist doch nicht verträglich mit der Addition auf ${\overline {\mathbb {R} }}$, denn für $x,y\in \mathbb {R} \cup \{\infty \}$ gilt $x+\infty =\infty =y+\infty ,$ und daher ist die Eigenschaft $x<y\Rightarrow x+z<y+z$ für $z=\infty \in {\overline {\mathbb {R} }}$ nicht erfüllt. (nicht signierter Beitrag von 160.85.7.56 (Diskussion) 8. Oktober 2020, 18:20 Uhr)

Hat sich glaub erledigt, denn wir brauchen für eine streng total geordnete Menge nur Transitivität und Trichotomie, aber nicht die Verträglichkeit mit den Körperoperationen (nicht signierter Beitrag von 77.56.240.193 (Diskussion) 8. Oktober 2020, 18:58 Uhr)

Topologie, affiner Fall

Bei der Überlegung, dass die Standardmetrik sich nicht auf ${\bar {\mathbb {R} }}$ fortsetzen lässt, hat sich glaube ich einen kleinen Fehler reingeschlichen. Unter der Annahme, dass die offene Kugel mit Radius 1 um $-\infty$ von der Form $[-\infty ,a[$ für eine reelle Zahl $a$ ist, so muss für jedes reelle $b\leq a-1$ folgendes gelten $2=d(b-1,b+1)\leq d(b-1,-\infty )+d(-\infty ,b+1)\lneq 1+1$. Der Widerspruch ist aber mit $b=a$ nicht ersichtlich, denn $d(-\infty ,a+1)>1$ nicht auszuschließen ist. --QuatschAmeise (Diskussion) 14:00, 24. Okt. 2024 (CEST)