Diskussion:Eulerscher Polyedersatz

• Die Eulersche Polyederformel hat eigentlich nichts mit der Konvexität zu tun. Entscheidend ist, dass die Oberfläche homöomorph zur 2-Sphäre (Mathematik) ist (anschaulich gesagt: dass es keine "Löcher" gibt), siehe die mehr oder weniger unfertigen Artikel Homologietheorie, Euler-Charakteristik und CW-Komplex.
• Die Eulersche Polyederformel gibt es auch für plättbare Graphen, vgl. dort (mit 1 statt 2, wenn das Äußere nicht mitgezählt wird).--Gunther 12:12, 27. Feb 2005 (CET)

Vielleicht wäre im Umfeld der Homotopietheorie ein weiterführender Artikel "Eulercharakteristik" (oder ähnlich) sinnvoll, der dann auch den Spezialfall der Triangulierungen auf der 2-Sphäre behandelt. Unter dem Stichwort "Eulerscher Polyedersatz" würde ich aber eher das erwarten, was dort jetzt steht. (Gerne natürlich weiter ausgebaut :) --Big Kahuna 21:33, 1. Mär 2005 (CET)

Inwiefern ist der aktuelle Artikel Euler-Charakteristik da nicht ausreichend?--Gunther 21:51, 1. Mär 2005 (CET)

Oh sorry. Hatte mich beim Suchen wohl vertippt. Klar ist der ausreichend. Aber zur eigentlichen Frage: meiner Meinung nach ist das Nebeneinander der beiden Artikel so völlig ok. Und nach meinem Verständnis - ich bin übrigens kein Mathematiker, das kann also auch durchaus falsch sein - bezieht sich der 'Eulersche Polyedersatz' eben auf den genannten Spezialfall konvexer Polyeder. Oder irre ich mich da? Dann sollte der Artikel korrigiert werden! --Big Kahuna 22:04, 1. Mär 2005 (CET)

Nein, ich denke, Du irrst Dich da nicht. Ich meinte nur, dass man im Artikel darauf hinweisen sollte, dass das nicht die "wahre" Voraussetzung ist, und Links auf die Verallgemeinerung und den analogen Satz der Graphentheorie setzen sollte. Habe das getan und gleichzeitig den Verweis auf den Satz von Pick herausgenommen, der mit der Eulerschen Polyederformel nichts zu tun hat.--Gunther 23:36, 1. Mär 2005 (CET)

klassischer Beweis

Ich habe mal versucht, einen klassichen, einigermaßen Oma-tauglichen Beweis zu schreiben, der keiner weiteren Vorkenntnisse bedarf. Da man selbst aber bei gerade mathematische Beweisen nicht das Maß aller Dinge ist, was die Verständlichkeit betrifft, wären ein paar Anmerkungen schön, was noch zu verbessern wäre.--Wrzlprmft 18:31, 14. Jan. 2007 (CET)

Ich habe den Zusammenhang zwischen Polyedern und planaren Graphen aus den Beweisen ausgegliedert und ein wenig verbessert. Dennoch bin ich immer noch nicht wirklich zufrieden mit der Erklärung. Falls also jemand Hilfe weiß … --Wrzlprmft 16:41, 21. Jan. 2007 (CET)

Grundsätzlich trifft sich das gut, weil ich das bald für meine Examensprüfung brauche. Hast du auch die Animationen gebastelt? Hübsch! Das Beispiel bei "Hinzufügen einer Kante" ist aber womöglich irre leitend, denn eine neue Kante muss ja nicht zwangsläufig ein bereits bestehendes Polygon teilen, sondern kann auch eine hervorstehende Kante (wie in der dritten Abb.) mit einer Ecke verbinden und so ein Polygon entstehen lassen. Dein Argument bleibt gleich - aber vielleicht wäre eine Verdeutlichung nicht schlecht.--Bob Ross Is King 21:32, 17. Jan. 2008 (CET)

Dass die Formel für einen einzelnen Knoten gültig ist, ist mir klar. Aber trifft die Definition darauf auch zu? Die Formel ist doch definiert für planare zusammenhängende Graphen. Und zusammenhängende Graphen sind ja wiederum definiert das ein Weg zwischen zwei beliebigen Knoten besteht. Gilt ein Graph also auch als zusammenhängend, wenn er nur aus einem einzelnen Knoten besteht? Wenn ja, dann sollte das doch auch auf der Seite über Zusammenhängende Graphen stehen.--Roadexpert 12:35, 26. Okt. 2009 (CET)

Bemerkung zum Gegenbeispiel

Beim Gegenbeispiel (Bild links oben) heißt es: 34 Flächen, 13 Ecken und 36 Kanten. Wenn ich mich nicht vertan habe sind es 32 Flächen (8 Dreiecke, und 6 nach innen gehende Pyramiden mit je 4 Flächen). Dass der Eulersche Polyedersatz nicht gilt, liegt dann wohl daran, dass in der Mitte vier Ecken zu einer zusammenfallen? Mit drei Ecken mehr passt es wieder... Gruß, Holger

Das mit den Flächen stimmt. Keine Ahnung, ob mich vertippt oder verzählt habe. Wobei: Genaugenommen steht nirgendwo geschrieben, dass das Ding gewisse Symmetrien hat, womit die Rückseite ziemlich beliebig aussehen kann und somit auch diese Flächenzahl möglich wäre. (Was übrigens einer der Gründe ist, warum es sich hier um ein schlechtes Beispiel handelt. Falls also jemand ein besseres auf Lager hat …)

Zumindest nach meiner Interpretation dieses Polyeders laufen in der Mitte 8 Ecken zusammen und außerdem fallen alle Kanten, die auf die mittlere Ecke zulaufen, mit anderen zusammen. Das führt dann dazu, dass man das Polyeder nicht auf eine Kugel zerren kann, da man diese inneren Treffpunkte zerreißen müsste. (Mir ist nicht absolut klar, was Du meintest, deswegen habe ich einfach meine Sichtweise aufgeschrieben.) --Wrzlprmft 18:50, 29. Jan. 2007 (CET)

So habe ich mir das auch vorgestellt. Der Polyeder besteht aus 8 Dreiecksflächen und 6 nach innen gehenden Pyramiden mit quadratischer Grundfläche, deren Spitzen in der Mitte zusammenfallen. Demnach fallen 6 Ecken zusammen, und beim auseinanderziehen würden 5 neue Ecken entstehen. Außerdem enstehen 12 neue Kanten, denn von den 4*6=24 Kanten zu den Pyramidenspitzen fallen nicht mehr jeweils zwei zusammen. Die Flächenzahl bleibt und der Polyedersatz stimmt dann: 32Flächen + 18Ecken - 48Kanten = 2. (Ich war gestern nicht in der Lage 32 und 13 zusammenzuzählen, und kam deshalb auf die falsche Zahl zusammenfallender Ecken...) Gruß, Holger

Wie auch immer das Ding von hinten aussieht: es handelt sich nicht um ein konvexes, sondern um ein konkaves Polyeder. Über konkave Körper macht der Satz keine Aussage. --Big Kahuna 22:55, 30. Jan. 2007 (CET)

Der Begriff „Gegenbeispiel“ ist hier nicht ganz richtig, genauergesagt ist es ein Beispiel dafür, was bei Verletzung der Bedinungen des Satzes passieren kann. Aber da für etablierte mathematische Lehrsätze hoffentlich keine Gegenbeispiele existieren, ist wohl klar, wovon die Rede ist. Außerdem ist der Begriff im Artikel bewusst vermieden.
Nichtsdestotrotz kann man die Gültigkeit des Satzes sinnvoll auf konkave Polyeder erweitern, die ein zusammenhängendes, massives Inneres haben, denn entscheidend für den Zusammenhang zu planaren Graphen (und somit für die meisten Beweise) ist nicht die Konvexität, sondern die Projizierbarkeit auf die Kugel (siehe auch im Artikel). Und selbst bei Verletzung dieser Bedingung kann man noch Polyeder finden, für die E + F − K = 2 gilt, z. B. ein Würfel, bei dem zwei gegenüberliegende Seiten ähnlich einem Atrium eingedellt sind, sodass sich ein quadratisches Loch bildet, das wiederum ganz von einem Oktaeder ausgefüllt wird. (Das Beispiel entstand mit einem Denkfehler. --Wrzlprmft 23:51, 30. Jan. 2007 (CET) Passt doch! --Wrzlprmft 00:10, 31. Jan. 2007 (CET))

Zu Holger: Deine Aussagen stimmen so meines Erachtens. Ein weiteres Beispiel für ein kokaves Polyeder, das den Polyedersatz erfüllt (da es keine Löcher o. ä. hat), ist das Sterntetraeder. Die Einbindung eines Bildes in den Artikel ist auch schon vorhanden und muss nur noch entkommentiert werden, sobald genügend Platz ist. --Wrzlprmft 23:39, 30. Jan. 2007 (CET)

Die zweite Figur, die ein nichtkonvexes Polyeder darstellen soll, verstehe ich nicht. --Hanfried.lenz 12:07, 6. Nov. 2007 (CET).

Sehr viel einfachere "Gegenbeispiele" ergeben sich, wenn man statt der Konvexität die Beschränktheit verletzt. Mit Polyederkegeln stehen dann extrem einfache Beispiele zur Verfügung. 22:21, 13. Okt. 2008 (CEST)r. labus

"zusammenhängendes Inneres ohne Löcher"

was ist mit dem "zusammenhängendem Inneren ohne Löcher" im Artikel gemeint? ("Hat ein Polyeder ein zusammenhängendes Inneres ohne Löcher, kann die Beziehung seiner Flächen, Kanten und Ecken auch als planarer Graph (ein ebenes, zusammenhängendes Netz, dessen Kanten einander nicht schneiden) dargestellt werden.") -- demus wiesbaden 18:28, 20. Mai 2008 (CEST)

Man sollte vielleicht "einfach zusammenhängendes" sagen. -- Drjanosch 20:20, 11. Dez. 2011 (CET)

ungewöhnlicher Beweis

Inzwischen ist der Satz von Pick wieder drin. Für mich sieht dieser "ungewöhnliche Beweis" aus wie eine verkappter (co)homologischer Beweis via Euler-Charakteristik. Die Formel für den Flächeninhalt läßt sich vermutlich direkt via Poincaré als Integral einer Fundamentalklasse interpretieren. Zuguterletzt beweist sich der Satz von Pick selbst auch via einer (kanonischen) Triangulierung, und Punktierungen haben auch den erwarteten topologischen Effekt. Der Satz von Pick ist also selbst genau genommen eine rein topologische Aussage (in elementarer Formulierung und Gestalt).

Den Beweis würde ich drin lassen, ihn jedoch nicht als ungewöhnlich bezeichnen. Falls keine Einwände bestehen, würde ich die Betitelung des Abschnittes bei Gelegenheit ändern, vielleicht in "ein weiterer Beweis". -- Drjanosch 20:20, 11. Dez. 2011 (CET)

E+F-K=2

Ich schlage vor die Formel aus systematischen Gründen (was z.B. die Einordnung in die Theorie der CW-Komplexe angeht) in die Reihenfolge Ecken, Kanten, Flächen umzustellen. D.h. E-K+F=2. Zum einen hat man hier die Vorzeichen in alternierender Reihenfolge zum anderen die Dimensionalität der Simplizes in aufsteigender Reihenfolge.--Thn2010 (Diskussion) 09:56, 5. Okt. 2012 (CEST)

Hinweis auf Gibbssche Phasenregel

zwischen der Gibbssche Phasenregel und dem Eulerscher Polyedersatz besteht eine formale Ähnlichkeit:

die Gibbssche Phasenregel
 f=N-P+2 lässt sich umformen zu f+P=N+2, wobei gilt:
 f - Anzahl der Freiheitsgrade,
 P - Anzahl der Phasen,
 N - Anzahl der unabhängigen Komponenten.

Formal lässt sich so identifizieren:

Eulerscher Polyedersatz: F+E=K+2 mit 
Gibbssche Phasenregel:   f+P=N+2
f  mit F Anzahl der Flächen,
P  mit E Anzahl der Ecken,
N  mit K Anzahl der Kanten eines Polyeders.

Diese formale Übereinstimmung gibt eine suggestive Vorstellung des Begriffs der Freiheitsgrade, als einer Fläche, eines zweidimensionalen Gebildes. --TumtraH-PumA (Diskussion) 01:38, 7. Okt. 2012 (CEST)

platonische Körper

Die Aussage "Aus dem Satz lässt sich herleiten, dass es nicht mehr als fünf platonische Körper geben kann." finde ich zweifelhaft. Ich kenne nur folgenden Beweis: Wenn ein platonischer Körper aus lauter regelmäßigen n-Ecken besteht und in jedem Eckpunkt genau k solche n-Ecke zusammentreffen, so muss wegen der Winkelsumme gelten k*π*(n-2)/n<2π, also 1-2/n<2/k. Da diese diophantische Ungleichung nur fünf Lösungen (k,n)=(3,3),(3,4),(3,5),(4,3),(5,3) besitzt, gibt es nur fünf platonische Körper. Die Eulersche Polyederformel wird erst dann benötigt, wenn man mit Hilfe von k und n die Anzahlen E, F und K berechnen will. (nicht signierter Beitrag von 213.47.239.83 (Diskussion) 20:41, 9. Sep. 2013 (CEST))

Eine Frage

Müsste es in der vierten Textzeile nicht ...[chi] = 2 (statt ... = 0) heißen? (nicht signierter Beitrag von 77.25.226.61 (Diskussion) 19:56, 18. Jun. 2015 (CEST))

So sehe ich das auch. Entweder sollte die Euler-Charakteristik = 2 sein oder das Geschlecht = 0. Für Euler-Charakteristik = 0 (also Geschlecht = 1) ist die Aussage jedenfalls falsch. --129.13.171.94 14:44, 24. Feb. 2016 (CET)

Stimmt, ich hab’s mal geändert. -- HilberTraum (d, m) 10:01, 25. Feb. 2016 (CET)