Diskussion:Fundamentalsatz der Analysis
Artikellänge[Quelltext bearbeiten]
Der Eintrag ist ein wenig kurz. Ein so wichtiger Satz wird nicht weniger erhaben, wenn er wirklich erklärt wird und nicht nur eine skizzenhafte Darstellung auf Niveau eines Skriptes erhält. Überdies wäre eine Grafik kein Beinbruch.
Allgemeinere Version des ersten Teils[Quelltext bearbeiten]
Der erste Teil des Hauptsatzes beschränkt sich hier auf Funktionen, die auf einem abgeschlossenen Intervall definiert sind. Allgemeiner könnte man ihn für Funktionen definieren, die auf einem Intervall definiert sind. Dadurch würde man so wichtige Spezialfälle wie einschließen. --Mathze (Diskussion) 17:35, 14. Feb. 2023 (CET)
- Das stimmt. --Digamma (Diskussion) 20:08, 15. Feb. 2023 (CET)
- Ich habe den Artikel so geändert, dass der erste Teil für allgemeine Intervalle I formuliert ist. Ob die allgemeinere Version auch bei Lebesgue-Integralen und bei Stetigkeit in einem Punkt gilt, kann ich nicht sagen, dazu fehlt mir das fachliche Wissen. --Mathze (Diskussion) 14:33, 16. Feb. 2023 (CET)
- Die Version für offene Intervalle folgt doch aus der für abgeschlossene Intervalle, indem man das offene Intervall durch eine Folge von abgeschlossenen Intervallen ausschöpft.
- Welche Aussage meinst du bei Lebesgue-Integralen? Ein Lebesgue-Integral einer stetigen Funktion ist immer auch ein Riemann-Integral. --Digamma (Diskussion) 20:21, 16. Feb. 2023 (CET)
- Das stimmt. Jedoch kann man den ersten Teil des Hauptsatzes beweisen, wenn man nur annimmt, dass f: I -> IR stetig und I ein Intervall ist. Das geht alles sauber durch, und man muss nicht zuerst eine Version für Intervalle [a,b] beweisen und dann mit der Ausschöpfungsmethode auf alle Intervalle verallgemeinern. --Mathze (Diskussion) 22:27, 16. Feb. 2023 (CET)
- Ich wollte nur sagen: Es ist offensichtlich, dass man statt abgeschlossener Intervalle beliebige Intervalle nehmen kann. Das gilt auch für die Aussage mit dem Lebesgue-Integral und für die Differenzierbarkeit an einer einzigen Stetigkeitsstelle. Kompakte Intervalle braucht man nur, wenn man Gleichmäßigkeitsaussagen machen will, z.B. dass die Integralfunktion Lipschitz-stetig ist. --Digamma (Diskussion) 13:11, 17. Feb. 2023 (CET)
- Das stimmt. Jedoch kann man den ersten Teil des Hauptsatzes beweisen, wenn man nur annimmt, dass f: I -> IR stetig und I ein Intervall ist. Das geht alles sauber durch, und man muss nicht zuerst eine Version für Intervalle [a,b] beweisen und dann mit der Ausschöpfungsmethode auf alle Intervalle verallgemeinern. --Mathze (Diskussion) 22:27, 16. Feb. 2023 (CET)
- Ich habe den Artikel so geändert, dass der erste Teil für allgemeine Intervalle I formuliert ist. Ob die allgemeinere Version auch bei Lebesgue-Integralen und bei Stetigkeit in einem Punkt gilt, kann ich nicht sagen, dazu fehlt mir das fachliche Wissen. --Mathze (Diskussion) 14:33, 16. Feb. 2023 (CET)
Geschichte und Rezeption[Quelltext bearbeiten]
"Henri Léon Lebesgue erweiterte dann 1902 den Fundamentalsatz mit Hilfe seines Lebesgue-Integrals auf unstetige Funktionen." Für eine große Klasse von unstetigen Funktionen braucht man kein Lebesgue-Integral, hier wird es so dargestellt, dass es erst das Lebesgue-Itegral ermöglicht, überhaupt unstetige Funktionen zu integrieren. --Mathze (Diskussion) 23:22, 15. Feb. 2023 (CET)
- Aber nur an Stetigkeitsstellen ist die Integralfunktion differenzierbar. Zumindest hat sie an Sprungstellen des Integranden einen Knick. --Digamma (Diskussion) 13:13, 17. Feb. 2023 (CET)
- Ja. Natürlich sind viele nichtstetige Funktionen Lebesgue-integrierbar und nicht Riemann-integrierbar, es klingt hier in meinen Ohren nur so, als sei es Lebesgue mit seinem Integral gelungen, erstmals nichtstetige Funktionen zu integrieren. Es geht mir vor allem um die Formulierung. Ein Profi wird schon wissen, was gemeint ist. Aber wie viele Profis konsultieren überhaupt Wikipedia? --Mathze (Diskussion) 14:46, 17. Feb. 2023 (CET)
- Aber es geht beim Fundamentalsatz gar nicht um die Integrierbarkeit, sondern um die Differenzierbarkeit und die Ableitung der Integralfunktion. --Digamma (Diskussion) 15:07, 17. Feb. 2023 (CET)
- Ja, danke! Das habe ich übersehen. Wer lesen kann ist klar von Vorteil...:) --Mathze (Diskussion) 15:19, 17. Feb. 2023 (CET)
- Aber es geht beim Fundamentalsatz gar nicht um die Integrierbarkeit, sondern um die Differenzierbarkeit und die Ableitung der Integralfunktion. --Digamma (Diskussion) 15:07, 17. Feb. 2023 (CET)
- Ja. Natürlich sind viele nichtstetige Funktionen Lebesgue-integrierbar und nicht Riemann-integrierbar, es klingt hier in meinen Ohren nur so, als sei es Lebesgue mit seinem Integral gelungen, erstmals nichtstetige Funktionen zu integrieren. Es geht mir vor allem um die Formulierung. Ein Profi wird schon wissen, was gemeint ist. Aber wie viele Profis konsultieren überhaupt Wikipedia? --Mathze (Diskussion) 14:46, 17. Feb. 2023 (CET)