Diskussion:Kontiguität (Wahrscheinlichkeitstheorie)

Der Artikel „Kontiguität (Wahrscheinlichkeitstheorie)“ wurde im Januar 2022 für die Präsentation auf der Wikipedia-Hauptseite in der Rubrik „Schon gewusst?“ vorgeschlagen. Die Diskussion wird voraussichtlich hier archiviert. Der Artikel wurde nicht auf der Hauptseite präsentiert.

Lemma von Le Cam

Im Text heißt es "Le Cams erstes Lemma", "Le Cams drittes Lemma". Ist X ein Mathematiker, so spricht man vom "Xschen Lemma" (veraltet, etwa zornsches Lemma) oder vom "Lemma von X". "Xs Lemma" klingt etwas denglisch. Die einzige deutschsprachige Quelle, die ich auf die Schnelle gefunden haben, behandelt ein Lemma von Le Cam, siehe hier. Ich würde daher anregen, die Bezeichnungen auf "Lemma von X" zu ändern.--FerdiBf (Diskussion) 09:21, 15. Jan. 2022 (CET)

@FerdiBf: Das ist einfach die direkte Übersetzung aus dem englischen, sie taucht u.a. im Skript von Höpfner auf. Der Begriff ist auf deutsch nicht etabliert, daher kannst du es gerne auch ändern. Bigbossfarin (Diskussion) 15:06, 21. Apr. 2022 (CEST)

Frage zum Abschnitt Eigenschaften:

Was bedeutet $(P_{n},Q_{n})\equiv (P,Q)$? Ich bitte darum, die Antwort auch in den Haupttext einzubauen.--FerdiBf (Diskussion) 09:41, 15. Jan. 2022 (CET)

$(P_{n},Q_{n})\equiv (P,Q)$ heißt $(P_{n},Q_{n})=(P,Q)$ für alle n. Ich werde das gleich anpassen. Bigbossfarin (Diskussion) 15:06, 21. Apr. 2022 (CEST)

Frage zum ersten Lemma von Le Cam

Was ist $(\Omega ,{\mathcal {F}},P){\text{ bzw. }}(\Omega ',{\mathcal {F}}',Q)$? Ich bitte darum, die Antwort auch in den Haupttext einzubauen. Ferner sollten die Konvergenzbegriffe erwähnt und verlinkt werden.--FerdiBf (Diskussion) 09:44, 15. Jan. 2022 (CET)

Das sind zwei Wahrscheinlichkeitsräume ich werde das dazuschreiben. Es handelt sich um Konvergenz in Verteilung, auch das werde ich einfügen. Bigbossfarin (Diskussion) 15:06, 21. Apr. 2022 (CEST)

Vielen Dank für die bisherigen Änderungen. Dass es sich um Wahrscheinlichkeitsräume handeln soll, war schon klar, aber welche? Die Formulierung des ersten Lemmas spricht von $P_{n}$ und $Q_{n}$ auf Messräumen $(\Omega _{n},{\mathcal {F}}_{n})$. Dann treten unvermittelt weitere Größen auf wie zum Beispiel $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ und $(\Omega ',{\mathcal {F}}',Q)$. Wahrscheinlich soll hier etwas für beliebige Wahrscheinlichkeitsräume gelten, siehe die folgenden Punkte. Ich kenne die wahrscheinlichkeitstheoretischen Konvergenzbegriffe und erhebe den Anspruch, dieses Lemma verstehen zu können, aber dennoch habe ich Verständnisprobleme bei der Formulierung dieses Lemmas (anderen Lesern könnte es ähnlich gehen). Ich will meine Verständnisprobleme präzisieren:

(1) ${\frac {\mathrm {d} Q_{n}}{\mathrm {d} P_{n}}}{\overset {P_{n}}{\,\longrightarrow \,}}U{\text{ auf einer Teilfolge }}\Rightarrow P(U>0)=1$: Hmmm... Wahrscheinlich sollte diese Aussage präzisiert werden zu "Für alle Zudfallsvariablen $U$ auf einem Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ gilt: die angegebene Formel wenn .... dann". ${\frac {\mathrm {d} Q_{n}}{\mathrm {d} P_{n}}}$ ist eine Radon-Nikodym-Dichte, also eine messbare, reellwertige Funktion $\Omega _{n}\rightarrow \mathbb {R}$, also eine Zufallsvariable auf $(\Omega _{n},{\mathcal {F}}_{n})$. Konvergenz nach Verteilung bedeutet, dass die Verteilungsfunktionen in allen Stetigkeitspunkten der Verteilungfunktion von $U$ konvergieren. Das über den Pfeil gestellte $P_{n}$ soll wohl bedeuten, dass die Verteilungsfunktion bzgl. $P_{n}$ gebildet wird. Wenn das so gemeint ist, dann kann ich diese Zeile verstehen. Ist das so gemeint?

(2) ${\frac {\mathrm {d} P_{n}}{\mathrm {d} Q_{n}}}{\overset {Q_{n}}{\,\longrightarrow \,}}V{\text{ auf einer Teilfolge }}\Rightarrow E(V)=1$: Hmmm... Wahrscheinlich sollte diese Aussage präzisiert werden zu "Für alle Zudfallsvariablen $V$ auf einem Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ',{\mathcal {F}}',Q)$ gilt: die angegebene Formel wenn .... dann". Das über den Pfeil gestellte $Q_{n}$ soll wohl bedeuten, dass die Verteilungsfunktion bzgl. $Q_{n}$ gebildet wird und $E(V)$ soll der Erwartungswert von $V$ auf dem Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ',{\mathcal {F}}',Q)$ sein. Wenn das so gemeint ist, dann kann ich diese Zeile verstehen. Ist das so gemeint?

(3) $T_{n}{\overset {P_{n}}{\,\longrightarrow \,}}0\,\Rightarrow \,T_{n}{\overset {Q_{n}}{\,\longrightarrow \,}}0$ für alle Teststatistiken $T_{n}:\Omega _{n}\rightarrow \mathbb {R}$. Hier fehlt mir etwas. Teststatistiken gehören zu einem Test, aber welcher soll das sein? Oder soll umgekehrt die Teststatistik bzgl. irgendwelcher kritischer Werte einen Test definieren, der dann gar keine Rolle spielt? Bedeutet womöglich Teststatistik hier nichts anderes als reellwertige Zufallsvariable? Wenn letzteres richtig ist, dann bedeutet $T_{n}{\overset {P_{n}}{\,\longrightarrow \,}}0$ nichts anderes, als dass die bzgl. $P_{n}$ gebildeten Verteilungsfunktionen von $T_{n}$ punktweise gegen 0 konvergieren (denn 0 ist überall stetig). Wenn letzteres zutrifft, hätten wir: Für alle Folgen $(T_{n})_{n}$ messbarer Funktionen $T_{n}\colon \Omega _{n}\rightarrow \mathbb {R}$ gilt die angegebene wenn-dann-Aussage. Wenn das so gemeint ist, dann kann ich diese Zeile verstehen. Ist das so gemeint? --FerdiBf (Diskussion) 21:11, 21. Apr. 2022 (CEST)