Diskussion:Kreisteilungspolynom

Wo "lebt" das Polynom?

Der Artikel ist ohne Angabe der zugehörigen Ringe und Körper für Mathematiker ungenießbar. Das n-te Kreisteilungspolynom ist z.B. über den rationalen Zahlen irreduzibel, aber nicht zwangsläufig auch über anderen Körpern. Über endlichen Körpern ist es i.A. nicht irreduzibel. $\varphi _{12}$ ist z.B. über allen endlichen Körpern reduzibel. Deshalb habe ich die Referenzringe bzw. -körper an den entsprechenden Stellen eingefügt. --SanWogi 10:58, 4. Aug. 2008 (CEST)

Stil

Im Moment genügt der Artikel vom Schreibstil her eindeutig nicht enzyklopädischen Ansprüchen. Das sieht man schon beim Überfliegen an der großen Zahl von Ausrufezeichen. Dazu kommen typographische Fehler wie fehlende Leerzeichen oder überflüssige Leerzeichen vor besagten Ausrufezeichen. Das schau ich mir, wenn ich Zeit hab, mal an, aber ans Umschreiben trau ich mich eigentlich nicht, da ich mich mit dem Thema nicht auskenne. -- Arkleseizure 13:32, 13. Feb. 2012 (CET)

+1 Nichts gegen lebendigen Stil in Mathematikartikeln, aber das ist Boulevard/Fanspeak: "Und als Höhepunkt überrascht uns der zentrale Mittelblock mit den drei Mittelgliedern mit Koeffizient -3 !" gehört nicht in eine Enzyklopädie. Aber was will man machen: "immerhin war der 1941 der Computer noch nicht erfunden (und es war Weltkrieg !)" :-D -- HilberTraum 18:51, 14. Feb. 2012 (CET)

Mathematisch ist der Absatz äußert dürftig. Man fragt sich, ob der Autor die zitierten Artikel (deren Relevanz für das Thema auch so schon gering ist) verstanden hat oder sich nur an den großen Zahlen berauscht hat. --84.166.251.141 10:49, 21. Feb. 2012 (CET)

Ich werde das auch nochmal bearbeiten, aber vor allem fehlt hier noch ein wichtiger Referenznachweis. Nämlich Iwanows Artikel in den Nachrichten der Sowjetischen Akademie der Wissenschaften, Jahrgang 1941. Dazu muss ich nochmal nach Münster zum Mathematischen Institut der Universität, was wegen Berufstätigkeit durchaus schwierig ist. Von dort habe ich jedenfalls meine Informationen, und dort gibt es auch eine kurze englische Zusammenfassung mit seinen drei (z.T.) widerlegten Thesen. Ich habe demnächst vor, diese im Original zu zitieren, um der Zitiergenauigkeit gerecht zu werden.

Ich habe mich nicht an großen Zahlen "berauscht", sondern wollte bei Wikipedia die Informationen über hohe Exponenten von x veröffentlichen. Noch im alten Jahrtausend existierte ein Server an der Vanderbilt University in den USA, der längst abgeschaltet ist; dort konnte man auch schwierige Polynome zur Faktorisierung eingeben oder Funktionen mit schwierigen Gleichungen differnzieren oder integrieren. Jedenfalls habe ich mal den Computer x^15015-1 zerlegen und ausdrucken lassen. Der Ausdruck ist immerhin 65 DIN-A 4-Seiten lang. Von dort habe ich auch die Polynome von Phi (x) 165 und Phi (x) 385. wenns interessiert, kann ich ja mal die Datei mit einstellen und verlinken.

Ich habe den Artikel mit Absicht etwas salopper geschrieben, weil ich den Leser mitnehmen wollte auf eine Expedition in große Zahlen, die tatsächlich unvorhersagbar sind. Mathematische artikel sind schließlich das Trockenste, was man sich überhaupt vorstellen kann. Einiges kann auch weg, etwa die Begründung mit dem Weltkrieg. Der Artikel erschien 1941 gerade noch vor der deutschen Invasion. Ich dachte dabei eher an Materialknappheit und Rationierung etwa von Papier im 2.WK, denn die Berechnung etwa von x^1155-1 von Hand verschlingt eben dieses, wenn Polynomdivisionen mit 177 Summanden von Phi (x)_385 durchgeführt werden müssen und als Ergebnis eins mit vielen Hundert Summanden herauskommmt. Übrigens: bei der Eingabe von x^255255-1 streikte der Uni-Rechner und schaltete sich aus.

Trotzdem nicht schimpfen, gute Tips nehme ich gerne an ! Gute Nacht aus dem Ruhrgebiet ! --Alpenfrauchen 0:21, 15.März 2012 (CET)

Ein bisschen sachlicher sollte die Sprache halt schon noch werden. Und vom Umfang sollte es mMn gestrafft werden, denn die Relevanz kommt mit auch etwas dürftig vor. Gut könnte ich mir dagegen vorstellen, die eingestreuten Hinweise zur "geschickten" Berechnung der Polynome in einen eigenen Abschnitt zu schreiben, denn unabhängig vom "Koeffizientenproblem" interessiert den Leser wahrscheinlich erstmal eher, wie man die Polynome bestimmt. Da sollte dann auch die Liste mit den Polynomen rein verschoben werden. -- HilberTraum (Diskussion) 12:54, 16. Mär. 2012 (CET)

Problematisch ist, dass eine Reihe von belegbar falschen Behauptungen aufgestellt werden. So ist es schlicht falsch, dass Mathematiker geglaubt haben sollen, dass nur die Koeffizienten 0,1,-1 auftauchen. Und vermutlich war auch niemand von den Berechnungen von Walentin Iwanow überrascht. Und diese fehlerfrei (?) per Hand auszuführen ist zwar sicherlich eine beeindruckende Konzentrations-Leistung, aber letztlich nur eine von vielen vergleichbaren, die damals von menschlichen "Computern" erbracht wurden (der Begriff "Computer" bezog sich übrigens ursprünglich auf Menschen, die Rechnungen ausführten). Heute kann das aber jeder elektronische Computer (und im Prinzip auch jedes Smartphone) per Knopfdruck in Millisekunden. Auch die ihm im Artikel zugeschriebenen Vermutung werden kaum überrascht haben: denn die erste wurde bereits 1883 von A. Migotti bewiesen; und spätestens seit 1931 war bekannt, dass die Koeffizienten beliebig groß werden können (Bewiesen von Schur in Korrespondenz mit Landau; siehe E. Lehmer, "On the magnitude of the coefficients of the cyclotomic polynomial", 1936). Eine großer Teil der restlichen Diskussion sieht mir stark nach "Zahlenmystik" aus (sprich: wie die Koeffizienten sich verteilen, wie groß / klein sie werden, wann Sprünge auftauchen); in den meisten (allen?) Fällen sind diese sehr gut mathematisch erklärbar (wenn auch vielleicht nicht elementar) und nicht wirklich spannend. Ich denke daher, dass ein großer Teil des aktuellen Artikels ersatzlos gestrichen, und die angeführten Fakten klargestellt werden sollten. BlackFingolfin (Diskussion) 11:10, 28. Jan. 2015 (CET)

Ich habe den Artikel nun entsprechend bearbeitet. Es kann sicherlich noch vieles verbessert werden. So könnte man beschreiben, wie man Kreisteilungspolynome mit Hilfe der Möbius-Inversion ausrechnen kann, wenn man die Teiler von n kennt. Damit ist es übrigens nicht so schwer, das Kreisteilungspolynom für n=105 per Hand auszurechnen. Ich habe das mal eben versucht, und auch wenn ich bei ein paar Schritten den Computer zur Hilfe genommen habe, bin ich fest überzeugt, dass ich das komplett per Hand in unter einer Stunde mit ausschließlich Papier und Bleistift ausrechnen könnte. Insofern vermute ich, dass z. B. Schur und Landau das auch schon gewusst haben, vielleicht auch schon Migotti. Das ist aber erst mal nur Spekulation, aber naheliegend. Denn wenn man als Mathematiker den Satz von Migotti liest, ist die erste Frage ja "und was passiert bei drei ungeraden Primzahlen?", und da ist 105 eben das erste Beispiel. Es ist aber halt recht trivial, so dass es mich nicht wundert, dass das keiner veröffentlich hat... Leider liegen mir momentan weder das Original von Migotti Arbeit vor, noch die Arbeit von Iwanow. Etwas Googeln hat noch erbracht, dass letztere Arbeit evtl. zwei Autoren hat (Tschebotarew und Iwanow). Es wäre schön, wenn hier die direkte Quelle angegeben werden kann. Ansonsten finde ich es etwas fraglich, die Arbeit zu referenzieren. Vielleicht hat ja jemand das Buch von Kempermann griffbereit, aus der dieses Zitat ja wohl stammt, und kann dort nachschlagen? BlackFingolfin (Diskussion) 15:00, 28. Jan. 2015 (CET)

Rekursive Berechnungsformel

Ich meine hier mal die rekursive Rechenformel für das Kreisteilungspolynom gelesen zu haben und fände das auch ganz hilfreich, wenn sie hier angegeben wäre. Man kann mit ihrer Hilfe nämlich relativ einfach $\Phi _{n}$ ausrechnen, wenn man die Prim-Faktoren der Zahl n kennt. Es geht so (für $n=mp^{t}$ mit $p$ prim und $t\geq 1$):

$\Phi _{n}(x):={\frac {\Phi _{m}(x^{p^{t}})}{\Phi _{m}(x^{p^{t-1}})}}$ (für $ggT(p,n)=1$)

und

$\Phi _{n}(x):=\Phi _{m}(x^{p^{t}})$ (für $p\mid n$)

Bei Interesse könnte ich es etwas aufarbeiten, damit es mathematisch sauber ist und einfügen. --Jottbe (Diskussion) 17:08, 13. Jul. 2013 (CEST)

Hm, diese Beschreibung verstehe ich leider nicht bzw. kann sie auch nicht nachvollziehen. In deiner Definition teilt p doch immer n, es würde also immer nur der zweite Fall eintreten. Meinst du vielleicht m statt n? Oder evtl. $p^{2}\mid n$? So oder so sollte die Formel mit Quelle belegt sein, bevor sie eingebaut wird. BlackFingolfin (Diskussion) 15:09, 28. Jan. 2015 (CET)