Diskussion:Matrixexponential

Unterschied zur englischen Version (Fehlende Bedingung?)

Beim Vergleich der Artikel in der deutschen und englischen Wikipedia fällt auf, daß es in der deutschen Version heißt "Eine beliebige Matrix X kann eindeutig in eine Summe X = A + N zerlegt werden, ...", während in der englischen Version dort eine Bedingung steht: "When the minimal polynomial of a matrix X can be factored into a product of first degree polynomials, it can be expressed as a sum X = A + N, ..." Ist diese zusätzliche Bedingung wirklich überflüssig, oder wurde sie beim Übersetzen schlicht vergessen? --139.19.20.2 15:10, 23. Feb. 2010 (CET)

Nein! Es muss eine Bedingung angegeben werden, in der so etwas steht wie: Das charakteristische Polynom der der Matrix zerfällt vollständig in Linearfaktoren (firsst degree polynomials). Oder die englische Variante: Das Minimalpolynom der Matrix zerfällt vollständig in Linearfaktoren (bzw. kann als Produkt von Linearfaktoren dargestellt werden). Die Behauptung kann sonst leicht mit einem Gegenbeispiel widerlegt werden(Sei A=0 und N beliebig...). Auf der Seite stimmt aber noch etwas anderes nicht: exp(0), mit 0 als Nullmatrix, ergibt nicht die Einheitsmatrix, sondern eine Matrix, die in allen Einträgen den Wert 1 enthält. (nicht signierter Beitrag von 88.66.23.222 (Diskussion) 16:55, 3. Jan. 2011 (CET))

Die letzte Aussage ist falsch. exp(0) ist durch eine Potenzreihe definiert, bei der alle Summanden außer dem konstanten Glied verschwinden. Das konstante Glied ist $X^{0}=E$, die Einheitsmatrix. -- Digamma 19:01, 3. Jan. 2011 (CET)

Ich habe die fehlende Bedingung nachgetragen. -- Digamma 19:13, 3. Jan. 2011 (CET)

Hallo, mir ist gerade aufgefallen, dass in der deutschen Wikipedia viele Matrizen auf dieser Seite falsch berechnet wurden! Ich habe mal einen Fehler behoben, bei anderen Matrizen bestehen aber immer noch Fehler.

Diese Seite muss dringend überarbeitet werden. Ich hab meine Rechnung sowohl mit Mathematica als auch der englischen Wikipedia abgeglichen.

Grüße Benjamin (nicht signierter Beitrag von 95.91.88.123 (Diskussion) 15:45, 17. Jul 2011 (CEST))

Bist Du Dir sicher, dass die Berechnungen hier falsch sind? Zum Beispiel bei der von dir geänderten Jordanschen Normalform ist die Reihenfolge der Blöcke nicht festgelegt. Die englische Ausgabe verwendet schlicht eine andere Reihenfolge. Beide Reihenfolgen sind möglich und richtig. Ob die Übergangsmatrizen richtig sind, kann ich auf die Schnelle nicht beurteilen. Es gibt aber auch hier zwei Konventionen, auf welcher Seite P steht und auf welcher die Inverse. Nur weil auf der englischen Seite etwas anderes steht, muss das hier noch nicht falsch sein. -- Digamma 17:45, 18. Jul. 2011 (CEST)

Mit der JNF hast du natürlich recht - Mathematica sortiert die Blöcke aufsteigend nach den Eigenwerten. Trotzdem sollte beim Ergebnis die gleiche Matrix rauskommen. Ich weiss auch nicht genau, wo der Rechenfehler liegt. Mathematica gibt mit der Funktion MatrixExp das gleiche Ergebnis, wie die englische Wikipedia aus. Daraus schließe ich, dass das Ergebnis hier falsch ist.

Grüße (nicht signierter Beitrag von 178.27.150.206 (Diskussion) 16:58, 23. Jul 2011 (CEST))

Du hast vermutlich recht. Die Ergebnisse hier wurden aus einer früheren Version des englischen Artikels übernommen. Dieser wurde jedoch später geändert. -- Digamma 22:41, 23. Jul. 2011 (CEST)

Es wurden noch nicht alle Fehler behoben! Z.b. ist das Ergebnis unter Anwendungen -> Beispiel (homogen) immer noch falsch. siehe auch unterschied zur englischen Wikipedia, wobei sogar dort noch ein Faktor 2 falsch ist. Ergebnis laut Mathematica:
a = {{2, -1, 1}, {0, 3, -1}, {2, 1, 3}};
MatrixExp[a t];
Ergebnis: {{1/2 E^(2 t) (1 + E^(2 t) - 2 t), -E^(2 t) t, 1/2 E^(2 t) (-1 + E^(2 t))}, {-(1/2) E^(2 t) (-1 + E^(2 t) - 2 t), E^(2 t) (1 + t), -(1/2) E^(2 t) (-1 + E^(2 t))}, {1/2 E^( 2 t) (-1 + E^(2 t) + 2 t), E^(2 t) t, 1/2 E^(2 t) (1 + E^(2 t))}}
-- Benjamin (nicht signierter Beitrag von 178.26.136.87 (Diskussion) 15:24, 19. Sep. 2011 (CEST))

Ich habe die Beispiele durch einfachere ersetzt. Sie sind jetzt übersichtlicher und (hoffentlich) richtig. -- HilberTraum 17:37, 21. Okt. 2011 (CEST)

Wie Eingangs im Abschnitt erwähnt, ist die Lösung der linearen homogenen DGL: $y'=Ky$ ja immer $y=y_{0}\exp(Kt)$, und gerade diese Lösung gilt auch bei einem homogenen System mit konstanter Matrix (Dafür braucht man kein Mathematika). Die Lösungsformel bei einer inhomogenen DGL, also $y=\exp(-K)\int {r}\exp(K)dt+y_{0}\exp(-K)$ gilt ebenfalls auch bei einem System, sofern die Matrix konstant ist. Man braucht also nur die e-Funktion der Matrizen für die Lösung zu berechnen. Die Diskusion verstehe ich dagegen nicht so ganz ;-) --Tobbe 12:34, 17. Mai 2013 (CEST)

Ich habe nicht ganz verstanden, worauf die hinaus willst. Meinst du, man braucht hier keine ausführlichen Beispiele, wie man Differentialgleichungen mit dem Matrixexponential löst? In gewisser Weise hast du recht, weil es ja hier vor allem um die Berechnung des Matrixexponentials selbst gehen sollte. Aber solange die DGL-Systeme mit konstanten Koeffizienten keinen eigenen Artikel haben, ist das hier doch gar nicht so schlecht aufgehoben, weil es wohl die Anwendung des Matrixexponentials ist, die ein Student als erstes kennenlernt. -- HilberTraum (Diskussion) 14:26, 17. Mai 2013 (CEST)

Grundsätzlich eine gute Idee, man müsste aber kurz Erleutern worum es geht. Im Grunde gibt man ja nur den Eingenwert und den Eigenvektor der Matrix(!) an. Das ist ja eigentlich weder die Lösung der DGL noch hat es was mit der e-Funktion einer Matrix zu tun. Es ist es ja nur ein Trick um spezielle Lösungen für die DGL zu finden -aufgrund der Eigenschaft des Eigenwertproblems. Ein ganz anderes Thema eigentlich. Ich meine ja nur, eine allgemeine Lösung der DGL ist, bei konst. Matrix, die e-Funktion einer Matrix- also das eigentliche Thema. Diese kann man dann auch angeben, oder? Die Lösung der e-Funktion der Matrix selbst, findet man dann über die Definition (Taylor-Reihe) und über Tricks, wie z.B. Diagonalmatrix, Variation der Konstanten usw., also schließlich auch über Eigenwerte.--Tobbe 19:55, 17. Mai 2013 (CEST)

Abschnitt Eigenschaften

Zunächst scheint es so als würde die Eigenschaft exp(X+Y)=exp(X)exp(Y) gelten. Erst im Text wird darauf hingewiesen dass dies nicht gelten muss. Das kann zu Verwirrung sorgen, denn das Matrizenprodukt ist nicht kommutativ. Das ist eine wichtige Eigenschaft bei der Lösung der DGL-Systeme. Man sollte diese Eigenschaft eher nicht aufschreiben, sondern erwähnen das dies insbesondere nicht gilt und dann auf die Formel nach Baker-Campbell-Hausdorff verweisen, macht mehr Sinn. --Tobbe 12:34, 17. Mai 2013 (CEST)

Im Text wird ja die Gleichung nicht aufgeschrieben um zu sagen, dass sie nicht gilt (das wäre wirklich etwas verwirrend), sondern es wir gesagt, dass die gilt, falls die Matrizen kommutieren. Das halte ich schon für wichtig. Aber man könnte vielleicht schon stärker betonen, dass sie nicht immer gilt. Ein Rechenbeispiel, bei dem sie nicht gilt, wäre vielleicht nützlich. -- HilberTraum (Diskussion) 14:34, 17. Mai 2013 (CEST)

At = tA?

@Torben81: Wegen der Rückgängigmachung meines Edits: Wer schreibt denn einen Skalar hinter eine Matrix? Das ist doch zumindest total unüblich. Außerdem wird fast im ganzen Artikel sonst der Skalar vor die Matrix geschrieben, von einer „Vereinheitlichung“ kann da doch gar keine Rede sein. Grüße -- HilberTraum (d, m) 19:37, 29. Okt. 2019 (CET)

Grundsätzlich ist ja beides nicht falsch, hauptsache wir bleiben einheitlich ;) Wundere mich das wir so lange At und Ax drin hatten. Sollten dann alles einheitlich auf tA umstellen. --[[Benutzer:Torben81|Tobbe]] (Diskussion) 10:05, 30. Okt. 2019 (CET)

Andererseits ist das eine Funktion von t und da scheint mir die Schreibweise At üblicher. --Digamma (Diskussion) 10:15, 30. Okt. 2019 (CET)

Ist das echt eine übliche Schreibweise? Ich habe das bewusst noch nie gesehen (oder vielleicht auch nur nicht darauf geachtet). Wird das überhaupt definiert? Man kann wohl sicher At := tA problemlos definieren, denke ich, aber wird das in Lehrbüchern zur linearen Algebra tatsächlich so gemacht? -- HilberTraum (d, m) 20:44, 30. Okt. 2019 (CET)

Jetzt fragst du mich zuviel. Ich war immer der Meinung, dass es zwar üblich ist, Skalare vor Vektoren (oder Matrizen) zu schreiben, aber dass es eigentlich egal ist, ob man sie davor oder dahinter schreibt. Zumindest wird im Artikel Gleichförmige Bewegung die gleichförmige Bewegung in der Form ${\vec {r}}(t)={\vec {v}}_{0}\cdot t+{\vec {r}}_{0}$ geschrieben. Mein Physik-Buch (Dorn Bader Physik Oberstufe M, Schroedel Verlag 1975) schreibt das auch so. Allgemein ist es bei Funktionstermen üblich, die Koeffizienten vor die Argumente zu schreiben. --Digamma (Diskussion) 20:56, 30. Okt. 2019 (CET)

Ich könnte mir vorstellen, dass es bei Vektoren aus Sicht der linearen Algebra „harmloser“ ist, weil man es als eine Matrixmultiplikation auffassen kann: Ein Spaltenvektor ($(n\times 1)$-Matrix) wird mit einem Skalar „$(1\times 1)$-Matrix“ multipliziert. Aber bei allgemeinen Matrizen geht diese Interpretation ja nicht mehr. -- HilberTraum (d, m) 21:18, 30. Okt. 2019 (CET)

Das ist aber sicher nicht der Gedanke, der dahinter steht. Es ist mehr: Skalar schreibt man die Gleichung in der Form $r(t)=v_{0}\cdot t+r_{0}$, also ist es logisch, sie vektoriell in der Form ${\vec {r}}(t)={\vec {v}}_{0}\cdot t+{\vec {r}}_{0}$ zu schreiben.

Da es hier ja eigentlich um die Lösung eines homogenen Systems von Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten geht, habe ich mal in ein entsprechendes Analysisbuch (Grauert, Fischer: Differential- und Integralrechung II, Springer Verlag 1978) geschaut. Dort steht $\exp(A\,x)$. --Digamma (Diskussion) 21:45, 30. Okt. 2019 (CET)

1) Mit der Dimension scheint sich der Skalar ja direkt zu beißen, denn es folgt ja mit $n\times n$-Matrix und mit einem Skalar $1\times 1$-Matrix: $(1\times 1)(n\times n)$ oder $(n\times n)(1\times 1)$... Dagegen passen Matrix-Matrix und Matrix Vektor Operationen. Das hilft wohl nichts.

2) Die Schreibweise $\exp(t\,A)$ kenne ich auch teilweise aus der Literatur, aber auch $\exp(A\,t)$. Das hilft auch nicht viel. Grundsätzlich kenne ich auch (wie zuvor von @Digamma angemerkt, Variablen kommen nach den Konstanten, also z.B. $\exp(a\,t)=1+b\,t+c\,t^{2}..$. Das spricht also für $\exp(A\,t)$

3) In meinem Mathebuch (Merziger, Wirth: Repetitorium..) stehen bei Matrixen sowie bei Vektoren die Skalare als Konstanten davor, Skalare als Funktionen dahinter. Z.B. $=c_{0}A\,e^{t}$ (A ist Matrix oder Vektor). Das spricht also auch für $\exp(A\,t)$.

4) Eine richtige Beründung ist das soweit nicht, aber habe mir den Sinn dieser Schreibweise "bei Matrixen sowie Vektoren die Skalare als Konstanten davor, Skalare als Funktionen dahinter" überlegt. Wir suchen bei der DGL ja gar nicht die e-fkt einer Matrix*Skalar oder Skalar*Matrix, sondern die Matrix muss integriert werden. Und da macht die Regel Sinn: $\exp(\int _{0}^{t}A\,dx)$ = Der Skalar dx als Funktion steht hinter der Matrix, sonst würden wir die Matrix - ggf. A=f(x) - formell nicht integrieren. Ergebnis nach integration: $\exp(A\,t)$.--[[Benutzer:Torben81|Tobbe]] (Diskussion) 18:58, 4. Nov. 2019 (CET)